2016年天津市高考数学试卷及答案（文科）

2016年天津市高考数学试卷（文科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）

A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}

2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）

A． B． C． D．

3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣y2=1 B．x2﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

5．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）

7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（　　）

A．﹣ B． C． D．

8．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]

二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分

9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为　 　．

10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为　 　．

11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为　 　．

12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为　 　．

13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　 　．

14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是　 　．

三、解答题：本大题共6小题，80分

15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．

（1）求B；

（2）已知cosA=，求sinC的值．

16．（13分）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．

17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．

（1）求证：FG∥平面BED；

（2）求证：平面BED⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

18．（13分）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．

19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

20．（14分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．

2016年天津市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）

A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}

【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x∈A}，

则B={1，3，5}，

则A∩B={1，3}，

故选：A．

2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．

∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=．

故选：A．

3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，

棱CD1在左侧面的投影为BA1，

故选B．

4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣y2=1 B．x2﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，

∴c=，

∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，

∴=，

∴a=2b，

∵c2=a2+b2，

∴a=2，b=1，

∴双曲线的方程为=1．

故选：A．

5．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，

而“x＞|y|”⇒“x＞y”，

故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，

故选：C．

6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．

∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），

∴2|a﹣1|＜=2．

∴|a﹣1|，

解得．

故选：C．

7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（　　）

A．﹣ B． C． D．

【解答】解：如图，

∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，

∴•==

==

===

=．

故选：C．

8．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]

【解答】解：函数f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，

由f（x）=0，可得=0，

解得x=∉（π，2π），

∴ω∉∪∪∪…=∪，

∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，

∴ω∈∪．

故选：D．

二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分

9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为　1　．

【解答】解：由（1+i）z=2，

得，

∴z的实部为1．

故答案为：1．

10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为　3　．

【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex，

∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，

∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．

故答案为：3．

11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为　4　．

【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；

第二次循环：S=2，n=3；

第三次循环：S=4，n=4，

结束循环，输出S=4，

故答案为：4．

12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为　（x﹣2）2+y2=9　．

【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），

由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，

得，解得a=2，r=3．

∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9．

故答案为：（x﹣2）2+y2=9．

13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　　．

【解答】解：如图，

过D作DH⊥AB于H，

∵BE=2AE=2，BD=ED，

∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，

∴DH2=AH•BH=2，则DH=，

在Rt△DHE中，则，

由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，

∴．

故答案为：．

14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是　[，）　．

【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，

∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，

且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．

∴，解得≤a≤．

作出y=|f（x）|和y=2﹣的函数草图如图所示：

由图象可知|f（x）|=2﹣在[0，+∞）上有且只有一解，

∵|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，

∴x2+（4a﹣3）x+3a=2﹣在（﹣∞，0）上只有1解，

即x2+（4a﹣）x+3a﹣2=0在（﹣∞，0）上只有1解，

∴或，

解得a=或a＜，

又≤a≤，∴．

故答案为[，）．

三、解答题：本大题共6小题，80分

15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．

（1）求B；

（2）已知cosA=，求sinC的值．

【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，

∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，

∴cosB=，∴B=．

（2）∵cosA=，∴sinA=，

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．

16．（13分）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．

【解答】解：（1）x，y满足的条件关系式为：．

作出平面区域如图所示：

（2）设利润为z万元，则z=2x+3y．

∴y=﹣x+．

∴当直线y=﹣x+经过点B时，截距最大，即z最大．

解方程组得B（20，24）．

∴z的最大值为2×20+3×24=112．

答：当生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时，利润最大，最大利润为112万元．

17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．

（1）求证：FG∥平面BED；

（2）求证：平面BED⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，

∵G是BC的中点，

∴OG∥DC，且OG=DC=1，

又∵EF∥AB，AB∥DC，

∴EF∥OG，且EF=OG，

即四边形OGEF是平行四边形，

∴FG∥OE，

∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，

∴FG∥平面BED；

（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，

由余弦定理可得BD=，仅而∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

又∵平面AED⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，

∴BD⊥平面AED，

∵BD⊂平面BED，

∴平面BED⊥平面AED．

（Ⅲ）∵EF∥AB，

∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，

过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，

又平面BED∩平面AED=ED，

由（2）知AH⊥平面BED，

∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，

在△ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cos∠ADE=，

∴sin∠ADE=，

∴AH=AD•，

在Rt△AHB中，sin∠ABH==，

∴直线EF与平面BED所成角的正弦值

18．（13分）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．

【解答】解：（1）设{an}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，

解得q=2或q=﹣1．

若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，

∴S6==63，∴a1=1．

∴an=2n﹣1．

（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，

∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．

∴bn+1﹣bn=1．

∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．

设{（﹣1）nbn2}的前2n项和为Tn，则

Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）

=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n

==

=2n2．

19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

【解答】解：（1）由+=，

得+=，

即=，

∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．

∴椭圆方程为；

（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），

设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），

∵∠MOA=∠MAO，

∴x0=1，

再设H（0，yH），

联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．

△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．

由根与系数的关系得，

∴，，

MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），

令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，

∵BF⊥HF，

∴，

即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，

整理得：=1，即8k2=3．

∴k=﹣或k=．

20．（14分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．

【解答】解：（1）若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a，

分两种情况讨论：

①、当a≤0时，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，

此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），

②、当a＞0时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=或x=，

当x＞或x＜﹣时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，

当﹣＜x＜时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，

故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；

（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a＞0，且x0≠0，

由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x02=，

进而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣x0﹣b，

又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣x0+2ax0﹣b=f（x0），

由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，

则有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；

（Ⅲ）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值，

下面分三种情况讨论：

①当a≥3时，﹣≤﹣1＜1≤，

由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，

所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]，

因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}

=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}=，

所以M=a﹣1+|b|≥2

②当a＜3时，，

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥=f（），f（1）≤=，

所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（），f（﹣）]，

因此M=max{|f（）|，|f（﹣）|}=max{||，||}

=max{||，||}=，

③当0＜a＜时，，

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜=f（），f（1）＞=，

所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]，

因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}

=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞，

综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8962f62a793e0912a21614791711cc7931b778c8.html