最值和取值范围问题-高考文科数学分类专题突破训练

考查角度2　最值和取值范围问题

　　分类透析一　利用函数的性质求最值

如图,已知抛物线x2=y,点Aword/media/image4.gif,Bword/media/image5.gif,抛物线上的点P(x,y) word/media/image6.gif.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(1)求出AP的斜率k与x的关系式,利用-word/media/image7.gifword/media/image8.gif求出斜率的取值范围;

(2)求出|PA|·|PQ|关于k的关系式,构造函数,用导数求出其最大值.

(1)设直线AP的斜率为k,k=word/media/image9.gif=x-word/media/image7.gif,

因为-word/media/image7.gifword/media/image8.gif,

所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).

(2)联立直线AP与BQ的方程word/media/image10.gif

解得点Q的横坐标是xQ=word/media/image11.gif.

因为|PA|=word/media/image12.gif=word/media/image13.gif (k+1),

|PQ|=word/media/image13.gif (xQ-x)=- word/media/image14.gif,

所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(k)=-(k-1)(k+1)3,

因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,

所以f(k)在区间word/media/image15.gif上单调递增, word/media/image16.gif上单调递减,

因此当k=word/media/image7.gif时,|PA|·|PQ|取得最大值word/media/image17.gif.

本题在求最大值时,得到的结果是关于k的四次函数,可以通过求导找出要求的最值.一般情况下,若表达式不易转化为基本不等式或者二次函数模型,但易求其导数时,通常可以通过求导找出最值.

　　分类透析二　利用不等关系或均值不等式求最值

　　 已知点P为椭圆E: word/media/image18.gif +word/media/image19.gif=1上的动点,点Q满足word/media/image20.gif=word/media/image21.gif.

(1)求点Q的轨迹M的方程;

(2)直线l:y=kx+n与M相切,且与圆x2+y2=word/media/image22.gif交于A,B两点,求△ABO面积的最大值(其中O为坐标原点).

(1)设P(x,y),Q(x0,y0),由已知找出坐标的关系,用相关点法求出轨迹方程;

(2)由直线与椭圆相切,联立两个方程,消去y建立一元二次方程,通过判别式等于0,并结合题设条件建立有关参变量k,n的等量关系.求三角形的面积,可利用弦长公式求出底边的长,再利用点到直线的距离求出高,进而可以确定面积,然后利用均值不等式求其最大值.

(1)设Q(x,y),P(x0,y0),由word/media/image20.gif=word/media/image21.gif,

得(x,y)= word/media/image23.gif (x0,y0),则word/media/image24.gif

又点P(x0,y0)在椭圆E上,故word/media/image25.gif+word/media/image26.gif=1,

即点Q的轨迹M的方程为word/media/image27.gif+word/media/image28.gif=1.

(2)直线l:y=kx+n与椭圆M: word/media/image27.gif +word/media/image28.gif=1相切,故由word/media/image29.gif得(18k2+9)x2+36knx+18n2-4=0.

因为Δ=(36kn)2-4(18k2+9)(18n2-4)=4×18(4k2-9n2+2)=0,

所以4k2=9n2-2(显然n≠0).

因为点O到直线AB的距离d=word/media/image30.gif,

所以|AB|=2word/media/image31.gif.

因为4k2=9n2-2,所以n2≥word/media/image32.gif,

所以d2=word/media/image33.gif=word/media/image34.gif∈word/media/image35.gif,

则S△AOB=word/media/image7.gif·|AB|·d=word/media/image7.gif·2word/media/image31.gif·d=word/media/image36.gif≤word/media/image32.gif,当且仅当word/media/image22.gif-d2=d2,即d2=word/media/image32.gif时等号成立.所以△ABO面积的最大值为word/media/image32.gif.

解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值.

　　分类透析三　取值范围问题

已知椭圆C: word/media/image37.gif +word/media/image38.gif=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为word/media/image7.gif.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.

(1)由焦点坐标知c=1,由离心率知a=2,进而可求得b2,得到椭圆方程;

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x3,y3),讨论直线MN的斜率k,当斜率存在时,设出直线MN的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到x3,y3与k的关系,再求出线段MN的垂直平分线,从而求出y0及其取值范围.

