证明数列收敛

本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.

运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：

 易知单调递增或递减，需证有上界或下界。

 易知有上界或下界，需证单调递增或递减。

 易知既有上界又有下界，需证单调。

 易知单调，需证既有上界又有下界。

①用导数来求证单调有界性

如果，即函数单调递增时，数列具有单调性是可以肯定的，而研究递增递减那要看跟的比较了(如果的话，那么)具体的说

若时，由,那么可以判定为减数列。

若时，由,那么可以判定为增数列。

例题1.

证：记,则0' altImg='d81c1322f18c5186fcaba68f5ea34a59.png' w='130' h='26' class='_1'>

因为，，则，由于

所以，即

那么具有单调有界性，上界为3

然后对数列两边取极限，记极限为A

则.

设函数，其中A为方程的根，

由于在上连续，在内可导，则0' altImg='6599e35a831cc3aaba6b7f97f825600a.png' w='153' h='22' class='_1'>

所以函数递增，又由于

所以的根在内。

如果，即函数单调递减时，数列肯定不具有单调性的．但是，它的奇数项子数列和偶数项子数列都可以看作是通过单调增加函数g(x).

其中[]

所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反．

例题1.当时，，证明数列收敛，并求其极限值。

证：设函数,则函数在上连续，在内可导，

易知。

所以在上递减。

由于,可知，又在上递减。

所以有,即,

所以

可推得

由此可知奇数项子数列单调递减有下界，偶数项子数列单调递增有上界，则两子数列都收敛。

设奇数项子数列收敛于P，偶数项子数列收敛于Q。

对两边去极限得：

解方程得

那么数列收敛于。

②利用不动点与导数的结合来证单调有界性。

定义：对于函数,若存在实数C,使得，则称C为的不动点。

命题1.设函数在上连续，在内可导，且0' altImg='85134dc2002461bd06bed652251023c2.png' w='73' h='26' class='_1'>,

.设，则递推数列收敛。

命题2.设函数在上连续，在内可导，且0' altImg='85134dc2002461bd06bed652251023c2.png' w='73' h='26' class='_1'>,

.设，则递推数列收敛。

命题3.如果函数在有唯一的不动点，那么数列必收敛于该不动点。

推论：对于递推数列, 如果，那么数列收敛，且收敛于L，其中。

例题1.设， （），求证:数列收敛,并求其极限。

解：数列的迭代方程，0' altImg='3541b1b6f156b3cb9007919db9b3e703.png' w='160' h='48' class='_1'>

。

又，即。

故数列在区间上满足命题1的条件,于是数列收敛。

又在上有唯一的不动点,于是。

例题2. 已知函数，且存在，使.设, ,，,其中,证明:。

证：由数列的迭代函数得

,

从而在区间上，由命题1的结论得

，

在区间上，由命题2的结论得

，

于是有

．

证毕．

③利用单调性的定义或数学归纳法。

例题1. 设, ,证明数列极限存在。

[思路：先试求的极限，对两边取极限，解得

,猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换为证明这个猜想。]

证：易从看出数列递增。

接下来用数学归纳法求证有上界。

显然,假设，便有了

。则为单调递增有上界的数列，故数列收敛。

例题3.

证：利用数学归纳法对n进行归纳证明，

当时已知成立。假设,

由重要不等式得：,因此有下界0，且当时，,故

单调递减，即收敛。

此外由单调递减，,即有上界，并且当时，,故单调递增，即收敛。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/dca9802369d97f192279168884868762caaebb88.html