2019-2020高考数学一轮总复习专题30复数的概念及运算检测理

【2019-2020】高考数学一轮总复习专题30复数的概念及运算检测理

本专题特别注意：

1.复数四则运算

2. 复数加减的几何意义

3. 复数与数列的综合

4.复数与二项式定理的综合问题

5. 复数的模和共轭复数问题

【学习目标】

1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．

2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．

3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．

【方法总结】

1.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.

2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.

3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.

【高考模拟】

一、单选题

1．已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果.

【详解】

，

，故选C.

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2．已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标．

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．

3．（2017·××市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可.

【详解】

，故所求共轭复数为，故选A.

【点睛】

本题考察复数的概念及其运算，是基础题.

4．已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（ ）

A． 的共轭复数为 B． 的虚部为-1

C． 在复平面内对应的点在第一象限 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先化简复数z,再判断每一个选项的真假.

【点睛】

(1)本题主要考查复数的计算，考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.

5．欧拉公式 (为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( )

A． B． C． 1 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案．

【详解】

由题意，=cos+isin，

∴表示的复数的模为．

故选：C．

【点睛】

本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．

6．若在复平面内，点所对应的复数为，则复数的虚部为（ ）

A． 12 B． 5 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求复数z,再求复数，再求它的虚部.

【详解】

【点睛】

(1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.

7．读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数在复平面内对应的点位于

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

运用复数除法法则运算得到结果

【详解】

由题意得，

在复平面内对应的点为在第一象限，

故选

【点睛】

本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案

8．已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（ ）

A． 在复平面内对应的点落在第四象限 B．

C． 的虚部为1 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则可得复数=2i﹣2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出．

【详解】

故选：C．

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9．设复数满足，则（ ）

A． 3 B． C． 9 D． 10

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出．

【详解】

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．复数等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.

【详解】

，故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．

11．设为复数的共轭复数，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出，从而求出的值即可.

【详解】

，

共轭复数，

则.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.

12．为虚数单位，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】分析：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，

则，即可求解答案.

点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

13．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

【答案】B

【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.

详解：由欧拉公式，可得，

因为，

所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.

点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.

14．下列3个命题：

①若，，则；

②若是纯虚数，则；

③若，且，则.

其中真命题的个数是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

【答案】B

【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.

点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.

15．对于任意的两个数对和，定义运算，若，则复数为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：利用定义，列出方程表示出，分子、分母同时乘以得到的值．

详解：因为，
又
所以
所以

故选：D．

点睛：本题是新定义的问题，解题的关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决．

16．已知复数满足,则等于( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：由题可知，表示平行四边形的相邻两边，表示平行四边形的一条对角线，求另一条一条对角线的长.

点睛：本题考查复数加减法的几何意义，余弦定理等，属中档题.

17．定义运算，若复数满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：先根据定义运算化简求出复数z,再求

详解：由题得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以，

所以，故答案为：D.

点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)

复数的共轭复数

18．欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：由欧拉公式可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.

详解：，

，故选A.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

19．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.

点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.

20．为虚数单位，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】分析：由复数的基本运算得到，

即，即可求解答案.

详解：由复数的运算可知，，

则，

所以，

故选C.

点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，得到式子的计算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

21．（1）设集合，，，且，求实数的取值范围.

（2）设，是两个复数，已知，，且是纯虚数，求.

【答案】(1) .

（2）或.

【解析】

【分析】

（1）移项通分，直接利用分式不等式的解法化简集合，然后对分三种情况讨论，分别利用包含关系列不等式求解即可；（2）设，由，可得，由是纯虚数，可得，联立求解即可的结果.

【详解】

（2）解：设，∵，∴

+b2=2√2，

即，①

又，且是纯虚数，

∴②，

由①②得，.

∴或.

【点睛】

本题主要考查集合的子集，以及复数的基本运算与基本概念，属于中档题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

22．已知

【答案】

【解析】

【分析】

把z1、z2代入关系式，化简即可

【详解】

【点睛】

复数的运算，难点是乘除法法则，设，

则，

.

23．已知复数其中i为虚数单位．

Ⅰ当实数m取何值时，复数z是纯虚数；

Ⅱ若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】分析：，

利用纯虚数的定义，由，解出即可得出．

利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．

点睛：本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．已知复数满足: 求的值

【答案】

【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出.

详解：

设，而即

则

点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

25．已知，，为实数.

（1）若，求；

（2）若，求实数，的值.

【答案】（1）；（2）-3，2

【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分

26．已知复数.实数取什么值时，是

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

【答案】(1) 当时，为实数.

(2) 当 时，为虚数.

(3) 不存在实数使得为纯虚数.

【解析】分析：根据复数的有关概念建立等量关系关系即可．

详解：（1）若复数是实数则，

即，即a=6．

点睛：本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键．

27．设为虚数单位，为正整数，

（1）证明：；

（2），利用（1）的结论计算。

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得 ，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.

详解：（1）1°当时，

左边，右边，

所以命题成立

2°假设当时，命题成立，

即，

则当时，

所以，当时，命题也成立

综上所述，（为正整数）成立

（2）

由（1）结论得

点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.

28．已知复数（为虚数单位，）.

（1）若是实数，求的值；

（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】分析：（1）由复数的运算法则可得.据此得到关于实数m的方程组，解得.

（2）结合(1)中的结果得到关于m的不等式组，求解不等式组可知.

点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

29．如果，求实数的值.

【答案】

【解析】分析：由复数相等的充分必要条件得到关于x,y的方程组，求解方程组可得.

详解：由题意得，解得.x

点睛：本题主要考查复数相等的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、填空题

30．设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.

【答案】4.

【解析】

【分析】

求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.

【详解】

【点睛】

对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bf3caee87275a417866fb84ae45c3b3567ecdd9e.html