五六年级北师大版数学知识点总结

北师大版小学数学五年级（上册）知识点

第一单元《倍数与因数》

㈠数的世界

知识点：

认识自然数和整数，联系乘法认识倍数与因数。

像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。

像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。

我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。

倍数与因数是相互依存的关系，不能单独存在，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

补充知识点：一个数的倍数的个数是无限的。因数个数是有限的。

一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

找一个数的因数的方法：利用想乘法算式的方法，一对一对的找，不容易遗漏。当出现两个因数相同时，只选一个。例如：25的因数：1,25,5

36的因数：1,36,2,18,3,12,4,9,6

找一个数倍数的方法：用零除外的连续的自然数分别乘这个数本身。如：3的倍数：3，6,9,12,15……

㈡探索活动（一）2，5的倍数的特征

知识点：

2的倍数的特征：

个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。

5的倍数的特征：

个位上是0或5的数是5的倍数。

偶数和奇数的定义：

是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

能判断一个数是不是2或5的倍数。能判断一个非零自然数是奇数或偶数。

补充知识点：

既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。

㈢探索活动（二）3的倍数的特征

知识点：

3的倍数的特征：

一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

同时是2和3的倍数的特征：

个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。

同时是3和5的倍数的特征：

个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。

同时是2，3和5的倍数的特征：

个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。

6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。

9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

㈣找因数

知识点：

在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。

补充知识点：

一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

㈤找质数

知识点：

理解质数与合数的意义。

一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

1既不是质数也不是合数。

判断一个数是质数还是合数的方法：

一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。

㈥数的奇偶性

知识点：

运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：

小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。

能够运用上面发现的数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。

通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律：

偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数

偶数-偶数=偶数 奇数-奇数=偶数 偶数-奇数=奇数 奇数-偶数=奇数

偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数

第二单元《图形的面积（一）》

㈠比较图形的面积

知识点：

借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。

平面图形面积大小的比较有多种方法：

根据图形面积的大小，可以直接进行比较；可以借助参照物进行比较；可以运用重叠的方法进行比较；借助方格，利用数方格的的方法进行比较；直接计算面积后再进行比较等。

图形面积相同，其形状可以是不同的。

补充知识点：

确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。

㈡地毯上的图形面积

知识点：

根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。

直接通过数方格的方法，得出答案的面积。

将图案进行“化整为零”式的计算，即根据图案的特点，将整体的图案分割为若干个相同面积的小图案，通过求小图案的面积，得出整个图案的面积。

采用“大面积减小面积”的方法，即通过计算相关图形的面积，得到所求的面积。

补充知识点：

在解决问题时，策略和方法是多种多样的。

㈢动手做

知识点：

认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法：

把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法：

把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法：

用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。

㈣探索活动（一）平行四边形的面积

知识点：

平行四边形的面积=拼成的长方形的面积

长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。

因此：平行四边形面积=底×高

如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：

S=ah

运用平行四边形的面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。

补充知识点：

当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。

㈤探索活动（二）三角形的面积

知识点：

三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2

三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。

因此：三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2

如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：

S=ah÷2

运用三角形的面积公式，计算相关图形的面积，解决实际问题。

补充知识点：

决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。

㈥探索活动（三）梯形的面积

知识点：

梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2

梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。

因此：梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=（上底+下底）×高÷2

如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么，梯形的面积公式可以写成：

S= (a+b)h÷2

运用梯形面积的计算公式，解决相应的实际问题。

补充知识点：

决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。

第三单元《分数》

㈠分数的再认识

知识点：

在具体情境中，进一步认识分数。分数对应的“整体”不同，分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样，也就是分数具有相对性。

㈡分饼（真分数与假分数）

知识点：

理解真分数、假分数、带分数的意义。

像、、、，…这样的分数叫作真分数。特点：分子都比分母小；分数值小于1。

像 、、、，…这样的分数叫作假分数。特点：分子比分母大，或者分子与分母相等；分数值大于或等于1。

像 2，5这样的分数叫作带分数。特点：由整数和真分数两部分组成的；分数值大于1。

带分数的读法：2读作：二又四分之一。

★补充知识点：

分子是分母倍数的假分数可以化成整数。

分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。

㈢分数与除法

知识点：

理解分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0）。

分数的分母不能是0。因为在除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，分数中的分母相当于除法中的除数，所以分母也不能是0。