(1)依题意,得c=1.

因为椭圆C的离心率为e=word/media/image7.gif,

所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.

故椭圆C的方程为word/media/image18.gif+word/media/image39.gif=1.

(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.

当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).

由word/media/image40.gif消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),

则x1+x2=word/media/image41.gif.

所以x3=word/media/image42.gif=word/media/image43.gif,y3=k(x3-1)= word/media/image44.gif.

故线段MN的垂直平分线的方程为y+word/media/image45.gif=-word/media/image46.gifx-word/media/image43.gif.

在上述方程中,令x=0,得y0=word/media/image49.gif=word/media/image50.gif.

当k<0时, word/media/image51.gif +4k≤-4word/media/image52.gif,

当且仅当word/media/image51.gif=4k,k=-word/media/image53.gif时,等号成立;

当k>0时, word/media/image51.gif +4k≥4word/media/image52.gif,当且仅当word/media/image51.gif=4k,k=word/media/image53.gif时,等号成立.

所以-word/media/image54.gif≤y0<0或00≤word/media/image54.gif.

综上所述,y0的取值范围是word/media/image55.gif.

在求解圆锥曲线中的取值范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的取值范围.在利用代数法解决取值范围问题时,常从以下方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④利用基本不等式求出参数的取值范围;⑤利用求函数的值域的方法,确定参数的取值范围.

1.(2018年全国Ⅲ卷,文20改编)已知斜率为1的直线m与椭圆C: word/media/image18.gif +word/media/image39.gif=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(x0,n).

(1)证明:|n|<word/media/image57.gif.

(2)过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于G,H两点,线段GH的中点为P,过点P垂直于GH的直线与x轴交于点Dword/media/image58.gif,求证|k|=1.

(1)设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组word/media/image59.gif消去y得关于x的方程7x2+8bx+4b2-12=0.

由直线m与椭圆C相交于A,B两点,知Δ>0,

即|b|<word/media/image60.gif.

由一元二次方程的根与系数的关系,

得x1+x2=-word/media/image61.gif,y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=word/media/image62.gif,

∴n=word/media/image63.gif=word/media/image64.gif,故|n|<word/media/image57.gif.

(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),

设G(x3,y3),H(x4,y4),

联立word/media/image65.gif整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

由韦达定理得x3+x4=word/media/image41.gif,x3·x4=word/media/image66.gif.

则y3+y4=k(x1+x2)-2k=-word/media/image67.gif.

∵P为线段GH的中点,∴P的坐标为word/media/image68.gif.

又直线PD的斜率为-word/media/image46.gif,故直线PD的方程为y-word/media/image44.gif=-word/media/image69.gif.

令y=0,得x=word/media/image70.gif.

∵直线AB与x轴交于点Dword/media/image58.gif,∴word/media/image70.gif=word/media/image71.gif,解得k=±1.故|k|=1成立.

2.(2018年浙江卷,21改编)如图,已知抛物线C:y2=2px(p≠0)的焦点F在直线2x+y-2=0上,点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点,抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B、E.

(1)设word/media/image73.gif=λword/media/image74.gif,求证:λ为定值.

(2)在(1)的条件下,直线PF与抛物线C交于另一点A,求△PAB面积的最小值.

(1)由题意知,抛物线C的焦点Fword/media/image75.gif在x轴上.

在方程2x+y-2=0中,令y=0,得x=1,所以p=2.

所以抛物线C的方程为y2=4x.由点P是C上异于坐标原点O的任意一点,设Pword/media/image76.gif (t≠0).

设切线BP的斜率为k,则切线BP的方程为y-t=kword/media/image77.gif.

由word/media/image78.gif消去x并整理得ky2-4y-kt2+4t=0.

由k≠0,Δ=16-4k(-kt2+4t)=0,可得4(kt-2)2=0.

所以kt-2=0.所以切线BP的斜率k=word/media/image79.gif.

所以切线BP的方程为y-t=word/media/image80.gif,即y=word/media/image79.gifx+word/media/image81.gif.

在y=word/media/image79.gifx+word/media/image81.gif中,令x=0,得y=word/media/image81.gif.

