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高职高等数学教案第四章不定积分

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第四章不定积分
§4-1不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
1.原函数定义
定义1：如果在区间I上，可导函数F(x的导数为f(x，即对任一xÎI，都有
F¢(x=f(x或dF(x=f(xdx，则称F(x为f(x在区间I上的一个原函数。
例：(sinx¢=cosx，则sinx是cosx的一个原函数；
=(sinx-(sinx+1ⅱ
2.原函数性质
1
=(sinx+2
3=cosx，则都是cosx的原函数。
定理1：如果f(x在区间I上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果F(x是f(x的一个原函数，则F(x+C是f(x的全体原函数，且任一原函数与
F(x只差一个常数。
例：验证-
11
cos2x+,sin2x-2,-cos2x+33
2都是sin2x的原函数
11
cos2x+¢=sin2x33
证：(sin2x-2¢=sin2x，则三个函数都是sin2x的原函数
(-(-cos2x+
3.不定积分定义
定义2：f(x的全体原函数称为f(x的不定积分，记作
其中òòf(xdx，
称为积分号，f(x
2¢=sin2x
称为被积函数，f(xdx称为被积表达式，x称为积分变量。
说明：如果F(x是f(x在区间I上的一个原函数，则F(x+C就是f(x的不定积分，即
òf(xdx=F(x+C




例1：求
23xòdx
解：因为(x3¢=3x2，所以x是3x的一个原函数则例2：求
32
ò3xdx=x
2
3
+C
ò
1dxx
1x
-11
=-xx
解：当x>0时，(lnx¢=
¢=当x>0时，[ln(-x]
所以
ò
1
dx=ln|x|+C(x0x
4.不定积分几何意义
在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为f(x，可由y=F(x沿y轴平移得到。
y
y=F(x+C
O

x
2
例：一条积分曲线过点(1,3，且平移后与y=x+3x+1重合，求该曲线方程解：设f(x=x+3x+1+C
由于曲线过(1,3
则3=1+3+1+C，C=-2f(x=x+3x-1

22


二、不定积分性质
性质1：
[f(x?蝌
g(x]dxf(xdx
g(xdx
ìïkòf(xdx(k¹0ïï性质2：òkf(xdx=í
ï0dx=C(k=0ïïîò
性质3：(
f(xdxⅱ=蝌
f(x,f(xdx=f(x+C
三、基本积分表
(1
α
òkdx=kx+C(k是常数(2òxdx=
1α+1
x+Cα+1
(3
ò
1
dx=ln|x|+C(4òexdx=ex+Cx
x
ax
+C(6òsinxdx=-cosx+C(5òadx=lna
1
dx=sec2xdx=tanx+Ccosxdx=sinx+C(82蝌òcosx
1
csc2xdx=-cotx+C(10òsecxtanxdx=secx+C(9蝌2dx=
sinx
(7(11
òcscxcotdx=-cscx+C(12ò
1
dx=arctanx+C1+x2
(13
ò
11-x
2
dx=arcsinx+C
例1：求
ò
1dx5x
解：
1dx=蝌x5
x-5dx=
11
x-5+1+C=-+C
-5+14x4
例2：求
òx
xdx
解：
x蝌
xdx=
x25
xdx=+C=x2+C
35+12

32
3+12


例3：求
3
(sinx+xdxò
解：
(sinx+xdx=蝌
3
x4
sinxdx+xdx=-cosx++C
4
3

(x-12
dx例4：求òx(x-12
dx=解：蝌x
=
x2-2x+1
dx=xxdx-蝌
2
α
(x-2+
1
dxx
1x2
dx+dx=-2x+ln|x|+C
x2
注：根式或多项式函数需化成x形式，再利用公式。
x4
例5：求òdx2
1+xx4
dx=解：蝌1+x2
=
x4-1+1
dx=
1+x2(x2-1+蝌
(x2+1(x2-1+1
dx1+x2
x2dx-dx+蝌
1
dx1+x2
1
dx=1+x2
x3
-x+arctanx+C=3
例6：求
ò4
x
x
×exdx
解：
4?edx蝌
x
(4ex(4ex
(4edx=+C=+C
ln4e1+ln4
x
例7：求解：
2
tanòxdx2
tan蝌
xdx=
(sec2x-1dx=
sec蝌
2
xdx-
dx=tanx-x+C


例8：求解：
2
2cosò
x
dx2
(1+cosxdx=x+sinx+C
2
2cos蝌
x
dx=2

1+sin2x
例9：求òdx
1+cos2x1+sin2x
解：蝌dx=
1+cos2x
1+sin2x
dx=2
2cosx
2
ò(secx-
sec2x+tan2x
dx(2
=
1x
dx=tanx-+C22
注：三角函数不定积分问题需要利用三角函数常用平方和公式及二倍角公式。




