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高考理科数学考点解析不等式选讲

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不等式选讲
一、 选择题
x2x3,x11.(2017·天津高考理科·T8已知函数f(x=设a∈R,若关于x的不等式2x,x1xf(x≥xa在R上恒成立,则a的取值范围是 ( 2474739A.,2 B., 161616C.23,2
39D.23,
16【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式、二次函数最值、基本不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与综合运算能力.
【解析】选A.不等式f(x≥当x≤1,①式为-x2+x-3≤即-x2+2xxa可化为-f(x≤+a≤f(x ①, 22x+a≤x2-x+3,
2x3-3≤a≤x2-x+3, 22247x147又-x+-3=-x-≤-, 162416333939x2-x+3=x+≥,
2416164739≤a≤. 16162x23212当x>1,①式为-x-≤+a≤x+,所以-x-≤a≤x+,
x2x2x2x2所以,-又-2323x-=-x≤-23, x2x212x+≥2,所以-23≤a≤2, 2x47综上-≤a≤2. 16

x2,x12.(2017·天津高考文科·T8已知函数f(x= 设a∈R,若关于x的不等式
2x,x1xf(x≥xa在R上恒成立,则a的取值范围是 (
2A.[-2,2] B.[-23,2] C.[-2,23] D.[-23,23]
【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与数形结合思想.
x2,x1xx2aa【解析】选A.方法一:因为函数f(x=所以,令g(x= =,当x=-2a222x,x1x时,g(x取最小值,最小值为0,g(x是斜率为±1的一簇折线,当x≥1时,函数f(x的最小值2在x=2时取到,最小值为22,所以函数f(x和g(x的图象如图所示,所以要使f(x≥a2xxa恒成立,当a>0时,应满足2a2解得0≤2;当a=0时,f(x≥a恒成立;22222当a<0时,应满足-a≤2,解得-2≤a<0.综上所述,a的取值范围是-2≤a≤2.

方法二:满足题意时f(x的图象恒不在函数y=xa下方,
2当a=23时,函数图象如图所示,排除C,D选项;



当a=-23时,函数图象如图所示,排除B选项,

二、填空题
1(2017·浙江高考·T17已知a∈R,函数fx=x则a的取值范围是 .
【命题意图】本题主要考查基本不等式和求解绝对值不等式.
4∈4,5. x449(1当a≥5时,f(x=a-x-+a=2a-x-,函数的最大值2a-4=5,所以a=(舍去.
xx244(2当a≤4时,f(x=x+-a+a=x+≤5,此时符合题意.
xx4a+a在区间[1,4]上的最大值是5,x【解析】当x∈1,4时,x+(3当4时,
fxmax=max4aa,5aa,
4aa5aa则
4aa5994aa5aa或解得a=或a<,
224aa59综上可得,实数a的取值范围是,.
2

9答案:,
2
三、简答题
1.(2017·全国丙卷·文科·T23同(2017·全国丙卷·理科·T23[选修4—5:不等式选讲](10分
已知函数f(x=│x+1│-│x-2│. (1求不等式f(x≥1的解集.
(2若不等式f(x≥x2-x +m的解集非空,求m的取值范围. 【解析】(1当x≤-1时, f(x=-(x+1+(x-2 =-3<1,无解; 当-1时, f(x=x+1+(x-2 =2x-1, 令2x-1≥1, 得x≥1, 所以1≤x<2, 当x≥2时, f(x=x+1-(x-2=3, 因为3>1, 所以x≥2.
综上所述,f(x≥1的解集为[1,+∞.
(2原式等价于存在x∈R,使f(x-x2+x≥m成立,


即[f(x-x2+x]max≥m, 设g(x=f(x-x2+x,
2x3,x1x2由(1知g(x=x3x1,1x2
2x3,x2x当x≤-1时,g(x=-x2+x-3,
其开口向下,对称轴为x=错误！未找到引用源。>-1, 所以g(x≤g(-1=-5; 当-1时g(x=-x2+3x-1,
其开口向下,对称轴为x=错误！未找到引用源。,
3所以g(x≤g=错误！未找到引用源。,
2当x≥2时g(x=-x2+x+3, 其开口向下,对称轴为x=所以g(x≤g(2=1, 综上:g(xmax=5,即m的取值范围为错误！未找到引用源。.
41,
22.(2017·全国乙卷理科·T23[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f(x=-x2+ax+4,g(x=│x+1│+│x-1│. (1当a=1时,求不等式f(x≥g(x的解集.
(2若不等式f(x≥g(x的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1当a=1时,fx=-x2+x+4,是开口向下,对称轴x=2x,x1数.gx=x1+x1=2,1x1
2x,x11的二次函2

当x∈(1,+∞时,令-x2+x+4=2x,解得x=171
2gx在(1,+∞上单调递增,fx在(1,+∞上单调递减,
171所以此时fx≥gx解集为1,2.
当x∈1,1时,gx=2,fx≥f1=2. 当x∈,1时,gx单调递减,fx单调递增, 且g1=f1=2.
171综上所述,fx≥gx的解集为1,.
2(2依题意得:-x2+ax+4≥2在1,1恒成立. 即x2-ax-2≤0在1,1恒成立.
21a120则只需解得-1≤a≤1.
21a120故a取值范围是1,1.
2x,x1方法二:将函数g(x=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x=2,1x1
2x,x1y2x(1当a=1时,作出函数图象可得f(x≥g(x的范围在F和G点中间,联立可2yxx4得点
171171G2,171,因此可得解集为1,2.


