2019年山东省泰安中考数学试卷（含答案与解析）

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山东省泰安市2019年初中学业水平考试

数 学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共48分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在实数，，，中，最小的数是 (　　)

A. B. C. D.

2.下列运算正确的是 (　　)

A. B.

C. D.

3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道.将数据42万公里用科学记数法表示为 (　　)

A.米 B.米

C.米 D.米

4.下列图形：

其中是轴对称图形且有两条对称轴的是 (　　)

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

5.如图，直线，，则 (　　)

(第5题)

A. B. C. D.

6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

(第6题)

下列结论不正确的是 (　　)

A.众数是8 B.中位数是8

C.平均数是8.2 D.方差是1.2

7.不等式组的解集是 (　　)

A. B. C. D.

8.如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为_____. (　　)

(第8题)

A. B.

C. D.

9.如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为 (　　)

(第9题)

A. B. C. D.

10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为 (　　)

A. B. C. D.

11.如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为 (　　)

(第11题)

A. B. C. D.

12.如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 (　　)

(第12题)

A.2 B.4 C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 共102分）

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)

13.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　.

14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为　　　　.

15.如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，点，交于点，若，则阴影部分的面积为　　　　.

(第15题)

16.若二次函数对称轴为直线，则关于的方程的解为　　　　.

17.在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线上，点，，，,…在轴正半轴上，则前个正方形对角线的和是　　　　.

(第17题)

18.如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是　　　　.

(第18题)

三、解答题(本大题共7小题，满分78分)

19.(8分)

先化简，再求值：

，其中.

20.(8分)

为了弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩(高成都绩于50分)，绘制了如下的统计图表(不完整)；

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求出、的值；

(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

(3)若该校共有1 800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人.

21.(11分)

已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.

(第21题)

22.(11分)

端午节是我国传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3 000元购进、两种粽子1 100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.

(1)求、两种粽子的单价各是多少？

(2)若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？

23.(13分)

在矩形中，于点，点是边上一点.

(1)若平分，交于点，于点，如图①，证明四边形是菱形；

(2)若，如图②，求证：；

(3)在(2)的条件下，若，，求的长.

(第23题)

24.(13分)

若二次函数的图象与轴分别交于点、，且过点.

(1)求二次函数表达式；

(2)若点为抛物线上第一象限内点，且,求点的坐标；

(3)在抛物线上(下方)是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由.

25.(14分)

如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点.

(1)试判断与是否相等？并给出证明.

(2)若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不存在，说明理由.

(第25题)

山东省泰安市2019年初中学业水平考试

数学答案解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题

1.【答案】B

【解析】

【分析】

根据实数的比较大小的规则比较即可.

【详解】解：；

因此根据题意可得是最小的

故选B.

【考点】实数的比较大小

2.【答案】A

【解析】根据整式的运算法则逐个计算即可.

A.正确，

B.错误，

C.错误，

D.错误，

故选A.

【考点】整式的计算法则

3.【答案】B

【解析】根据科学记数法的表示方法表示即可.

解：42万公里米

故选B.

【考点】科学记数法的表示方法

4.【答案】A

【解析】根据题意首先将各图形的对称轴画出，在数对称轴的条数即可.①有两条对称轴；②有两条对称轴；③有四条对称轴；④不是对称图形，故选A.

【考点】图形的对称轴

5.【答案】C

【解析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.

解：作直线l平行于直线l1和l2

，

，

，

，

故选C.

【考点】平行线的性质

6.【答案】D

【解析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.

根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是，

方差是，

故选D

【考点】统计的基本知识

7.【答案】D

【解析】根据不等式的性质解不等式组即可.

解：化简可得：，

因此可得，

故选D.

【考点】不等式组的解

8.【答案】B

【解析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可.

解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得，

，

所以可得，

，

，

因此可得，

故选B.

【考点】解直角三角形的应用

9.【答案】A

【解析】根据题意连接OC，为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的的度，再根据直角三角形可得的度数.

【详解】根据题意连接OC.因为，

所以可得BC所对的大圆心角为，

因为BD为直径，所以可得，

由于为直角三角形，

所以可得，

故选A.

【考点】圆心角的计算

10.【答案】C

【解析】根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.

解：根据题意可得树状图为：

一共有25种结果，其中15种结果是大于5的

因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为

故选C.

【考点】概率的计算的树状图

11.【答案】C

【解析】根据题意作,垂足为C，根据题意可得OC=，因此可得,所以可得圆心角,进而计算的的长.

根据题意作,垂足为C，

∵沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3

∴，，

∴圆心角，

∴，

故选C.

【考点】圆弧的计算

12.【答案】D

【解析】根据题意要使最小，就要使DF最长，所以可得当C点和F点重合时，才能使PB最小，因此可计算的的长.

解：根据题意要使PB最小，就必须使得DF最长，因此可得当C点和F点重合时，才能使PB最小.

