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矩阵理论第一二章 典型例题

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《矩阵理论》第一二章典型例题

一、判断题
1．A为n阶实对称矩阵，定义||x对Rn中的列向量x，||
T
,x则||x||为向量xxA
的范数.(
1,2,2．设A为n阶Hermite矩阵，
(
,n是矩阵A的特征值，则||A||i2.
2
m2
i1
n
3.如果ACmn，且A0，(AAHAA,则||AA||2n.(
4.若设xR，则||x||2||x||1n||x||2.(5.设AR
mnn
的奇异值为12
n，则||A||i2.(
2
2
i1
n
6.设ACnn，且有某种算子范数||||，使得||A||1，则||(EA1||
1
,
1||A||
其中E为n阶单位矩阵.(
7.设AE2uuH(其中，E为n阶单位矩阵，uCn且||u||21，则||A||m2n
(
8.设ACnn为正规矩阵，则矩阵的谱半径r(A||A||2.(
9.设AC
nn
可逆，BC
nn
，若对算子范数有||A||||B||1，则AB可逆.
1
(
10.设A为mn矩阵，P为m阶酉矩阵,则PA与A有相同的奇异值.(11.设AC
nn
，且A的所有列和都相等，则r(AA.(
12.如果x(x1,x2,
,xnTCn，则||x||minxi是向量范数.(
1in
13.设ACnn,则矩阵范数Am
14、设AC
nn
与向量的1-范数相容.(
有IA1,其中I为单位矩

是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数
阵.(

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二、设AC
(1||
三、试证：如果A为n阶正规矩阵，且Axx和Ayy，其中，，那么x与y
正交.
四、(1设AC
nn
mn
，||
A||mnmax|aij|，证明:
i,j
A||为矩阵范数;(2||A||为与向量2-范数相容.
(n1为严格对角占优矩阵，Ddiag(a11,a22,
,ann，其中
aii(i1,2,
,n为A的对角元，E为n阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||使得
r(ED1A1.
(2设AC阵范数||
五．设矩阵U是酉矩阵,Adiag(a1,a2,
nn
,为任意给定的正数，r(A为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩
A||使得||A||r(A.
,an,证明:UA的所有特征值满足不等式
i
min{|ai|}||max{|ai|}.
i
六.设||||a是C
nn
上的相容的矩阵范数,矩阵B,C都是n阶可逆矩阵,且||B
1
||a及
||C1||a都小于或等于1,证明:对任意矩阵ACnn
||A||b||BAC||a
定义了C
nn
上的一个相容的矩阵范数.
七．设A是可逆矩阵,
是A的一个特征值,对于任意的算子范数||||,证明||
H
1
.1
||A||
八.设A是Hermite矩阵(AA，且A的特征值12n，证明矩阵A的
Rayleigh商恒等于1.
九．已知Cnn中的两种矩阵算子范数||||a与||||b,对于任意矩阵ACnn,验证||A||||A||a||A||b是Cnn中的相容矩阵范数.

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十．设矩阵ACr
mn
的非零奇异值为1,2,
r
,r(r0,求证
122
||A||F(i.
i1
十一.设矩阵AC
nn
可逆,矩阵范数||||是C上的向量范数||||v诱导出的算子范数,令
n
L(xAx,证明:
max||L(x||v
||x||v1||y||v1
min||L(y||v
||x||1
||A||||A1||.
证明:根据算子范数的定义,有max||L(x||||A||,
||A1x||yAx||y||1111
||A||maxmax,
x0y0||Ay||||Ay||min||Ay||min||L(y||||x||min||y||1||y||1
y0||y||
1
结论成立.
十二.设矩阵AC矩阵HC
十三.(1设矩阵A(aijnn,则
nn
nn
为单纯矩阵,证明:A的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定
,使得HA为Hermite矩阵.
||A||anmax|aij|
i,j
是矩阵范数.
(2设x,y,p,qCn,矩阵AxpHyqH,其中xy,pq，求||A||m2.



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a052c72885254b35eefdc8d376eeaeaad0f31607.html

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