2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数(1+i)2+的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅
3.已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,成等差数列,则的值是( )
A. B. C. D.
4.阅读如图的程序框图.若输入n=5,则输出k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=7,则|PF2|等于( )
A.1 B.13 C.4或10 D.1或13
6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
7.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(0,) D.(0,)
9.已知p:∃x>0,ex﹣ax<1成立,q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.8π B.12π C.20π D.24π
11.若直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),且|x1﹣x2|=,则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=x3﹣,则的值为( )
A.0 B.504 C.1008 D.2016
二、填空题:本小题共4题,每小题5分.
13.已知||=1,||=,且⊥(﹣),则向量与向量的夹角是 .
14.(3﹣x)n的展开式中各项系数和为64,则x3的系数为 (用数字填写答案)
15.已知函数f(x)=,若|f(a)|≥2,则实数a的取值范围是 .
16.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,则f(n)=(n∈N*)的最小值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.
(Ⅰ) 求∠ACP;
(Ⅱ) 若△APB的面积是,求sin∠BAP.
18.近年来,我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满
意的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望EX.
附:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)
19.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ) 求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ) 若AD=1,二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.
20.过点P(a,﹣2)作抛物线C:x2=4y的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ) 证明:x1x2+y1y2为定值;
(Ⅱ) 记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.
21.已知函数f(x)=lnx+.
(Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2cos(θ﹣).
(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.
2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数(1+i)2+的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:(1+i)2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i.
故选:B.
2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅
【考点】集合的表示法.
【分析】化简N,即可得出结论.
【解答】解:由题意,N={y|y=x2,|x|≤1}={y|0≤y≤1},
∴N⊆M,
故选C.
3.已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,成等差数列,则的值是( )
A. B. C. D.
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设等比数列{an}的公比为q,且q>0,由题意和等差中项的性质列出方程,由等比数列的通项公式化简后求出q,由等比数列的通项公式化简所求的式子,化简后即可求值.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,且q>0,
∵a3,成等差数列,
∴,则,
化简得,q2﹣q﹣1=0,解得q=,
则q=,
∴====,
故选A.
4.阅读如图的程序框图.若输入n=5,则输出k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】程序框图.
【分析】根据已知中的程序框图可得,该程序的功能是计算并输出变量k,n的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:第一次执行循环体,n=16,不满足退出循环的条件,k=1;
第二次执行循环体,n=49,不满足退出循环的条件,k=2;
第三次执行循环体,n=148,不满足退出循环的条件,k=3;
第四次执行循环体,n=445,满足退出循环的条件,
故输出k值为3,
故选:B
5.已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=7,则|PF2|等于( )
A.1 B.13 C.4或10 D.1或13
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a,由双曲线的定义求出|PF2|.
【解答】解:由双曲线的方程、渐近线的方程可得=,∴a=3.
由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6,∴|PF2|=1或13,
故选C.
6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD,作出图形,可得结论.
【解答】解:该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD,如图所示,
该几何体的俯视图为D.
故选:D.
7.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】求出基本事件的个数,即可求出没有相邻的两个人站起来的概率.
【解答】解:五个人的编号为1,2,3,4,5.
由题意,所有事件,共有25=32种,没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1),(2),(3),(4),(5),(1,3),(1,4),(2,4),(2,5),(3,5),再加上没有人站起来的可能有1种,共11种情况,
∴没有相邻的两个人站起来的概率为,
故选:C.
8.已知F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(0,) D.(0,)
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由∠F1PF2为钝角,得到•<0有解,转化为c2>x02+y02有解,求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围.
【解答】解:设P(x0,y0),则|x0|<a,
又F1(﹣c,0),F2(c,0),
又∠F1PF2为钝角,当且仅当•<0有解,
即(﹣c﹣x0,﹣y0)•(c﹣x0,﹣y0)=(﹣c﹣x0)(c﹣x0)+y02<0,
即有c2>x02+y02有解,即c2>(x02+y02)min.
又y02=b2﹣x02,
∴x02+y02=b2+x02∈[b2,a2),
即(x02+y02)min=b2.
故c2>b2,c2>a2﹣c2,
∴>,即e>,
又0<e<1,
∴<e<1.
故选:A.