所以点E的坐标为word/media/image82.gif.

在y=word/media/image79.gifx+word/media/image81.gif中,令y=0,得x=-word/media/image83.gif.

所以点B的坐标为word/media/image84.gif.

所以word/media/image73.gif=word/media/image82.gif-word/media/image76.gif=word/media/image85.gif, word/media/image74.gif =word/media/image84.gif-word/media/image76.gif=word/media/image86.gif.

所以word/media/image73.gif=word/media/image87.gif.故λ=word/media/image7.gif,为定值.

(2)由直线FP过点F(1,0),设直线FP的方程为x=my+1.

由word/media/image88.gif消去x得word/media/image89.gif-my-1=0.

由韦达定理,得yAyP=-4.所以yA=-word/media/image90.gif=-word/media/image91.gif.

于是S△PAB=word/media/image7.gif·|BF|·|yA-yP|=word/media/image7.gif·word/media/image92.gif·word/media/image93.gif=word/media/image94.gif·(4+t2)·word/media/image95.gif,

令f(t)= word/media/image94.gif (4+t2)·word/media/image95.gif (t≠0),则f(t)为偶函数,只需研究函数f(t)在t>0时的最小值即可.

当t>0时,f(t)= word/media/image94.gif (4+t2)·word/media/image96.gif=word/media/image97.gif,

f'(t)= word/media/image98.gif =word/media/image99.gif (3t4+8t2-16)= word/media/image99.gif (3t2-4)(t2+4).

当0word/media/image100.gif时,f'(t)<0,f(t)为减函数;

当t>word/media/image100.gif时,f'(t)>0,f(t)为增函数.

所以当t>0时,函数f(t)在t=word/media/image100.gif时取得最小值fword/media/image101.gif=word/media/image102.gif.

因为f(t)为偶函数,所以当t<0时,函数f(t)在t=-word/media/image100.gif时取得最小值fword/media/image103.gif=word/media/image102.gif.

当t=word/media/image100.gif时,点P的坐标为word/media/image104.gif;

当t=-word/media/image100.gif时,点P的坐标为word/media/image105.gif.

综上所述,△PAB面积的最小值为word/media/image102.gif,

此时点P的坐标为word/media/image104.gif或word/media/image105.gif.

1.(2018年江西上饶模拟)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+2word/media/image107.gif=0的距离为3.

(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当word/media/image108.gif=word/media/image109.gif时,求m的取值范围.

(1)依题意可设椭圆方程为word/media/image37.gif+y2=1,则右焦点F(word/media/image110.gif,0).

由题设知word/media/image111.gif=3,解得a2=3.

故所求椭圆的方程为word/media/image112.gif+y2=1.

(2)由word/media/image113.gif

得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0.

由于直线与椭圆有两个交点,则Δ>0,

即 m2<3k2+1.　①

设P为弦MN的中点,∴xP=word/media/image114.gif=-word/media/image115.gif,

∴yP=kxP+m=word/media/image116.gif,

∴kAP=word/media/image117.gif=-word/media/image118.gif.

又word/media/image108.gif=word/media/image109.gif,∴AP⊥MN,

则-word/media/image118.gif=-word/media/image46.gif,即2m=3k2+1,　②

把②代入①,得2m>m2,解得 02.

又由②得k2=word/media/image119.gif>0,解得m>word/media/image7.gif.

∴所求m的取值范围是word/media/image120.gif.

2.(2018届安徽省黄山市一模)设F1、F2分别是椭圆word/media/image18.gif+y2=1的左、右焦点.

(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且word/media/image121.gif·word/media/image122.gif=-word/media/image123.gif,求点P的坐标;

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

(1)易知a=2,b=1,c=word/media/image52.gif,

∴F1(-word/media/image52.gif,0),F2(word/media/image52.gif,0).设P(x,y)(x>0,y>0),

则word/media/image121.gif·word/media/image122.gif=(-word/media/image52.gif-x,-y)( word/media/image52.gif -x,-y)=x2+y2-3=-word/media/image123.gif.又word/media/image18.gif+y2=1,

联立word/media/image124.gif由x>0,y>0,得word/media/image125.gif

故点P的坐标为word/media/image126.gif.