(2即f(x≥g(x在[-1,1]内恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2⇒x2-2≤ax恒成立,根据图象可得:函数y=ax必须在l1,l2之间,故而可得-1≤a≤1.

3.(2017·全国乙卷文科·T23[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f(x=-x2+ax+4,g(x=│x+1│+│x-1│. (1当a=1时,求不等式f(x≥g(x的解集.
(2若不等式f(x≥g(x的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1当a=1时,fx=-x2+x+4,是开口向下,对称轴x=2x,x1数.gx=x1+x1=2,1x1
2x,x11的二次函2当x∈(1,+∞时,令-x2+x+4=2x,解得x=171
2gx在(1,+∞上单调递增,fx在(1,+∞上单调递减,
171所以此时fx≥gx解集为1,2.
当x∈1,1时,gx=2,fx≥f1=2. 当x∈,1时,gx单调递减,fx单调递增, 且g1=f1=2.
171综上所述,fx≥gx的解集为1,.
2

(2依题意得:-x2+ax+4≥2在1,1恒成立. 即x2-ax-2≤0在1,1恒成立.
21a120则只需解得-1≤a≤1.
21a120故a取值范围是1,1.
2x,x1方法二:将函数g(x=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x=2,1x1
2x,x1y2x(1当a=1时,作出函数图象可得f(x≥g(x的范围在F和G点中间,联立可2yxx4得点
171171G,因此可得解集为,1711,. 22
(2即f(x≥g(x在[-1,1]内恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2⇒x2-2≤ax恒成立,根据图象可得:函数y=ax必须在l1,l2之间,故而可得-1≤a≤1.

4.(2017·全国甲卷文·T23[选修4-5:不等式选讲](10分 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:


(1(a+b(a5+b5≥4. (2a+b≤2.
【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.
【证明】(1(a+b(a5+b5=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b32-2a3b3+ab(a4+b4 =4+ab(a-b≥4.
222(2因为(a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b
3ab3ab≤2+ (a+b=2+,
44所以(a+b3≤8,因此a+b≤2.
5.(2017·全国丙卷·理科·T23[选修4—5:不等式选讲](10分 已知函数f(x=│x+1│-│x-2│. (1求不等式f(x≥1的解集.
(2若不等式f(x≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 【解析】(1当x≤-1时, f(x=-(x+1+(x-2=-3<1,无解. 当-1时,
f(x=x+1+(x-2=2x-1. 令2x-1≥1, 得x≥1, 所以1≤x<2. 当x≥2时,
23

f(x=x+1-(x-2=3. 因为3>1, 所以x≥2.
综上所述,fx≥1的解集为[1,+∞.
(2原式等价于存在x∈R,使fx-x2+x≥m成立,
2fxxx即2max≥m.
设g(x=f(x-x+x,
x2x3,x1由(1知gx=x23x1,1x2
x2x3,x2当x≤-1时,gx=-x2+x-3,
1其开口向下,对称轴为x=2>-1,
所以gx≤g1=-5. 当-1时gx=-x2+3x-1, 其开口向下,对称轴为x=35所以gx≤g=.
243,
2当x≥2时gx=-x2+x+3, 其开口向下,对称轴为x=所以gx≤g2=1. 综上:gxmax=55,即m的取值范围为,.
441,
26.(2017·全国甲卷理科·T23.[选修4-5:不等式选讲](10分 已知a>0,b>0,a3+b3=2, 证明:(1(a+b(a5+b5≥4.


(2a+b≤2.
【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.
【证明】(1(a+b(a5+b5=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b32-2a3b3+ab(a4+b4 =4+ab(a2-b22≥4.
(2因为(a+b=a+3ab+3ab+b=2+3ab(a+b
33223≤2+错误！未找到引用源。(a+b=2+错误！未找到引用源。, 所以(a+b≤8,因此a+b≤2.
37.(2017·江苏高考·T21D.[选修4-5:不等式选讲] 已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.
【命题意图】主要考查不等式的证明方法,突出考查柯西不等式的应用,考查推理论证能力.
【证明】由柯西不等式可得:(ac+bd2≤(a2+b2(c2+d2, 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd2≤64, 因此ac+bd≤8.
【反思总结】柯西不等式的一般形式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn为实数,则a

212a22anb12b222bn≥(a1b1+a2b2+…+anbn2,当且仅当bi=0或存在一个数k,使ai=kbi(i=1,2,…,n时,等号成立.


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/aff8332d6429647d27284b73f242336c1fb930ca.html

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