∵当C和F重合时，P点是CD的中点

∴，

∴，

故选D.

【考点】矩形中的动点问题

第Ⅱ卷（选择题）

二、填空题

13.【答案】

【解析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.

解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.

故答案为.

【考点】二元一次方程的根与系数的关系

14.【答案】

【解析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组.

根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得，

再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得.

因此

所以答案为

【考点】二元一次方程组的应用

15.【答案】

【解析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC所对的阴影部分面积等于弧AC所对圆心角的面积减去的面积，而不规则图形BCD的面积等于的面积减去弧DC所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.

解：根据题意连接OC

∵，

∴为等边三角形

∴

∴阴影部分面积

∴阴影部分面积

∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积

故答案为。

【考点】圆弧的面积计算

16.【答案】，

【解析】首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可.

解：∵二次函数的对称轴为直线

∴

∴

因此方程为

所以可得

故答案为，.

【考点】二次函数与一元二次方程的问题

17.【答案】

【解析】根据题意可得,,, ,进而计算每个正方形的对角线,再求和即可.

解：根据根据题意可得,,,

所以可得正方形的对角线为

正方形的对角线为

正方形的对角线为

正方形的对角线为

正方形的对角线为

所以前个正方形对角线的和为

=

故答案为.

【考查能力】归纳总结能力

18.【答案】

【解析】首先根据题意连接EC.再根据勾股定理计算EC、GC的长，设,根据勾股定理列方程进而求解未知数x.再计算EF的长度.

根据题意连接EC，

∵沿折叠后，点恰好落到上的点处，

∴为直角三角形，，

在直角三角形中，，

所以，

设，所以，，

根据勾股定理可得

所以可得，

所以可得，

因此答案为.

【考点】矩形的知识

三、解答题

19.【答案】

【解析】首先将分式化简，化成最简式，再将参数代入计算即可.

解：原式，

，

，

当时，原式

【考点】分式的化简

20.【答案】（l）抽取学生的人数：（人）

，

（2）

（3）（人）

所以，成绩高于80分的共有900人

【解析】（1）根据第三组的学生人数除以所占的百分比，计算出总人数，再利用第二组所占的百分比乘以总人数，可计算的a的值，进而计算b的值.

（2）首先计算第五组人数所占的百分比，再利用圆周角的性质计算即可.

（3）首先计算样本中大于80分人数的百分比，再利用总数乘以样本比例，可得出成绩高于80分的人数.

【考点】统计的基本知识

21.【答案】（l）过点作轴于点

∵

∴

∴

∵∴

在中，

∴∴

∵经过点 ∴ ∴

∴反比例函数表达式为

∵经过点，点

∴解得

∴一次函数表达式为

（2）本题分三种情况

①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、

②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点

③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求

由（1）得，

在中，

∵

∴∴∴∴

∴

【解析】（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.

（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.

【考点】一次函数和反比例函数的综合性问题

22.【答案】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元

根据题意，得

解得：

经检验，是原方程的根

所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元

（2）设种粽子购进个，则购进种粽子个

根据题意，得

解得

所以，种粽子最多能购进1000个

【解析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.

（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.

【考点】分式方程的应用

23.【答案】（1）证明：∵平分，，，

∴，，

又∵在中，，

在中，，

∴,

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形是平行四边形

∴是菱形

（2）∵，，

∴，，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

（3）∵，，

∴，

由（2）知

，

∴，

【解析】（1）根据若平分，可得，再利用，可证明，进而可得 和，所以可证四边形是菱形.

（2）只要证明，再结合，即可证明.

（3）根据题意可得 再利用（2）的结论即可得AP.

【考点】矩形的综合性问题

24.【答案】（l）因为抛物线过点，∴，

又因为抛物线过点，，

∴，

解，得，

所以，抛物线表达式为，

（2）连接，设点.

则，

由题意得，

∴或（舍）

∴，

∴点的坐标为.

（3）设直线的表达式为，因直线过点、

，

∴，

解，得，

所以的表达式为，

设存在点满足题意，点坐标为，过点作轴，垂足为，作轴交于点，则的坐标为，，.

又轴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴.

在中

，

解得：，

所以点到轴的距离为，

【解析】（1）根据待定系数法，计算即可.

（2）首先设出P点的坐标，再利用求解未知数，可得P点的坐标.

（3）首先求出直线AB的解析式，过点作轴，垂足为，作轴交于点，再利用平行证明，列出方程求解参数，即可的点到轴的距离.

【考点】二次函数与一次函数的综合性问题

25.【答案】（l），

证明如下：在边上取，连接、，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴.

（2），

证明如下：延长交于点，

∵四边形是正方形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

∴.

【解析】（1）首先假设，在边上取，连接、，进而证明，可得，即可证明.

（2）假设垂直，延长交于点，证明,进而证明是等腰三角形，即可证明.

【考点】正方形的性质

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d1c7a360e65c3b3567ec102de2bd960590c6d983.html