§4-2换元积分法
一、第一类换元积分法
定理：如果
òf(xdx=F(x+C，则òf(udx
=Fu(+C，其中u=φ(x为关于x的任意
可微函数。

第一类换元积分法（凑微分法）：
对于不定积分则
òf(xdx中被积函数f(x，如果可以将f(x整理成f[φ(x]φ¢(x的形式，
f[φ(x]φ¢(xdx=
f(xdx=蝌f[φ(x]dφ(x
设u=φ(x，则原式=例1：求解：
òf(udu=F(u+C=F[φ(x]+C
ò4cos4xdx
cos4x?(4x¢dx
4cos4xdx=蝌cos4xd(4x
设u=4x，则原式=例2：求解：
4
(3x+2dxò
òcosudu=sinu+C=sin4x+C
(3x+24dx=蝌
1
3
(3x+24(3x+2¢dx=
1
(3x+24d(3x+23
11u54
设u=3x+2，则原式=òudu=?
335
例3：求
x
ò2xedx
2
2
(3x+25
C=+C
15
2xexdx=解：蝌
2
ex(x2¢dx=
2
x2
ed(x
2
2
设u=x，则原式=
uux
edu=e+C=e+Cò
注：变量代换熟练后，可省略中间变量换元过程，直接利用凑微分形式解决问题。




例4：求
ò
lnx
dxx
lnx解：蝌dx=
x
例5：求
ln2x
lnxdlnx=+C
2
sinxò2xdx
sinxdx=-cosx+C
解：
sinx蝌2xdx=
例6：求解：
òtanxdx
sinx
dx=-cosx
tanxdx=蝌
1
dcosx=-lncosx+Ccosx
即
òtanxdx=-
ln|cosx|+C
同理可得例7：求
òcotxdx=ln|sinx|+C
òsecxdx
secx(secx+tanx
dx=
secx+tanx
1
secx+tanxd(secx+tanx
解：
secxdx=蝌
=lnsecx+tanx+C
即
òsecxdx=lnsecx+tanx+C
òcscxdx=lncscx-cotx+C
nm
sinx×cosxdx（m,n为非负整数）形式的积分：ò
同理可得含三角函数
（1）若m,n中有一个奇数，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，并将一次幂与dx凑微分。（2）若m,n同为偶数，利用三角函数的倍角公式



例8：求解：
23sinxcosxdxò
23sinxcosxdx=蝌
sin2xcos2xdsinx=
2
4
22
sinx(1-sinxdsinx
sin3xsin5x
-+C=ò(sinx-sinxdsinx=
35
例9：求解：
22
4sinxcosxdxò2
4sin蝌
xcos2xdx=
=
(2sinxcosx2dx=
sin
2
2xdxcos4xd4x=
xsin4x
-+C
28
1x1
(1-cos4xdx=-2蝌28
例10：求
ò
1
2
1a-x
2
2
dx(a>0（选讲）
1xa1-(2
a
1x1-(2
a
xx
d(=arcsin+Caa
解：
蝌a
-x2
dx=dx=

即
ò
x
dx=arcsin+C
aa2-x2
1
例11：求
ò
1
dx（选讲）22
a+x
解：
1
dx=蝌a2+x2
1x
1+(2
a
?
1dxa2
11x1x
d(=arctan+Cxa1+(2aaaa
即
ò
11x
dx=arctan+C
a2+x2aa1
dx（选讲）22
x-a
例12：求
ò
解：
11
dx=蝌x2-a22a
(
1111
-dx=(蝌dx-x-ax+a2ax-a

1
dxx+a



=
11[蝌d(x-a-2ax-a1x-aln||+C2ax+a
11
d(x+a]=(ln|x-a|-ln|x+a|+Cx+a2a
=
即
ò
11x-a
dx=ln||+C22
x-a2ax+a
二、第二类换元积分法
定理：设x=φ(t有连续导数φ¢且φ¢又设f[φ(t]φ¢(t，(t¹0，(t有原函数F(t，t=φ-1(x是x=φ(t的反函数，则有例1：求
f(xdx=蝌
-1
f[φ(t]φ¢(tdt=F(t+C=F轾φ犏(t+C臌
x
ò2(1+xdx
2
解：设x=t，则x=t(t>0，dx=2tdt
x
dx=蝌2(1+x
t2
dt=1+t2t2+1-1蝌1+t2dt=
(1-
1
dt2
1+t
=t-arctant+C=例2：求
x-arctanx+C
ò
x
dxx+1
2
解：设x+1=t，则x=t-1，dx=2tdt
x
蝌dx=
x+1
31
2t32
(2t-2dt=-2t+C=(x+12+2(x+12+C
332
注：若被积函数中含有被开方因式为一次式的根式，如nax+b，可设nax+b=t消去根式，再求积分。



