不等式选讲 知识点
一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式
定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。
rrrr注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤rr|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。
定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b(b-c时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 不等式 |x|＜a |x|＞a a＞0 {x|-a＜x＜a} {x|x＞a 或x＜-a } a=0 a＜0
{x|x∈R且x≠0}
R 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）
（2）|ax+b|≤c(c＞0和|ax+b|≥c(c＞0型不等式的解法 ①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
二、证明不等式的基本方法
word.
1．比较法 （1）作差比较法
①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0. ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。
（2）作商比较法
a1ab; ba b 