高中数学教学论文 从一道实际问题谈研究性学习在课堂中的渗透

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从一道实际问题谈研究性学习在课堂中的渗透

研究性学习，是指在教师的指导下，让学生主动去探索知识、获取知识并运用知识的学习方式．它注重培养学生以研究的态度去认真观察、分析、归纳，不断提出新问题、新方法，发现事物的内在规律，使教与学的重心不再仅仅停留在获取知识上，而是上升到学会思考、学会学习上，使被动的接受式学习转变为主动的探索性学习，从而培养学生的提出问题、分析问题、解决问题的能力．本文提供一道实际问题的教学实录与研究性学习的思考，供同行们剖析．

一．实际问题

在学完《圆锥曲线》一章后，我布置了如下一道作业：

同学们都有过切香肠（或火腿肠）的经历，斜切成椭圆形．你能给予证明吗？（我给同学们一周的时间课下探究．）

二．教学实录

1．开展课堂研究

师：这是一道源于我们生活实际的问题，那么如何证明某一曲线是椭圆呢？（全班同学开始议论纷纷，有一位同学紧锁眉头，很快……）

生a：定义法．

师：对，那你是如何找到两定点用上定义的？（留思考时间．）

生a：如图1，设圆柱体为香肠的一段，在圆柱内放两个大小相同的

球（半径为圆柱底面半径），使它们分别与圆柱的侧面、截面相切，两个

球分别与截面相切于点E、F，在截口曲线上任取点A，过点A作圆柱

的母线，分别与两个球相切于B、C．由球和圆的几何性质可知，

由切点、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，故截口曲线上任意一点A到两定点E、F的距离之和为常数（大于）．由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．（全班同学鼓掌不已！）

师：该同学从纯几何角度出发，巧妙地创设情境，用定义证明了该曲线是椭圆，显得简洁明快，该证法极富创造性！那么还有其它证法吗？（全班同学都在积极思考．）比如从代数角度？（教室里议论声一片，很快有一位学习较好的同学发言了．）

生b：如图2，设圆柱体为香肠的一段，设圆柱的底面半径为b，截面与圆柱底面所成角为，截面弦在圆柱底面上的射影为圆柱底面直径．若，则．如图示，在底面内建立直角坐标系，在截面内建立直角坐标系．设是截口曲线上任意一点，是它在底面上的射影，则有

故用一个与圆柱轴线斜交的平面去截圆柱，得到的截口曲线是椭圆．

师：那你又是怎么想到的呢？

生b：恰当建系求出该曲线的方程来，从方程角度判断曲线形状，而曲线在底面上的射影是圆（方程易求），所以采用相关点带入法！

2．拓展问题（1）：现在我们已经知道斜切香肠成椭圆形，而当斜切角度一定时椭圆的面积是定值．你能否求出来？（学生颇感兴趣．）

生c：设该椭圆的长轴长为，短轴长为，截面与圆柱底面所成角为，则圆柱底面半径为，且．设为椭圆的面积，为圆柱的底面积，则（用“射影面积法”求二面角）．故椭圆的面积公式为（其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）．

生d（迫不急待）：学生c的解答是错误的．（全班愕然！）用“射影面积法”求二面角时，图形应是三角形、四边形等这样的多边形，而椭圆是曲边形．（这对于沉醉在成功喜悦中的同学，无疑是“当头一棒”，学生开始反思已取得的成果，意识到“故事”并未结束．这就激发了他们进一步探索的欲望，新的谜底在吸引着他们．）

师：学生d回答得很好，这也是同学们经常犯的错误，用“射影面积法”求二面角的条件不具备．但学生c的思路给我们以启示，对于曲边形，若也能用“射影面积法”求二面角，则问题得以解决．那么我们如何证明对于曲边形该结论也成立呢？（通过这一点拨，马上激活学生的思维．）

无限地接近椭圆M的面积和射影图形M的面积，故有

（此时，全班同学不仅又惊叹！）

师：回答的相当精彩！学生e采用了由已知到未知，由熟悉到陌生的

探究方法和先分割求和再取极限的步骤来解决问题．让我们回顾一下，不难发现，解决问题的过程是一个不断否定、完善、发展的过程．往往不是一次就能找到解决问题的正确方法，只有不断的探索、发现、类比、归纳才能实现．（学生深受启迪．）