例3：求
ò
a2-x2dx(a>0
轾ππ
，则dx=acostdt，a2-x2=acost
犏臌22
解：设x=asint,t?犏,
蝌a
2
-xdx=
2
a2
acostdt=
2
2
2a2a2
(1+cos2tdt=(2t+4sin2t+C
at
x
a2-x2
如图由于sint=

xa
则cost=
2x2xa2-x22
，sin2t=2sintcost=2a-x，t=arcsin
aaa
因此例4：求
ò
a2xx2
a-xdx=arcsin+a-x2+C
2a2
2
2
ò
dxx+a
2
2
(a>0
ππ
,，则dx=asec2tdt，x2+a2=asect22
解：设x=atant,t?(
蝌x
dx
2
+a
2
=sectdt=lnsect+tant+C
a2+x2
t
a
如图由于tant=
x

xa



则sect=
x2+a2
a
x=ln(+
ax2+a2dx
x2+a2
+C1=ln(x+a
x2+a2+C，其中C=C1-lna
因此
ò
例5：求
ò
dxx-a
2
2
(x>a>0
π
2
解：设x=asect,t(0,，则dx=asecttantdt，x2-a2=atant
蝌x
dx
2
-a
2
=
asecttant
dt=
atant
sectdt=ln(sect+tant+C
x
a2+x2
t
a

x
如图由于sect=，则tant=
a
x2-a2
a
ò
(14(16
x=ln(+
ax2-a2
dx
x2-a2
+C1=ln(x+a
x2-a2+C，其中C=C1-lna
常用积分公式补充：
òtanxdx=-ln|cosx|+C(15òcotxdx=ln|sinx|+C
cotx|+C
òsecxdx=ln|secx+tanx|+C(17òcscxdx=ln|cscx-ò
(18
11x11x-a
dx=arctan+Cdx=ln||+C(19òx2-a2
x2+a2aa2ax+a
(20
ò
ò
x
dx=arcsin+C(21ò
aa2-x2
dxx2-a2
=ln|x+
x2-a2|+C

1dxx2+a2
=ln(x+
x2+a2+C
(22


§4-3分部积分法
1.引入分部积分公式：
设函数u=u(x及v=v(x具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为：(uvⅱ=uv+uv经过移项可得：uvⅱ=(uv-uv两边求不定积分可得：
uvⅱdx=uv-蝌uvdx，即蝌udv=uv-
vdu
此公式称为分部积分公式。2.直接利用分部积分公式例1：求
òxcosxdx
sinxdx=xsinx+cosx+C
解1：令u=x,dv=cosxdx，则du=dx,v=sinx
xcosxdx=xsinx-蝌
x2
解2：令u=cosx,dv=xdx，则du=-sinxdx,v=
2
x2
xcosxdx=cosx+蝌2
x2
sinxdx2
注：1．通过例子可以看出解2中利用分部积分公式后积分变得更加复杂，因此应恰当选择u,v2．利用分部积分公式后
òvdu要比òudv容易求解
3．选择u,v的方法：按“反对幂指三”的顺序，靠前为u，靠后为v例2：求
òxe
3x
dx
3x
e3x
解：令u=x,dv=edx，则du=dx,v=
3
xe3x1
xedx=-蝌33
3x
xe3xe3x
edx=-+C
39
3x




例3：求
òxlnxdx
dxx2
,v=解：令u=lnx,dv=xdx，则du=x2
x21
xlnxdx=lnx-蝌22
例4：求
1
x?dxx
2
x2x2
lnx-+C
24
òxarctanxdx
dx
,v=x1+x2
解：令u=arctanx,dv=dx，则du=
arctanxdx=xarctanx-蝌
x112
dx=xarctanx-d(1+x221+x21+x
=xarctanx-注：熟练后可不写出u,dv3.多次使用分部积分公式例1：求解：
2
xòsinxdx2
1
ln1+x2+C2
x蝌
sinxdx=
x2d(-cosx=-x2cosx+2xcosxdx
=-x2cosx+2òxd(sinx=-x2cosx+2xsinx-2cosx+C
例2：求解：
x
eòsinxdxx
esinxdx=蝌
exd(-cosx=-excosx+
x
e
x
cosxdx
exsinxdx
=-ecosx+
xxx
ed(sinx=-ecosx+esinx-蝌
ex
(sinx-cosx+C则òesinxdx=2
x
ex
(sinx+cosx+C同理可得：òecosxdx=2
x



例3：求
xeòdx
解：令t=x，则x=t2，dx=2tdt
dx=2tetdt=2蝌td(et=2(tet-etdt
e蝌
x
=2(tet-et+C=2ex(x-1+C注：有时需同时使用换元积分法和分部积分法。
例4：求
ò
xex
x
xexe-1
x
dx
xex-1
x
解：
蝌e
-1
dx=
d(ex-1=2xd(ex-1
=2xe-1-2
x
2
ò
ex-1dx
2t
dtt2+1
2
令ex-1=t，则e=t+1，x=ln(t+1，dx=
2tx
dx=2xe-1-2t?dt2蝌ex-1t+1
xex
2xex-1-4(1-
1
dt2
t+1
=2xex-1-4(t-arctant+C=2xex-1-4ex-1+4arctanex-1+C



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e17d276958fafab069dc026f.html

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