全国大学生数学建模比赛A题国一优秀论文-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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2. 张

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日期： 2014 年 9 月 15 日

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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

航天登月探测器的着陆轨道与控制策略是使其成功登月的必要保障。为了探求其规律性，本文以力学（万有引力定律、开普勒定律、能量守恒定律等）和天体物理学知识为理论基础，结合动力学方程、最优化显示制导，借助软件对软着陆过程进行了系统分析研究。

对于问题一，在合理假设的基础上，利用二体问题、解析几何知识和微元法，确定着陆准备轨道曲线方程，并求出近月点坐标为，远月点坐标为。再运用能量守恒定律和开普勒定律，计算出近月点的速度为,远月点的速度为 。

对于问题二，在探测器软着陆过程中，通过多项式制导得到径向位移方程：

再引入哈密顿函数，得到最优化显式制导模型，利用得到软着陆曲线，如图所示。可得降落时间燃耗最优值为。粗避障使用激光扫射雷达的障碍检测方法，采集高程图拟合此区域的地形，对着陆区的障碍进行排除，确定安全着陆区域。精避障基于粗避障选定区域，建立中心螺旋式的安全区域搜索模型，使用如下方程：

提取出距离预定着陆点最近的安全着陆点。

对于问题三，通过建立制导控制误差模型，对影响着陆制导精度的初始条件误差和导航与控制传感器误差进行了分析，同时获取了误差敏感系数矩阵，该敏感性分析全面的反映了主制动段的性能。

关键词 二体问题、多项式制导、哈密顿函数、最优化显式制导、中心螺旋式搜索

问题重述

月球是地球唯一的天然卫星。人类掌握航天技术之后，探测地外天体的首选目标就是月球，因此中国航天局进行嫦娥三号在月面软着陆。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能依靠变推力发动机，所以设计精准的着陆轨迹和推力控制是关键。

根据问题A的背景与参考资料（附件1）和嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求（附件2），请研究一下问题：

（1）根据附件1，解决着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向问题。

（2）根据附件2，结合附件1，确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相信的误差分析和敏感性分析。

模型假设

1.假设月球为密度均匀的球体，当嫦娥三号脱离环月卫星轨道进入椭圆轨道时仅相当于质点仅受到月球的引力，忽略地球对其影响，这样月球与嫦娥三号运行可构成二体问题。

2.当嫦娥三号处于椭圆轨道时，不考虑月球扁平率，太阳光压等因素的影响。

3.当嫦娥三号由着陆轨道开始软着陆时，忽略其他干扰因素，仅受月心引力和主发动机推力的作用，而且发动机为常力液体发动机，处于最优的理论控制系统。

4.忽略月球自转，月球重力加速度为常值。

5.着陆器所容忍的阀值由地面的最大粗糙度及最大坡度所决定。

6.着陆器为正方形，安全着陆所需的最小区间也为正方形。

7.在进行误差分析时取得所有元素均服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务特性。

8.需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小均考虑为典型的误差值。

常量符号

建立模型

一、问题一分析

1.1嫦娥三号近月点与远月点状态分析

月球探测器轨道运动按近似分析方法分为两个阶段：一个是以地球引力为主的阶段；另一个是以月球引力为主的阶段。两者以月球相对于地球的作用球半径为万公里的球面为分界。当航天器与月球的距离大于万公里时，认为航天器受到的力主要是地球引力，并近似地认为航天器相对地球的轨道是开普勒轨道。当航天器进入月球作用球时,认为航天器是相对于月球运动。如果将进入月球作用球的速度换算成相对月球的速度，这个速度往往超过月球的脱离速度，因而航天器相对月球的轨道是双曲线。两个阶段轨道连接起来就是月球探测器的轨道。这种近似方法称为双二体问题。如果两个阶段的轨道都用航天器轨道摄动的方法解出，可以得到比较精确的轨道。月球探测器轨道依顺序可以分为停泊轨道和过渡轨道,过渡轨道一直延伸到月球附近。此后,不作机动飞行时便分为击中月球轨道和绕飞轨道；作机动飞行时，可成为月球卫星轨道或在月球表面软着陆。