运用分数与除法的关系解决实际问题。用分数来表示两数相除的商。

根据分数与除法的关系把假分数化成带分数的方法：

用分子除以分母，把所得的商写在带分数的整数位置上，余数写在分数部分的分子上，仍用原来的分母作分母。

把带分数化成假分数的方法：

将整数与分母相乘的积加上原来的分子作分子，分母不变。

㈣分数基本性质

知识点：

理解分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质。

分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。

运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。

㈤找最大公因数

知识点：

理解公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数是这几个数的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。

找两个数的公因数和最大公因数的方法：

列举法：运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数，再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数。

补充知识点：

其他找最大公因数的方法：

2、找两个数的公因数和最大公因数，可以先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么这些数就是这两个数的公因数。其中最大的就是这两个数的最大公因数。

例如：找15和50的公因数和最大公因数：

可以先找出15的因数：1，3，5，15。再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1和5，1和5就是15和50的公因数。5就是它们的最大公因数。

3、如果两个数是不同的质数，那么这两个数的公因数只有1。

4、如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的公因数只有1。

5、如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。

6、短除法

偶数与所有奇数的最大公因数是1；一个数与它的的倍数的最大公因数是它本身。

㈥约分

知识点：

理解约分的含义：

把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫做约分。

理解最简分数的含义：

像这样分子、分母公因数只有1了，不能再约分了，这样的分数是最简分数。

掌握约分的方法：

约分的方法一般有两种，一种是用两个数的公因数一个一个去除，另一种是直接用两个数的最大公因数去除。

补充知识点：

比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。例如：○

㈦找最小公倍数

知识点：理解公倍数和最小公倍数的含义。

两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。

找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：

1、先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），再找出公有的倍数，找出两个数公有的倍数，看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。

两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。

补充知识点：

其他找公倍数和最小公倍数的方法：

2、找两个数的公倍数和最小公倍数，可以先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围内），再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数。其中最小的就是这两个数的最小公倍数。

例如：找6和9的公倍数和最小公倍数。（50以内）可以先找出9的倍数（50以内）有：9，18，27，36，45，再从这些数中找出6的倍数18，36，18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。

3、如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

4、如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

5、如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

6、短除法求最小公倍数

㈧分数的大小

知识点：理解通分的含义：

把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。

★通分的两个要点：

和原来分数相等；分母相同。

■分数大小比较：

同分母分数相比较，分子越大分数越大。

同分子分数相比较，分母越小分数越大。

分子分母都不相同的分数相比较的方法：

用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，再比较大小。（把两个分数化成分子相同的分数，再比较大小）

补充知识点：

通分一般以最小公倍数作分母。

数学与交通

㈠相遇

知识点：

分析简单实际问题中的数量关系。

路程=速度×时间 相遇时间=总路程÷速度和

用方程解决简单的实际问题。

强调列方程解应用题的步骤：

（1）找到题中的等量关系式

（2）解设所求量为x

（3）根据等量关系式列出相应的方程

（4）解答方程，注意结果无单位名称。

（5）检验做答。

补充知识点：

速度=路程÷时间 时间=路程÷速度

总路程=相遇时间×速度和 速度和=总路程÷相遇时间

㈡旅游费用

知识点：

会利用已有的知识，依据实际情况给出较经济的方案。

掌握用列表法解决问题。

㈢看图找关系

知识点：

能读懂一些用来表示数量关系的图表，能从图表中获取有关信息，体会图表的直观性。

结合实际问题情境，分析量与量之间的关系。

根据图的变化确定或描述行为、事件的变化。

第四单元《分数加减法》

㈠折纸（分数加减法一）

知识点：

异分母分数加减法的算理。

分母不同的分数相加减，要先通分，化成相同的分母，再加减。

计算结果能约分的要约成最简分数。

㈡星期日的安排（分数加减法二）

知识点：认识分数加减混合运算顺序与整数和小数的加减混合运算顺序相同。

计算加减混合运算时，方法要灵活处理，可以先全部通分，再进行计算；也可计算三个数中的两个数后，再进行通分的；也有先部分进行通分，算出部分的结果后，再第二次通分的。注意：具体的题型具体分析，尽量使计算过程更加简便。