9.已知p:∃x>0,ex﹣ax<1成立,q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用导数研究p的单调性可得a>0.q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则a﹣1>1,解得a>2.即可判断出结论.
【解答】解:p:∃x>0,ex﹣ax<1成立,则a,令f(x)=,则f′(x)=.
令g(x)=exx﹣ex+1,
则g(0)=0,g′(x)=xex>0,∴g(x)>0,∴f′(x)>0,∴a>0.
q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则a﹣1>1,解得a>2.
则p是q的必要不充分条件.
故选:B.
10.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.8π B.12π C.20π D.24π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】由题意,PC为球O的直径,求出PC,可得球O的半径,即可求出球O的表面积.
【解答】解:由题意,PC为球O的直径,PC==2,
∴球O的半径为,
∴球O的表面积为4π•5=20π,
故选C.
11.若直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),且|x1﹣x2|=,则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( )
A. B. C. D.
【考点】正弦函数的图象.
【分析】根据直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),求解x1,x2的值,利用定积分即可求解线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积.
【解答】解:函数f(x)=2sin2x,
周期T=π,
令2sin2x=1,解得:x=或,
直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点从左向右依次是,,…,
∵|x1﹣x2|=
令x1=,x2=,
可得:线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积
S=﹣2﹣2=.
故选A
12.已知函数f(x)=x3﹣,则的值为( )
A.0 B.504 C.1008 D.2016
【考点】数列的求和.
【分析】使用二项式定理化简得f(x)═(x﹣)3+.根据与互为相反数便可得出答案.
【解答】解:f(x)=x3﹣=x3﹣x2+x﹣+=(x﹣)3+.
∵+=0,k=1,2,…2016.
∴(﹣)3+()3=0,k=1,2,…2016.
∴==504.
故选:B.
二、填空题:本小题共4题,每小题5分.
13.已知||=1,||=,且⊥(﹣),则向量与向量的夹角是 .
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值,可得向量与向量的夹角θ的值.
【解答】解:设向量与向量的夹角是θ,则由题意可得•(﹣)=﹣=1﹣1××cosθ=0,
求得cosθ=,可得θ=,
故答案为:.
14.(3﹣x)n的展开式中各项系数和为64,则x3的系数为 ﹣540 (用数字填写答案)
【考点】二项式系数的性质.
【分析】令x=1,则2n=64,解得n=6.再利用通项公式即可得出.
【解答】解:令x=1,则2n=64,解得n=6.
(3﹣x)6的通项公式为:Tr+1==(﹣1)r•36﹣r•xr,
令r=3,则x3的系数为﹣=﹣540.
故答案为:﹣540.
15.已知函数f(x)=,若|f(a)|≥2,则实数a的取值范围是 .
【考点】函数的值.
【分析】根据解析式对a分类讨论,分别列出不等式后,由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围.
【解答】解:由题意知,f(x)=,
①当a≤0时,不等式|f(a)|≥2为|21﹣a|≥2,
则21﹣a≥2,即1﹣a≥1,解得a≤0;
②当a>0时,不等式|f(a)|≥2为,
则或,
即或,解得0<a或a≥8;
综上可得,实数a的取值范围是,
故答案为:.
16.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,则f(n)=(n∈N*)的最小值为 .
【考点】数列的求和.
【分析】对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,令p=n,q=1,可得an+1=an+a1,则﹣an=2,利用等差数列的求和公式可得Sn.f(n)===n+1+﹣1,令g(x)=x+(x≥1),利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
【解答】解:∵对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,令p=n,q=1,可得an+1=an+a1,则﹣an=2,
∴数列{an}是等差数列,公差为2.
∴Sn=2n+=n+n2.
则f(n)===n+1+﹣1,
令g(x)=x+(x≥1),则g′(x)=1﹣=,可得x∈[1,时,函数g(x)单调递减;x∈时,函数g(x)单调递增.
又f(7)=14+,f(8)=14+.
∴f(7)<f(8).
∴f(n)=(n∈N*)的最小值为.
故答案为:.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.
(Ⅰ) 求∠ACP;
(Ⅱ) 若△APB的面积是,求sin∠BAP.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ) 在△APC中,由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0,解得AP=2,可得△APC是等边三角形,即可得解.
(Ⅱ) 法1:由已知可求∠APB=120°.利用三角形面积公式可求PB=3.进而利用余弦定理可求AB,在△APB中,由正弦定理可求sin∠BAP=的值.