1.2着陆准备轨道方程的建立

根据理论力学可知，若将月球看成一个密度均匀分布的正球体，则它对卫星

的吸引可等效于一个质点，这样月球和卫星就构成一个二体系统。可在月心惯性坐标系考虑卫星相对月心的运动。卫星位置矢量为，卫星速度矢量为，万有引力常数为，月球质量为，卫星质量为，根据万有引力定律和牛顿第二定律，相应的运动方程式中，为了简便记是月球引力常数。为了计算方便，可选取轨道计算单位，即取μ=1，这样方程就可写成 ，此方程（对应的是一有心力问题，不仅是可积的，这里的可积是指上述微分方程的解可以写成求积形式），而且可以具体给出六个积分的完整表达式，下面先给出二体问题的常用积分，在此基础上进行讨论。由于卫星是平面运动，而相应的平面已由确定，可在平面内用平面极坐标来表示其运动方程，运动方程式的径向和横向两个分量各为

由此给出一积分

关于右端积分常数,由空间极坐标（三个方向的单位矢量分别记作即前面的）中和的表达式，立即可得

这表明，积分就是面积积分的标量形式。方程和

构成了平面运动系统对应的三个常微分方程，还需寻找三个独立积分。

上述方程的特点是不显含自变量t ，由常微分方程的基本知识可知，对于这类方程可通过分离的方法使方程降一阶，转而讨论的变化规律。为此，记

利用式得

将这一关系代入方程即可给出对的二阶方程，但相应的方程不便于求解。如果在降阶的同时，作变换：，则有

利用这一关系即可得到对的一个二阶常系数线性方程 该方程给出一轨道积分

和即两个新积分常数。这是一圆锥曲线，在一定条件下它表示椭圆，中心（即坐标原点）在其一个焦点上。考虑实际应用的需要，这里首先讨论椭圆运动的情况。既然是椭圆，可令

那么积分又可写成

积分常数由代替。是椭圆半通径，是半长径，是偏心率，对椭圆而言，有。

再根据第二问得到的水平位移，然后经纬度与距离的换算关系如此式：

计算得到近月点的位置，远月点的位置。

1.3嫦娥三号近月点与远月点速度求解

在本题中嫦娥三号所在的椭圆轨道平面上近月点高为，远月点高为。设为近月点月心距，为远月点月心距。

以和分别表示经过这两点的速度，由速度沿轨迹切线方向，可知和方向均与椭圆长轴垂直，在两点分别取极短相等时间，则

由开普勒第二定律得：

行星运动总机械能等于其动能和引力势能之和，故行星经两点机械能为

由能量守恒定律，得,所以

2、问题二分析：

2.1探测器软着陆过程分析：

嫦娥三号探测器从15近月点到最终着陆过程设计分为个阶段，着陆过程如图示。

图2-1 着陆六个阶段示意图

1）.着陆准备段：着陆准备段的主要任务是在动力下降点火，修正地面注入的点火时刻及对应轨道，计算点火目标姿态并调整到位。

2）.主减速段：主减速段从距月表面高度约为到约。该段主要任务是软着陆制动，高度下降至约。根据该任务的要求，其轨迹应是利用主发动机减速自然形成的平缓下降轨迹，航程大约。

3）.快速调整段：距月面高度从到约，该段主要任务是快速衔接主减速段和接近段。快速姿态机动到接近段入口姿态，发动机推力同步减到低推力水平。根据该任务的要求，其轨道应是利用主发动机减速形成的平缓下降轨迹，高度下降大约，航程大约。

4）.悬停段：距月面高度左右，该段主要任务是对着陆区域的精障碍检测。由变推力发动机抵消着陆器重力，保持着陆器处于悬停状态，利用三维成像敏感器对着陆区进行观测，选择出安全着陆点。

5）.避障段：避障段从距月面高度约到约，该段主要任务是精避障和下降。根据悬停段给出的安全着陆点相对位置信息，着陆器下降到着陆点上方，相对月面下降速度为预设值，水平速度接近零，轨迹为斜向下降到着陆点。避障段的精障碍检测主要识别粗糙度和坡度，根据这两项综合确定安全着陆点。

6）.缓速下降段：距月面高度到伽玛关机敏感器信号生效，该段主要任务是保证着陆器平稳缓速下降到月面，着陆月面的速度和姿态控制精度满足要求。如果伽玛关机敏感器信号不生效，触地敏感器提供关机信号。