补充知识点：

整数加法交换律和结合律在分数加法中同样适用。

步骤：一看，二通，三算，四约，五化

㈢看课外书时间（分数与小数）

知识点：

将分数化小数的方法：利用分数与除法的关系，即用分子除以分母；

将有限小数化为分数的方法；小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来小数去掉小数点作分子；化成分数后，能约分的要约分。

五单元《图形的面积（二）》

组合图形面积

知识点：了解组合图形：有几个简单的图形拼出来的图形，我们把它们叫做组合图形。

计算组合图形的面积的方法是多种多样的。一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。

分割法，即将这个图形分割成几个基本的图形。分割图形越简洁，其解题的方法也将越简单，同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系。

添补法，即通过补上一个简单的图形，使整个图形变成一个大的规则图形。

运用所学的知识，解决生活中组合图形的实际问题。

探索活动：成长的脚印

知识点：能正确估计不规则图形面积的大小。

能用数格子的方法，计算不规则图形的面积。

估计、计算不规则图形面积的内容主要是以方格图作为北京进行估计与计算的，所以借助方格图能帮助建立估计与计算不规则图形面积的方法。

尝试与猜测

鸡兔同笼 知识点：借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略—列表。

点阵中的规律 知识点：能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。

在“点阵中的规律”的活动中，通过观察前后图形中点的变化规律，推理出后续图形中点的数量。

六单元《可能性的大小》

摸球游戏（用分数表示可能性的大小）

知识点：用分数表示可能性的大小。

客观事件中，“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”，客观事件中，“一定能”出现的现象用数据表示为“可能性是1”，当可能性是相等的时候，用数据表述是“”。

逐步体会到数据表示的简洁性与客观性。

设计活动方案

知识点：运用分数表示可能性的大小，能自主地设计一些活动方案。

对实际生活中的事件与现象，能运用可能性的知识进行合理的解释。

数学与生活

迎新年 知识点：通过活动，复习分数的认识与加减法的知识内容。

通过活动加深对可能性大小问题的理解，能用分数表示可能性大小，能按指定的可能大小设计方案。

能将所学的知识进行综合，并能解决一些简单的实际问题。

铺地砖

知识点：学习综合应用图形面积、乘除法、方程等知识解决简单的实际问题。

在本册中，因数倍数经常出判断、选择、填空。分数已学完约分，在表示结果是全部用最简分数，在计算中，一般情况下用最小公倍数通分最好。

北师大版小学数学五年级（下册）知识点

一单元：《分数乘法》

分数乘法（一）

知识点：1、理解分数乘整数的意义。

分数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。

2、分数乘整数的计算方法。

分母不变，分子和整数相乘的积作分子。能约分的要约成最简分数。

3、计算时，可以先约分再计算。

分数乘法（二）

知识点：1、结合具体情境，进一步探索并理解分数乘整数的意义，并能正确进行计算。

2、能够求一个数的几分之几是多少。求一个数的几分之几用乘法计算。

3、理解打折的含义。例如：九折，是指现价是原价的十分之九。

分数乘法（三）

知识点：1、分数乘分数的计算方法，并能正确进行计算。

分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，能约分的可以先约分。计算结果要求是最简分数。

2、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小。

两个真分数相乘，积一定小于任何一个乘数；

真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数。

3、一个数乘比1小的数，积比这个数小； 一个数乘1，积等于这个数；一个数乘比1大的数，积比这个数大。

二单元：《长方体（一）》

长方体的认识

知识点：1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。

2、长方体、正方体各自的特点。

3、知道正方体是特殊的长方体。

4、能计算长方体、正方体的棱长总和。

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是（长×4+宽×4+高×4）

正方体的棱长总和=棱长×12

灵活运用公式，能求出长方体的长、宽、高或是正方体的棱长。

展开与折叠

知识点：1、认识并了解长方体和正方体的平面展开图。

2、了解正方体平面展开图的几种形式，并以此来判断。

口诀：最长两边走，田凹不能有，对面不相连，垂直要相等。

正方体的平面展开图有11种：

1 141型6个

231型3个

33型1个

222型1个

长方体的表面积

知识点：1、理解表面积的意义。长方体6个面的面积之和叫做它的表面积。

2、长方体和正方体表面积的计算方法。

长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2

正方体表面积=棱长×棱长×6

3、能结合生活中的实际情况，计算图形的表面积。

无盖的盒子表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2

占地面积=底面积=长×宽

露在外面的面

知识点：1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。

如:一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。

2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。

三单元：《分数除法》

倒数

知识点：1、发现倒数的特征并理解倒数的意义。

如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。倒数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。

