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2020年北京市海淀区中考数学二模试卷(解析版)

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020年北京市海淀区中考数学二模试卷
一．选择题（共8小题）
1．下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）
A．B．
C．2．若代数式A．x＝0
D．
有意义，则实数x的取值范围是（）
B．x＝2
C．x≠0
D．x≠2
3．如图，在△ABC中，AB＝3cm，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）

A．1.5cm2
B．2cm2
C．2.5cm2
D．3cm2
4．图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）

A．区域①处
B．区域②处
C．区域③处
D．区域④处
5．如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
6．如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（）A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）

A．

B．2
C．2

D．3

8．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（）A．y＝﹣x+1
B．y＝x2﹣2x
C．y＝﹣
D．y＝x2+
二．填空题（共8小题）
9．单项式3x2y的系数为．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）

11．如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n投中次数m
4833
8259
12483
176118
230159
287195
328223
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投中频率
0.690.720.670.670.690.680.68
根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为．（结果精确到0.01）12．函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为．

15．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是．
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三．解答题（共12小题）17．计算：（）1+（2020﹣π）0+|
﹣
﹣1|﹣2cos30°．
18．解不等式2（x﹣1）＜4﹣x，并在数轴上表示出它的解集．

19．下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，则直线PQ即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，（）（填推理的依据）．∵AP＝，∴∠APQ＝∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．
∴PQ∥BC（）（填推理的依据）．
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即PQ∥l．

20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+n＝0．（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．（1）求证：四边形ADCG是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．

22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．

根据以上材料回答下列问题：（1）图2中，n的值为；
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（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是；
（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：∠DBC＝∠OCA；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．（1）求k和p的值；（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．

25．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．
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（1）由题意可得＝，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表
达式为y＝；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①写出该函数的一条性质：；②估计
AB+AD
的最小值为

．（结果精确到
0.1）

26．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

27．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；
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（2）求证：AD＝AE；
（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②
若
BE+CF
＝
AB
成
立
，
直接
写
出
∠
BAD
的
度
数
为°．
28．在平面内，对于给定的△ABC，如果存在一个半圆或优弧与△ABC的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的弧为△ABC的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为△ABC的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），B（0，6）．
（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是△OAB的内切弧的是；
（2）如图2，若弧G为△OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，求弧G的半径的最大值；
（3）如图3，动点M（m，3），连接OM，AM．①直接写出△OAM的完美内切弧的半径的最大值；
②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线AB于点D，E，点F为线段PE的中点，直接写出线段DF长度的取值范围．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）
A．B．
C．D．
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以圆柱的侧面展开图的是长方形．【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．故选：A．2．若代数式A．x＝0
有意义，则实数x的取值范围是（）
B．x＝2
C．x≠0
D．x≠2
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．【解答】解：若代数式解得：x≠2．故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝3cm，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）
有意义，则x﹣2≠0，

A．1.5cm2
B．2cm2
C．2.5cm2
D．3cm2
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
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通过测量，CD＝2cm，∴S△ABC＝AB•CD＝故选：D．
＝3（cm2），

4．图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）

A．区域①处
B．区域②处
C．区域③处
D．区域④处
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，这个正方形应该添加区域②处，故选：B．
5．如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（）

A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，根据三角形内角和定理得出∠B的度数．【解答】解：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，
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∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．
6．如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（）A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由已知条件求得a2﹣a的值，再化简原式，把代数式转化成a2﹣a的形式，后整体代入求值便可．
【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2﹣4＝2a2﹣2a﹣3＝2（a2﹣a）﹣3，∵a2﹣a﹣2＝0，∴a2﹣a＝2，
∴原式＝2×2﹣3＝1．故选：A．
7．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）

A．

B．2
C．2

D．3

【分析】过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝
OA＝4
，，
∴OC＝AB＝2故选：C．