2.2着陆过程控制方案的初步讨论：

月球软着陆，是指月球着陆器经地月转移到月球附近后，在制动系统的作用下以很小的速度近乎垂直地降落到月面上，以保证探测器设备的完好。登月探测器的着陆控制包括含竖直方向的运动控制、水平方向的运动控制以及姿态控制等等。

在理想情况下的最优控制方案流程可简单描述为开始时让探测器自由下落，当下落到某个状态时启动发动机，以最大推力对火箭减速。当速度减小到零时正好到达地面。但实际中存在各种形式的干扰，这也是实际环境中实现不了的。

尽管不能采用理想控制方案，但是在第一阶段到第四阶段的制导方向我们可以采用对着陆器在轨道坐标系下建立动力学模型，简化动力学方程，提出着陆器径向最优轨迹模型，这就是多项式显式制导律，但多项式显式制导律只对着陆器径向位置做了约束，而对其轴向没有约束，此处基于最优控制理论的显式制导律进行设计。并且能计算出该制导方法燃料的消耗。

对于第五阶段——第六阶段，首先是粗避障，嫦娥三号探测器是基于一种激光扫射雷达的障碍检测方法。该方法利用激光扫描雷达采集的高程数据拟合着陆区地形平面，能够有效地提取着陆区的障碍并实现对着陆区坡度的估计。其次是精避障，基于粗避障选定的最终着陆区，在安全着陆点选取方面，设计了一种中心螺旋式的安全区域搜索策略，以提取距离预定着陆点最近的安全着陆点。

2.3第一阶段——第四阶段最优控制制导模型

2.3.1月球软陆场坐标系下动力学模型：

设为原点在月心的惯性坐标系，轴指向动力下降段起始点，轴位于和轴所确定的平面内，垂直于轴，指向速度方向为正；轴服从右手法则。设为原点在着陆点的着陆场坐标系，轴沿方向背离月心为正；轴垂直于轴指向运动方向为正；轴服从右手法则。忽略月球自转，在整个制导过程中，视月球重力加速度为常值。则在着陆场坐标系中，动力学模型可近似表示为：

(2-1)

其中，分别为着陆器在着陆场坐标系下的三个轴向速度，分别为着陆器在着陆场坐标系三个轴上的加速度分量（除重力加速度以外），分别为制动推力的两个方向角，分别为着陆器从初始点向着陆点运行过程中的实时月球经度和纬度，为月球重力加速度，视为常数。（如图3-1所示）

2.3.2最优制导过程描述及其求解

引进状态矢量：

(2-2)

为讨论状态变量反馈控制，以着陆过程任一瞬时点状态为初始值,着陆目标点状态为终值，定义剩余时间为，则在时间间隔内

(2-3)

(2-4)

定义控制变量：

(2-5)

将方程写成状态方程的形式为

(2-6)

定义如下能量最优性能指标：

(2-7)

这样，由式就组成了一个定义在时间间隔上的最优控制问题，求解这个最优控制问题本质上就是寻找一组容许控制角，使着陆器在最短时间内转移至期望状态，与之相应的状态方程就是最优解。

由极大值原理，引入哈密顿函数

(2-8)

其中，为共轭变量，由共轭方程确定 (2-9)

解得

(2-10)

由控制方程可得 (2-11)

将式代入式积分求解可得

(2-12)

(2-13)

(2-14)

(2-15)

(2-16)

(2-17)

于是三个轴向加速度可表示为

(2-18)

所以两个最优控制方向角为

(2-19)

这里，实际推力。

下面来求取剩余时间。考虑到着陆器从初始位置运行到期望末端位置的时

确定，由最优控制原理有下式成立 (2-20)

即

(2-21)

用表示为

(2-22)

令

(2-23)

(2-24)

(2-25)

则式可变为

(2-26)

这是个特殊的一元四次方程，用变量代换即可得出剩余时间的表达式

(2-27)

(2-28)

其中：

(2-29)

这里的为方程的解。

将上述三次方程改写为：

(2-30)