2、求倒数的方法。把这个数的分子和分母调换位置。

3、1的倒数仍是1；0没有倒数。0没有倒数，是因为在分数中，0不能做分母。

分数除法（一）

知识点：1、分数除以整数的意义及计算方法。

分数除以整数，就是求这个数的几分之几是多少。

分数除以一个整数（0除外）等于乘这个整数的倒数。

分数除法（二）

知识点：1、一个数除以分数的意义和基本算理。

一个数除以分数的意义与整数除法的意义相同；

除以一个分数等于乘这个分数的倒数。

2、掌握一个数除以分数的计算方法。

除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。

3、比较商与被除数的大小。

除数小于1，商大于被除数；（除以比1小的数，商比这个数大）

除数等于1。商等于被除数；（除以1，商等于这个数）

除数大于1，商小于被除数。（除以比1大的数，商比这个数小）

分数除法（三）

知识点：1、列方程“求一个数的几分之几是多少”。

知道一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。（求单位1的量用除法计算）

2、利用等式的性质解方程。

3、理解打折的含义。

如：打8折就是指现价是原价的十分之八。

原价×折扣=现价 现价÷折扣=原价 现价÷原价=折扣

数学与生活

粉刷墙壁

知识点：1、明确我们在粉刷教室墙壁时必须知道的条件。一般情况地板是贴瓷砖的，不用粉刷。所以只要求除地面（长×宽）外，另5个面的面积。

2、根据实际情况进行计算相应的面积。

折叠：

知识点：1、体会立体图形与展开图形之间的关系，发展空间观念。

2、能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。

四单元：《长方体（二）》

体积与容积

知识点：1、体积与容积的概念。

体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。（数据从物体表面测量）

容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。（数据从物体内壁测量）

体积单位

知识点：1、认识体积、容积单位。

常用的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米。相邻两个单位之间的进率是1000。

2、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义。

1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米

补充知识点：冰箱的容积用“升”作单位；我们饮用的自来水用“立方米”作单位。

长方体的体积

知识点：1、结合具体情境和实践活动，探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法。

长方体的体积=长×宽×高

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

长方体（正方体）的体积=底面积×高

2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。

如：长方体的高=体积÷长÷宽

补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长

体积单位的换算

知识点：1、体积、容积单位之间的进率。

相邻两个体积单位、容积单位之间的进率是1000。

有趣的测量

知识点：1、不规则物体体积的测量方法。

2、不规则物体体积的计算方法。

五单元：《分数混合运算》

分数混合运算（一）

知识点：1、体会分数混合运算的运算顺序和整数是一样的。

分数混合运算（二）

知识点：整数的运算律在分数运算中同样适用。

加法交换律 : a+b=b+a

加法结合律 : (a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律 : a×b=b×a

乘法结合律 : （a×b）×c=a×(b×c)

乘法分配律 : (a+b)×c=a×c+b×c

减法的运算性质: a-b-c=a-(b+c)

除法的运算性质: a÷(b×c)=a÷b÷c

分数混合运算（三）

知识点：1、利用方程解决与分数运算有关的实际问题。

2、分数中的估算。

3、利用线段图来分析题中的数量关系。

4、对最后结果的检验。

六单元：《百分数》

百分数的意义

知识点：1、百分数的意义。

百分数表示一个数另一个数的百分之几。百分数也叫百分比、百分率。

2、能正确读写百分数。

3、结合生活中具体的例子理解百分数的意义。

合格率（百分数的应用一）

知识点：1、解决一个数是另一个数的百分之几的实际问题。

这部分知识同分数除法中求一个数是另一个数的几分之几相同。

2、能正确地将小数、分数化成百分数。

小数化成百分数的方法：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；

把分数化成百分数，可以先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再写成百分数；也可以把分子分母同时乘一个数将其化成一百分之几的数，再写成百分数。