法2:作AD⊥BC,垂足为D,可求:,利用三角形面积公式可求PB,进而可求BD,AB,利用三角函数的定义可求,.利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)的值.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ) 在△APC中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,
由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC,…
所以22=AP2+(4﹣AP)2﹣2•AP•(4﹣AP)•cos60°,
整理得AP2﹣4AP+4=0,…
解得AP=2.…
所以AC=2.…
所以△APC是等边三角形.…
所以∠ACP=60°.…
(Ⅱ) 法1:由于∠APB是△APC的外角,所以∠APB=120°.…
因为△APB的面积是,所以.…
所以PB=3.…
在△APB中,AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19,
所以.…
在△APB中,由正弦定理得,…
所以sin∠BAP==.…
法2:作AD⊥BC,垂足为D,
因为△APC是边长为2的等边三角形,
所以.…
因为△APB的面积是,所以.…
所以PB=3.…
所以BD=4.
在Rt△ADB中,,…
所以,.
所以sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…
==.…
18.近年来,我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满
意的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望EX.
附:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)
【考点】独立性检验的应用.
【分析】(Ⅰ)利用数据直接填写联列表即可,求出X2,即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关;
(Ⅱ)由题意可得X的可能值,分别可求其概率,可得分布列,进而可得数学期望..
【解答】解:(Ⅰ) 2×2列联表:
…,…
因为11.111>6.635,
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”.…
(Ⅱ) 每次购物时,对商品和服务都满意的概率为,且X的取值可以是0,1,2,3.
…;;.…
X的分布列为:
…
所以.…
19.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ) 求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ) 若AD=1,二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)证明DC⊥AB.AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,即二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为,解得AB,如图所示,建立空间直角坐标系D﹣xyz,求出平面BAD的法向量,平面ADE的法向量,即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值
【解答】解:(Ⅰ) 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.…
因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB.…
又因为折叠前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,…
所以AB⊥平面ADC.…
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD.…
又DC⊥平面ABD,AD⊂平面ABD,所以DC⊥AD.
依题意.…
因为AD=1,所以.
设AB=x(x>0),则.
依题意△ABD~△BDC,所以,即.…
解得,故.…
如图所示,建立空间直角坐标系D﹣xyz,则D(0,0,0),,,,,
所以,.
由(Ⅰ)知平面BAD的法向量.…
设平面ADE的法向量
由得
令,得,
所以.…
所以.…
由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角,
所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为.…
20.过点P(a,﹣2)作抛物线C:x2=4y的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ) 证明:x1x2+y1y2为定值;
(Ⅱ) 记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】(Ⅰ) 求导,求得直线PA的方程,将P代入直线方程,求得,同理可知.则x1,x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根,则由韦达定理求得x1x2,y1y2的值,即可求证x1x2+y1y2为定值;设切线方程,代入抛物线方程,由△=0,则k1k2=﹣2,分别求得切线方程,代入即可求证x1x2+y1y2为定值;
(Ⅱ) 直线PA的垂直平分线方程为,同理求得直线PB的垂直平分线方程,求得M坐标,抛物线C的焦点为F(0,1),则,
则.则以PM为直径的圆恒过点F.
【解答】解:(Ⅰ)证明:法1:由x2=4y,得,所以.所以直线PA的斜率为.
因为点A(x1,y1)和B(x2,y2)在抛物线C上,所以,.
所以直线PA的方程为.…
因为点P(a,﹣2)在直线PA上,
所以,即.…
同理,.…
所以x1,x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根.
所以x1x2=﹣8.…
又,…
所以x1x2+y1y2=﹣4为定值.…
法2:设过点P(a,﹣2)且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k(x﹣a),…
,消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0,
由△=16k2﹣4(4ak+8)=0,化简得k2﹣ak﹣2=0.…
所以k1k2=﹣2.…
由x2=4y,得,所以.
所以直线PA的斜率为,直线PB的斜率为.
所以,即x1x2=﹣8.…
又,…
所以x1x2+y1y2=﹣4为定值.…
(Ⅱ) 法1:直线PA的垂直平分线方程为,…
由于,,
所以直线PA的垂直平分线方程为.①…
同理直线PB的垂直平分线方程为.②…
由①②解得,,
所以点.…
抛物线C的焦点为F(0,1),则.