其中

求解式方程可得其实数解为

（2-31）

其中 。

这样，由式便组成了一种燃耗最优的显示制导律：

（2-32）

（2-33）

其中剩余时间可由下式确定

（2-34）

说明：

（1）该制导律只与着陆器终端约束条件和当前状态变量及加速度有关，它们可由惯性测量单元实测得，二与制动推力和质量无关。

（2）本制导律师建立在一定假设基础之上的，由此带来的误差会随着时间的推移越来越小。

（3）本制导方法是一种实时闭环显示制导方法，因此具有一定的鲁棒性。

（4）由式和可知，剩余时间式着陆器位置和速度的函数；由式可以看出，当变为零时制导律就会产生无穷大指令，所以在实际工程应用过程中，期望目标点应选在为零之前实现。

2.3.3最优推力方向角

垂直方向上的燃耗最优下降轨迹和下降速率可以通过三次多项式和二次多项式来拟合：

其中，为局部时间，定义当前时刻的局部时间为零。

始端和终端边界条件：

其中，是局部时间的终端值，局部时间在第二步进行估算。是惯性测量单元输出的探测器当前的垂直位置,速度。是给定垂直方向上的终端条件。四个未知数四个等式约束，因此式的系数可以很容易确定。

由式可得当前时刻垂直方向的加速度：

由于：

所以有：

其中，为加速计得输出。

2.3.4模型验证燃料消耗计算

2.3.4.1模型验证

软着陆初始条件由霍曼转移轨道的近月点给出。下表给出了着陆的始端和终端边界约束，其他参数根据月球的基本参数计算：

表.边界约束条件

通过边界约束条件，利用最小值优化求解得到径向位移曲线的系数：，利用做出径向位移曲线，如下图所示

图2-2 径向位移曲线

模型检验：由嫦娥三号着陆视频得知，从主减速开始到快速调整阶段用时大约为，在降落到时距月心距为，而由上图建模的图像可得，当纵坐标为时，得出横坐标距离为左右，基本满足嫦娥三号着陆的二维平面抛物线轨迹，则此最优控制制导模型成立模型可成立。同时计算探测器从降落到月面水平距离为。

2.3.4.2 消耗计算

对于最小燃耗软着陆，参数设置发动机比冲，初始质量，发动机推力，再根据上面的的边界着陆约束条件，利用中仿真得到软著陆曲线，从而推到得到燃耗最优控值，这个也是一个实时闭环制导过程，显示制导方法软着陆曲线如下所示：

图2-3 显示制导软着陆曲线

由着陆轨迹的各个参数，利用得到嫦娥三号探测器着陆的空间示意图、制动轨迹、着陆轨迹如下：

图2-4 着陆空间示意图

图2-5 第一到三阶段示意图 图2-6 第四到五阶段示意图

经过各参数量的最优化求解得到，探测器到达期望着陆区所需要的时间为，消耗燃料为。

2.4第五阶段——第六阶段软着陆避障检测模型

2.4.1 粗避障基于激光扫描雷达的障碍检测

2.4.1.1激光雷达扫描避障的基本原理

激光扫描雷达作为一种重要的制导控制传感器，它通过扫描雷达通过激光脉冲波束的传播时间来获取采样数据，主要由发射机、接收机、扫描器和处理机等构成。发射机的主要作用是发射准直的激光光束照射目标；接收机的主要作用是接收从目标发射回来的激光回波信号，转换成电信号；激光扫描的主要作用是对发射机的发射光束和接收机的瞬时接收视场方向进行同步扫描；处理机的主要作用是控制发射机发射激光，测量激光发射时刻（开始时刻）与激光返回时刻（停止时刻）之间的时间差，通过对该时间差的处理得到距离信息，进一步的处理还可以获取距离像和强度像。