蛋白质含量（百分数的应用二）

知识点：1、求一个数的百分之几是多少。方法同求一个数的几分之几是多少。

2、百分数化成小数、分数的方法。

百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

百分数化成小数时，要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

这个月我当家（百分数应用三）

知识点：1、用方程解决“已知一个数的百分之几多少，求这个数”的实际问题。

2、体会百分数与统计的关系。

数学与购物

估计费用

知识点：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。

估计的方法有：去尾法（至少），进一法（至多），四舍五入法，凑整法，凑十凑五法。

购物策略

知识点：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案。

包装的学问

知识点：1、探索多个相同长方体叠放后使其表面积最小的最有策略。

一般情况下，把最大的面重叠在一起，最能节约包装纸。在长、宽、高的数值比较接近时，除了要把最大的面重叠在一起，还要把尽可能多的面重叠在一起，这样节省包装纸。

包装物品时，除了要考虑包装纸的节省外，还要考虑到美观，携带方便等特点。

七单元：《统计》

扇形统计图

知识点：1、认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点与作用。

2、能读懂扇形统计图，并能从中获得相应的数学信息。

奥运会（统计图的选择）

知识点：1、了解条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点。

条形统计图便于看出数据的多少；

扇形统计图能清楚地看出整体与部分之间的关系；

折线统计图不但可以表示数量的多少，而且能清楚看出数量的变化情况。

2、能够根据需要选择最为直观、有效地统计图表示数据。

中位数和众数

知识点：1、中位数和众数的意义。

将一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。

一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。

2、中位数和众数的求法。

将一组数据按大小的顺序排列，如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中位数。

众数，就是一组数据中出现次数最多的，有可能是多个众数。

3、能根据具体的问题，选择合适的统计两表示数据的不同特征。

了解同学

知识点：综合运用所学的统计知识，发展学生的统计观念。

分数、百分数的解决问题主要是找清单位1，借助线段图理解题以最好。

第一单元 圆

圆概念总结

1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。

2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．

3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。

6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。

8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

用字母表示为：d＝２r r ＝d

用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2

9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

11．圆的周长公式：C=d 或C=2r

圆周长=×直径 圆周长=×半径×2

12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= r×r。圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²。

14．圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²　或者S=（d2）² 或者S=（C 2）²

15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=R²－ｒ²　或　S=（R²－ｒ²）。

（其中R＝r＋环的宽度．）

19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。

半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d　或　Ｃ＝r＋2r

圆周长的一半=r

20．半圆面积＝圆的面积2　　公式为：Ｓ＝ｒ²2

21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。

22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。

例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４：９。

圆周长和直径的比是：1，比值是

圆周长和半径的比是2：1，比值是2

23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２ａ厘米；

当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加ａ厘米。

24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．

25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小

26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式：　S=ｒ² （n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）

27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

28． 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

有2条对称轴的图形是：长方形

有3条对称轴的图形是：等边三角形

有4条对称轴的图形是：正方形

有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。

29．直径所在的直线是圆的对称轴。

1——20π和1——20的π²让学生记住，提高计算速度。

第二单元　百分数应用题

（一）百分数的基本概念

1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。

2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。

3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。

4．小数与百分数互化的规则：

把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；

把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

5．百分数与分数互化的规则：

　　　把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；

　　　把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

（二）百分数应用题

百分数应用题（一）

求增加百分之几？减少百分之几？

公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1

减少百分之几=减少的部分÷单位1

例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米

第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。

5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”

“增长百分之几“等。

与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。

百分数应用题（二）

比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。

例如1、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？

解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）

算式：80×（1+25%）

2、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？

解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）

算式：80×（1-25%）

3、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？

解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）

算式：100÷（1+25%）

4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？

解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）

算式：100÷（1-25%）

百分数应用题（三）列方程解百分数应用题

1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？

解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。

根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。

等量关系式：第一天—第二天=20页

方法1：解：设这本书一共有X页。

由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X—20%X=20

方法2：“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。

列算式为：20÷(25%—20%)

2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？

等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。

方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。

方程列为：25%X+20%X=20

算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。

列算式为：20÷(25%+20%)