由于,…
所以.
所以以PM为直径的圆恒过点F.…
另法:以PM为直径的圆的方程为.…
把点F(0,1)代入上方程,知点F的坐标是方程的解.
所以以PM为直径的圆恒过点F.…
法2:设点M的坐标为(m,n),
则△PAB的外接圆方程为(x﹣m)2+(y﹣n)2=(m﹣a)2+(n+2)2,
由于点A(x1,y1),B(x2,y2)在该圆上,
则,.
两式相减得(x1﹣x2)(x1+x2﹣2m)+(y1﹣y2)(y1+y2﹣2n)=0,①…
由(Ⅰ)知,代入上式得,…
当x1≠x2时,得8a﹣4m+a3﹣2an=0,②
假设以PM为直径的圆恒过点F,则,即(﹣m,n﹣1)•(﹣a,﹣3)=0,
得ma﹣3(n﹣1)=0,③…
由②③解得,…
所以点.…
当x1=x2时,则a=0,点M(0,1).
所以以PM为直径的圆恒过点F.…
21.已知函数f(x)=lnx+.
(Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)法一:求出函数f(x)的导数,得到函数的单调区间,求出f(x)的最小值,从而求出a的范围即可;
法二:求出a=﹣xlnx,令g(x)=﹣xlnx,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出a的范围即可;
(Ⅱ)令h(x)=xlnx+a,通过讨论a的范围,根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:(Ⅰ)法1:函数的定义域为(0,+∞).
由,得.…
因为a>0,则x∈(0,a)时,f'(x)<0;x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.…
当x=a时,[f(x)]min=lna+1.…
当lna+1≤0,即0<a≤时,又f(1)=ln1+a=a>0,则函数f(x)有零点.…
所以实数a的取值范围为.…
法2:函数的定义域为(0,+∞).
由,得a=﹣xlnx.…
令g(x)=﹣xlnx,则g'(x)=﹣(lnx+1).
当时,g'(x)>0; 当时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减.…
故时,函数g(x)取得最大值.…
因而函数有零点,则.…
所以实数a的取值范围为.…
(Ⅱ)证明:令h(x)=xlnx+a,则h'(x)=lnx+1.
当时,f'(x)<0;当时,f'(x)>0.
所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.
当时,.…
于是,当a≥时,.①…
令φ(x)=xe﹣x,则φ'(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x).
当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.
所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当x=1时,.…
于是,当x>0时,.②…
显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当x>0,时,xlnx+a>xe﹣x.…
因为b>1,所以lnb>0.
所以lnb•ln(lnb)+a>lnb•e﹣lnb.…
所以,即.…
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2cos(θ﹣).
(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ) 将直线l的参数方程消去t参数,可得直线l的普通方程,将ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,带入ρ=2cos(θ﹣)可得曲线C的直角坐标方程.
(Ⅱ)法一:设曲线C上的点为,点到直线的距离公式建立关系,利用三角函数的有界限可得最大值.
法二:设与直线l平行的直线为l':x+y+b=0,当直线l'与圆C相切时,得,点到直线的距离公式可得最大值.
【解答】解:(Ⅰ) 由直线l的参数方程消去t参数,得x+y﹣4=0,
∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0.
由=.
得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,
得:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为,
则点P到直线l的距离为==
当时,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为;
法2:设与直线l平行的直线为l':x+y+b=0.
当直线l'与圆C相切时,得,解得b=0或b=﹣4(舍去).
∴直线l'的方程为x+y=0.
那么:直线l与直线l'的距离为
故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)通过讨论a的范围得到关于a的不等式,解出取并集即可;(Ⅱ)基本基本不等式的性质证明即可.
【解答】解:(Ⅰ) 因为f(1)<3,所以|a|+|1﹣2a|<3.
①当a≤0时,得﹣a+(1﹣2a)<3,
解得,所以;
②当时,得a+(1﹣2a)<3,
解得a>﹣2,所以;
③当时,得a﹣(1﹣2a)<3,
解得,所以;
综上所述,实数a的取值范围是.
(Ⅱ) 因为a≥1,x∈R,
所以f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|(x+a﹣1)﹣(x﹣2a)|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2.
2017年3月25日
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