3．拓展问题（2）（学生f接着提出一新问题）：把刚才斜切的香肠中的一段，沿其一条母线将包装纸剪开展成平面图形，当斜切角度一定时，得到的曲线也就固定了．那它是什么曲线呢？（又是“当头一棒”，同学们陷入了沉思，都在仔细观擦、揣摩，甚至有的同学做起了模型，亲自演示．）

师：这是我做的一个简易模型：拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断再把卷起的纸展开，那么你将看到一条怎样的曲线？（停留片刻．）显然，是一条波浪线，那它是正（余）弦曲线的一部分吗？（又是学生b站起来回答了．）

生b：如图4，设圆柱体为香肠的一段，底面半径为，截面中心为，过作垂直于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点，取其中一点为原点，在过点且与圆柱相切的平面内建立直角坐标系，使为圆柱的一条母线．显然切于圆．

（恰好为圆柱底面周长）的正弦曲线的一部分（恰好为正弦曲

线的一个周期）！

师：学生b仍然采用了代数法，即恰当建系后求曲线的方程，从方程角度判断曲线形状．（接着我就留了两道思考题：①日常生活中我们见到的烟筒弯脖，它的平面展开图是什么曲线？②将直角三角形的一直角边卷成半圆，它的斜边会是怎样的曲线呢？也就是，如果一只蚂蚁从点绕圆柱侧面爬到点（如图2所示），应以怎样的路径前进才能最近呢？学生很快就得到答案．）

师：同学们能谈一下对这一节课的感想吗？

生g：想不到一到普通的数学题可以探究出那么多的结论．

生h：我尝带了成功的乐趣，找回了学数学的自信．

……

师（师生共同小结）：这一节课我们从生活中的一道实际问题出发，从尝试、研究中发现了圆柱→椭圆→正弦曲线之间和谐的关系，并且感受到数学与现实之间的联系．我们形成了这样一种共识：要以研究的态度去认真观察、分析、归纳，不断提出新问题、新方法，发现事物的内在规律．但至于提出什么新问题，采用什么新方法，却要因题而异．而且在今天，在解决问题的过程中运用了多种数学思想和方法，请同学们课下再认真的思考体会，这样才能有真正的收获．（这时，问题得到了圆满解决，下课铃声也响了．）

三．研究性学习的思考

（1）要选择有研究价值的课题．因为一个有研究价值的课题是我们开展研究性学习的前提和保证．研究性学习的探究性决定了它的特征：由浅入深，有一定的知识容量，涉及知识面宽，数学思想方法多，问题具有层次性（供不同学生不同层次的探究）、开放性（探究过程和结果呈开放姿态）和广延性（易于学生发现问题作进一步的探究）．本课例我们从生活中的一道实际问题出发，涉及了数学中的函数思想、极限思想、转化和化归的思想．无论是基础较好的同学还是基础较差的同学，都能够参与在问题的讨论中．

（2）研究性学习就是要让学生主动地参与研究过程，获得亲身体验，通过创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中提出问题、分析问题、解决问题，经历数学的发现和再创造过程，培养数学思维能力，并不在乎能不能取得什么成果或发现．因此要注意：①创设问题情境，给学生一个形象生动、内容丰富的对象，使学生深入其境，真正作为一个主体去研究．②暴露思维过程，不仅要给学生成功的范例，还应展示其失败和挫折，让学生了解探索的艰辛和反复，体验研究的氛围和真谛．

（3）在研究的过程中要让学生体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识．“人人学习有用的数学”已成为共识，但传统的教材“掐头去尾烧中段”，学生在课堂上看不到数学源于生活、用于生活．学生对“问题”的理解等同于“考题”，习惯于“问考题”而不是“问问题”．许多学生忙于“问考题”而被动接受知识，而不习惯通过主动探究、自学提高能力．我们期待通过学生的研究性学习，增加学生对数学用于生活的体验，了解数学建模的基本过程，转变学生被动接受知识的学习方式，培养学生的创新精神和实践能力．

（4）在本课例中，有的问题是教师事先精心准备好和预料到的，而有的问题是教师事先没有预料到的，是学生自己独立发现并提出的．这说明了在当今的教学实际中教师要有很强的应变能力和驾驭能力，研究性学习对教师也提出了更高的要求．总之，我们广大教师也要积极开展研究性学习．

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