3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？

等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页

方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。

列方程为：X—25%X—20%X=20

算术法：20÷（1- 25%X- 20%）

4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？

方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。

列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20

百分数应用题（四）利息的计算

1.本金：存入银行的钱叫做本金。

2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息=本金×利率×时间

3．20XX年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税。20XX年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算利息税。

4．利率：利息与本金的比值叫做利率。

5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）

6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7．本息：本金与利息的总和叫做本息。

8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。

9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率

例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？

解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。

解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：本金+利息：2000+414=2414元。

例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）

解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。

解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元

本金+利息：2000+331.2=233.2元。

利息问题考得很少。

图形的变换

图形变换的三种方法：

第一种平移：要说明向什么方向（上、下、左、右）平移几个。

第二种旋转：要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度、180度、270度）

第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。

2、比赛场次、握手次数的计算

第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。有多少个人进行握手。

第二步：计算比赛场次、握手次数。如果是5人，从1加到4，如果是6人，从1加到5，如果是8人，从1加到7，如果是100人，从1加到99.

计算起跑线。

假如：第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米

那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。

第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2

第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度1.2米+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2

第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2

不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：第一步：先算出要跑几圈。第二步：计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步：有两个道的圆周长相减，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数×要跑的圈数.

第四单元 比的认识

（一）比的基本概念

两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

比值通常用分数、小数和整数表示。

比的后项不能为0。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；

根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。

6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。

（二）求比值

1、求比值：用比的前项除以比的后项

（三）化简比

1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。

（四）比的应用

1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？

题目解析：60人就是男女生人数的和。

解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人

第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。

2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？

例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？

题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。

解题思路：第一步求每份：25÷5=5人

第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人

3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？

7、要求量=已知量×

7、比在几何里的运用：

（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。

长=周长÷2× 宽=周长÷2×　面积＝长×宽

（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积

长=周长÷４× 宽=周长÷４×　

高=周长÷４×　　体积＝长×宽×高

（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。

三个角分别为：

１８０×　　　１８０×　　　１８０×

（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。

三条边分别为：

周长×　　　周长×　　　周长×

比与除法、分数之间的关系经常考，一般给一个除法算式，根据它们的关系进行填空。

圆柱和圆锥

一、    面的旋转

1.“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。

2.圆柱的特征：

（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。

（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。

（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。

3.圆锥的特征：

（1）圆锥的底面是一个圆。

（2）圆锥的侧面是一个曲面。

（3）圆锥只有一条高。

二、    圆柱的表面积

1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。

（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）

2.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝ch。

3.圆柱的侧面积公式的应用：

（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；

（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝dh；

（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2 rh

4.圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：

S表=S侧+2S底

或S表=dh+d2/2=

或S表=2rh+2r2

5.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：

（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。

（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。

三、    圆柱的体积

1.     圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。

2.     圆柱的体积＝底面积×高。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh。

3.     圆柱体积公式的应用：

（1）    计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。

（2）    已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝r2h；

（3）    已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝(d/2)2h；

（4）    已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝(C/2)2h；

圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。

5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。

四、    圆锥的体积

1.     圆锥只有一条高。

2.     圆锥的体积＝1/3×底面积×高。

如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：1/3Sh

3.     圆锥体积公式的应用：

（1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用“v= 1/3 Sh”这一公式。

（2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用1/3πr²h

（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用1/3π（d/2）²h

（4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用1/3π（c/2r）²h

正比例和反比例

一、   变化的量

生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。

二、   正比例

1.     正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：y/x=k（一定）。

2.     应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。

三、   画一画

正比例的图像是一条直线。

四、         反比例

1.     反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。

2.     判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。

五、        观察与探究

当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。

六、        图形的放缩

一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。

七、        比例尺

1.     比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺

2.     比例尺的分类：比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。

3.     比例尺的应用：

（1）、已知比例尺和图上距离，求实际距离

比例尺=图上距离÷实际距离

图上距离=实际距离×比例尺

实际距离=图上距离÷比例尺

想让学生成绩提得快，多练计算；各种定义、概念、计算法则要了然于胸；对于各类公式逆运算也要很熟练，如：已知三角形面积和高怎样求底这类问题。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/66e481d8f6ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8de4.html