8．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列
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函数的图象中不存在“同号点”的是（）A．y＝﹣x+1
B．y＝x2﹣2x
C．y＝﹣
D．y＝x2+
【分析】根据“同号点”的定义可知，“同号点”的横纵坐标乘积大于零即可，所以可以在每个函数两边同时乘以x，这样每个函数的左边就变成了xy，接着我们讨论函数等号右边的式子是否大于零就可以了．
【解答】解：∵y＝﹣x+1，∴xy＝x（﹣x+1），显然x＝时，xy＝＞0，∴A选项存在“同号点”，故A排除．
∵y＝x2﹣2x，∴xy＝x（x2﹣2x），显然x＝3时，xy＝9＞0，∴B选项也存在“同号点”，故B排除．
∵y＝﹣，∴xy＝﹣2＜0，∴C选项一定不会存在“同号点”，故答案C符合题意．∵y＝x2+，∴xy＝x3+1，显然x＝1时，xy＝2＞0，∴D选项存在“同号点”，故D排除．故选：C．
二．填空题（共8小题）9．单项式3x2y的系数为3．
【分析】把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．【解答】解：3x2y＝3•x2y，其中数字因式为3，则单项式的系数为3．故答案为：3．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB＜∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【分析】延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，根据三角形外角性质得∠ADB＞∠E，根据圆周角定理得∠ACB＝∠E，于是∠ACB＜∠ADB．【解答】解：∠ACB＜∠ADB．理由如下：延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，
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∵∠ADB＞∠E，而∠ACB＝∠E，∴∠ACB＜∠ADB．故答案为＜．
11．如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n投中次数m投中频率
4833
8259
124830.67
1761180.67
2301590.69
2871950.68
3282230.68
0.690.72
根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.68．（结果精确到0.01）【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.68附近，
∴这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.68，故答案为：0.68．
12．函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值k＝1（答案不唯一）．
【分析】由﹣1＜1且y1＜y2可得出y值随x值的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，任取一个大于0的值即可．【解答】解：∵﹣1＜1，且y1＜y2，∴y值随x值的增大而增大，∴k＞0．
故答案为：k＝1（答案不唯一）．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为2．
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【分析】由BD⊥BC，推出∠CDB＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CDB＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2AD＝2．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠CDB＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CDB＝120°﹣90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD＝2．故答案为2．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为（5，2）；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为（5，3）．

【分析】根据轴对称，平移的性质画出三角形即可．
【解答】解：如图△A1B1C1，△A2B2C2，即为所求．C1（5，2），C2（5，3）．
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故答案为（5，2），（5，3）．
15．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为
．
【分析】根据“完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时”列出方程即可．【解答】解：设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为故答案为：
．
，
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是①②．

【分析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为
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（2，m），①∵点A（2，0），∴点A在对称轴上，∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①正确；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），∵C（﹣2，4），∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；故正确结论的序号是①②，故答案为①②．三．解答题（共12小题）17．计算：（）1+（2020﹣π）0+|
﹣
﹣1|﹣2cos30°．
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝2+1+＝2+1+＝2．
18．解不等式2（x﹣1）＜4﹣x，并在数轴上表示出它的解集．

【分析】根据解一元一次不等式的步骤，可得答案．【解答】解：去括号，得2x﹣2＜4﹣x，移项，得2x+x＜4+2，合并同类项，得3x＜6，系数化为1，得x＜2．
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﹣1﹣

﹣1﹣2×


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解集在数轴上表示如图：

19．下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，则直线PQ即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，（等边对等角）（填推理的依据）．∵AP＝PQ，∴∠APQ＝∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．即PQ∥l．

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质和平行线的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，直线PQ即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），
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∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行），即PQ∥l．
故答案为：等边对等角；AQ；同位角相等，两直线平行．

20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+n＝0．（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
【分析】（1）由于方程有两个相等的实数根，利用判别式可以列出关于n的方程即可求解；
（2）把x＝0代入方程得到x2﹣2x＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4n＝0，解得：n＝1；
（2）当此方程有一个实数根为0时，代入方程得，n＝0，∴原方程可化为x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，故另外一个实数根为2．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．（1）求证：四边形ADCG是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．
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【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACG，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AG∥DC，CG∥DA，∴四边形ADCG是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∴AD＝CD＝AB，∴四边形ADCG是菱形；（2）解：∵CG∥DA，∴∠BAC＝∠ACG，∴tan∠CAG＝tan∠BAC＝∴设BC＝3x，AC＝4x，∴AB＝5x＝10，∴x＝2，∴BC＝3x＝6．
22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．
＝，
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根据以上材料回答下列问题：（1）图2中，n的值为18；
（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是2.1亿吨；
（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）根据样本估计总体列式计算即可．【解答】解：（1）n＝100﹣20﹣55﹣7＝18，故答案为：18；
（2）∵在1.8，1.9，2.0，2.2，2.3，2.5中，2.2和2.2处在中间位置，∴2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是故答案为：2.1亿吨；
（3）2.5×20%×（40÷0.02）＝1000（亿元），
答：估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是1000亿元，
23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：∠DBC＝∠OCA；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．
＝2.1（亿吨）
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【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，根据切线的性质得到∠DBC+∠ABC＝90°，得到∠A＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、等量代换证明结论；
（2）根据正切的定义求出BC，证明CD＝BC，得到答案．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵BD为⊙O的切线，∴AB⊥BD，
∴∠DBC+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DBC；
（2）解：在Rt△ABC中，tanA＝∴BC＝AC•tanA＝
，
，
由（1）可知，∠DBC＝∠BAC＝30°，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴∠D＝30°，∴∠D＝∠DBC，∴CD＝BC＝
．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交
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于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．（1）求k和p的值；（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．