(2)显然k=0不满足题意,

故设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立word/media/image127.gif消去y,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0.

∴x1x2=word/media/image128.gif,x1+x2=-word/media/image129.gif.

由Δ=(16k)2-4·(1+4k2)·12>0,得k2>word/media/image130.gif.　①

又∠AOB为锐角,∴cos∠AOB>0,∴word/media/image131.gif·word/media/image132.gif>0,

∴word/media/image131.gif·word/media/image132.gif=x1x2+y1y2>0.

∵y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,

∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)·word/media/image133.gif+2k·word/media/image134.gif+4=word/media/image135.gif>0,∴02<4.　②

综合①②可知word/media/image130.gif2<4,

∴直线l的斜率k的取值范围是word/media/image136.gif∪word/media/image137.gif.

3.(2018届山西省高三第一次模拟考试)已知椭圆E: word/media/image37.gif +word/media/image38.gif=1(a>b>0)过点word/media/image138.gif,且两个焦点的坐标为(-1,0),(1,0).

(1)求椭圆E的方程;

(2)若A,B,P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点,O为坐标原点,且word/media/image139.gif=word/media/image131.gif+word/media/image132.gif,求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.

(1)由已知得c=1,2a=word/media/image140.gif+word/media/image141.gif=2word/media/image107.gif,

∴a=word/media/image107.gif,b=1,故椭圆E的方程为word/media/image142.gif+y2=1.

(2)设直线AB的方程为x=my+t(m≠0),代入word/media/image142.gif+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-word/media/image143.gif,y1y2=word/media/image144.gif,Δ=8(m2-t2+2).

设P(x0,y0),由word/media/image139.gif=word/media/image131.gif+word/media/image132.gif,得y0=y1+y2=-word/media/image143.gif,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+2t=word/media/image145.gif.

∵点P在椭圆E上,∴word/media/image146.gif+word/media/image147.gif=1,即word/media/image148.gif=1,∴4t2=m2+2.

在x=my+t中,令y=0,则x=t;令x=0,则y=-word/media/image149.gif.

∴所求三角形的面积S=word/media/image7.gif|xy|=word/media/image7.gif×word/media/image150.gif=word/media/image94.gif×word/media/image151.gif=word/media/image94.gif|m|+word/media/image152.gif≥word/media/image94.gif×2word/media/image107.gif=word/media/image153.gif,

当且仅当m2=2,t2=1时取等号,此时Δ=24>0,

∴所求三角形面积的最小值为word/media/image153.gif.

4.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)在直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),两动点C(0,m),D(0,n),且mn=3,直线AC与直线BD的交点为P.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)过点F(1,0)作直线l交动点P的轨迹于M,N两点,试求word/media/image154.gif·word/media/image155.gif的取值范围.

(1)直线AC的方程:y=word/media/image156.gif (x+2),　①

直线BD的方程:y=-word/media/image157.gif (x-2),　②

上述两式相乘得y2=-word/media/image158.gif (x2-4).

又mn=3,整理得word/media/image18.gif+word/media/image39.gif=1.

由mn=3得m≠0,n≠0,故x≠±2.

所以动点P的轨迹方程为word/media/image18.gif+word/media/image39.gif=1(x≠±2).

(2)当直线MN的斜率不存在时,Mword/media/image159.gif,N1,- word/media/image8.gif ,有word/media/image154.gif=word/media/image160.gif, word/media/image155.gif =word/media/image161.gif,

得word/media/image154.gif·word/media/image155.gif=-word/media/image162.gif.

当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),

联立word/media/image163.gif整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

则x1+x2=word/media/image164.gif,x1x2=word/media/image165.gif.

故word/media/image154.gif·word/media/image155.gif=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]=(1+k2) word/media/image166.gif =-word/media/image167.gif=-word/media/image162.gif-word/media/image168.gif.

由k2>0,可得-3<-word/media/image162.gif-word/media/image168.gif<-word/media/image162.gif,

综上可得word/media/image154.gif·word/media/image155.gif的取值范围为word/media/image169.gif.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6fa4ec496e1aff00bed5b9f3f90f76c660374c19.html