【分析】解：（1）将点P的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），MN∥x轴，故点N的纵坐标为，即可求解；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×（﹣m）×＞（m＞0），即可求解．【解答】解：（1）将点P的坐标代入y＝（x＞0）得：2＝1×p，解得：p＝2，故点P（1，2）；
将点P的坐标代入y＝kx得：2＝k×1，解得：k＝2；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），∵MN∥x轴，故点N的纵坐标为，
将点N的纵坐标代入直线y＝2x得：＝2x，解得：x＝，故点N的坐标为（，）；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×（﹣m）×＞（m＞0），
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解得：m＜故0＜m
，．
25．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．（1）由题意可得
＝
，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表
达式为y＝y＝x++2（x＞0）；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大；②估计
AB+AD
的最小值为
4.8
．（结果精确到
0.1）

【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）①结合图象解决问题（答案不唯一）．②由x+y＝2x++2≥2
+2可得结论．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴
，
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∵AC﹣AB＝1，∴AC＝1+AB，∵AB＝x，AD＝y，∴
，
∴y＝x++2（x＞0）；故答案为y＝x++2（x＞0）．
（2）函数图象如图所示：


（3）①函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大．
②∵x+y＝2x++2≥2∴x+y≥4.8，故答案为4.8．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
+2，
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【分析】（1）令x＝0，解得y＝3，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，
∴令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），
把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3，求得m＝﹣1，∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：

把A（﹣3，0）代入y＝x2+2x+a得0＝9﹣6+a，解得a＝﹣3，
由图象可知，二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为﹣3≤a＜3．
27．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．
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（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；
（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若
BE+CF＝AB
成立，直接写出∠BAD
的度数为
20°．
【分析】（1）由旋转即可补全图形；

（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；
（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠FAD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；
②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；
（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，
∵BE是△ABC的外角的平分线，
∴∠ABM＝（180°﹣60°）＝60°＝∠C，
在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），
，
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∴AD＝AE；
（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，
设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，
∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；
②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，
∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，
∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，
∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，
∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，
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由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．


28．在平面内，对于给定的△ABC，如果存在一个半圆或优弧与△ABC的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的弧为△ABC的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为△ABC的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），B（0，6）．
（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是△OAB的内切弧的是G3，G2；（2）如图2，若弧G为△OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，求弧G的半径的最大值；
（3）如图3，动点M（m，3），连接OM，AM．①直接写出△OAM的完美内切弧的半径的最大值；
②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线AB于点D，E，点F为线段PE的中点，直接写出线段DF长度的取值范围．
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【分析】（1）根据内切弧的定义解决问题即可．
（2）当弧G与边AB，OB相切，且弧所在的圆的圆心在∠ABO的角平分线上，当点J落在x轴上时，⊙J的半径最大．
（3）①如图3﹣1中，当MO＝MA时，△OAM的完美内切弧的半径最大，设圆心为H，T，G为切点，连接HT，HG，MH．解直角三角形求出HT即可．
②如图3﹣2中，当直线DE经过切点T时，可证MF⊥DE，此时DF的值最大，此时DF＝3．如图3﹣3中，当DE与半圆弧相切时，DF的值最小．当直线DE经过切点G
时，线段DE不存在，此时DF＝＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是△OAB的内切弧的是G3，G2．故答案为G3，G2．
（2）如图，
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∵弧G与边AB，OB相切，
∴弧所在的圆的圆心在∠ABO的角平分线上，当点J落在x轴上时，⊙J的半径最大，过点J作JM⊥AB于M．
∵∠BOJ＝∠BMJ＝90°，BJ＝BJ，∠JBO＝∠JBM，∴△JBO≌△JBM（AAS），∴BM＝BO＝6，OJ＝JM，在Rt△AOB中，AB＝
＝
＝10，
∴AM＝10﹣6＝4，设OJ＝JM＝x，则有（8﹣x）2＝42+x2，∴x＝3，∴JO＝JM＝3，
∴弧G的半径的最大值为3．
（3）①如图3﹣1中，当MO＝MA时，△OAM的完美内切弧的半径最大，设圆心为H，T，G为切点，连接HT，HG，MH．

∵HT＝HG，HM＝HM，∠HTM＝∠HGM＝90°，
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∴Rt△HMT≌Rt△HMG（HL），∴∠HMO＝∠HMA，∴MH⊥OA，OH＝HA＝4，∵MH＝3，∴OM＝
＝
＝5，
∵•OH•HM＝•OM•HT，∴HT＝
，
．
∴△OAM的完美内切弧的半径的最大值为
②如图3﹣2中，当直线DE经过切点T时，可证MF⊥DE，此时DF的值最大，此时DF＝3，


如图3﹣3中，当DE与半圆弧相切时，DF的值最小，

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∵AD＝AH﹣DH＝4﹣＝，
∴DF＝AD•tan∠BAO＝×＝，∴DF＝DE＝，
当直线DE经过切点G时，线段DE不存在，此时DF＝综上所述，满足条件的DF的值为：≤DF≤3且DF≠
．
＝＝，
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/12775fd86e175f0e7cd184254b35eefdc9d31595.html

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