  通过激光雷达获取高程度数据的技术比较成熟，容易实现，下面将对利用激光雷达高程数据来进行障碍检测的方法进行介绍。

2.4.1.2激光雷达避障的流程图

图2-7激光雷达避障的流程图

2.4.1.3 数字高程图的生成

地表数字高程图是将激光扫描雷达测得的距离信息，经过坐标变化、插值拟合以等间距规则形式投影到着陆区表面形成的，表现为维的表面图像形式。这种不规则的扫描模式与非线性的投影方式造成了着陆区表面采样点的不规则性。如果直接利用这些不规则的采样数据进行障碍检测，将会导致障碍检测算法过于复杂，并且耗费大量的计算时间。因此，本文对激光扫描雷达测得的数据进行再采样处理，将其按规则的采样模式变换到着陆点坐标系下，利用再次采样生成的地表数字高程图可以简化障碍检测算法及数据结构。经过再次采样生成的地表数字高程图表现为一个关于水平坐标的函数Z(r, c)，其中与分别代表水平面上两个方向的坐标值。数字高程图水平面上采样间隔大小以及采样范围可以由激光扫描雷达的视场角、激光扫描雷达一个方向上平均采个数、激光扫描雷达及着陆器距离地面的平均高度R确定，如图所示，由此我们可以得到：

（2-35）

各参数示意图如图所示：

图 2-8 传感器与地表的位置关系图

利用式(2-35)可以得到地表数字高程图近似的覆盖范围并且可以保证每个再

次采样点中都大致包含一个激光扫描雷达给出的原始数据。通过上面确定的参

数，本文可以通过如下的过程来生成数字高程图：

首先，利用每个采样点对应的扫描角度将每一个采样点的测量距离H 转换到笛卡尔坐标系中，表示成采样点的三维坐标(x, y, z)：

（2-36）

其次，将每个采样点的水平坐标(x, y)转换为归一化坐标(r, c)：

（2-37）

再次，利用双线性插值的方法求取规则的采样点处的高程值，所利用的插

值方法采用两套参数，高度参数E (r, c)，权重参数W (r, c)。对每一个采样点，

利用式(2-38)对与其相邻的四个规则的再采样点的高度参数与权重参数进行累

加。

（2-38）

其中，为向底取整算子。

当对所有采样点完成上式的运算后，利用对每一个再采样点进行高度评估： （2-39）

最后，由于原始采样的不规则性，可能导致在一些再采样点处没有高程

值，为获得完整的数字高程图必须对空缺处进行修补。其基本方法是对检测到

没有高程值的采样点，利用其周围邻近的八个采样点的高程值取平均值作为该

点的高程值，对所有的采样点作上述处理直至所有的再采样点均有高程值为

止。

经过如上的初步处理，将激光扫描雷达测得的距离信息转换为具有规则采

样点的地表数字高程图，有利于更为方便的建立障碍检测算法并对着陆区表面

的障碍进行提取。

2.4.1.4 数根据数字高程图数据处理来确定着陆区

由附件所给出的高度的高程图数据，通过读取得到个面的等高值，拟合出三维的月表地形，如图，然后通过帅选数据，然后与时高程度进行匹配，得到如图中方形的月表安全区域图。

图2-9 处所得三维月表地形

图2-10 时安全着陆区选择

如安全着陆区图示，白色是区域是月表附近高低差较大的区域，即障碍区，而黑色区域便是比较平坦的区域，即可以作为安全区域。

2.4.2 精避障基于中心螺旋式的障碍检测

2.4.2.1 安全着陆点区域的选取

根据上述的障碍检测算法，我们将能有效的将适合探测器着陆与不适合探

测器着陆的区域分离开来。接下来，需要从整个预定着陆区域内选择出一个最

终的安全着陆点区域。下面针对激光扫描雷达这种障碍检测传感器，对所设计的

安全着陆区域搜索方法进行说明。

2.4.2.2 安全着陆区的选取标准

为保证探测器的安全着陆，所选择的安全着陆区域必须满足以下要求：

（1）备选着陆区域内的地形情况必须能够满足安全着陆的需要，凹坑，凸起；坡度（基线为）。

（2）备选着陆区域必须满足探测器实现安全着陆所必需的面积大小，直径不大于，高度不大于；

（3）在满足上述条件的情况下，最终着陆区域应尽量接近预定着陆区

域，以减少实现障碍规避所消耗的燃料。

2.2.2.3 安全着陆区的搜索策略

基于 2.2.1.2 节的安全着陆约束，本文模拟人识别障碍物、选择安全着陆区

域的思维模式，设计了一种螺旋式的安全区域搜索策略，其示意图如图所

示：

图 2-11 螺旋式搜索方式示意图

安全着陆点的搜索过程如下：

第一步：确定实现安全着陆所必须的最小区域由于一系列误差源的存在，不可能使探测器始终按照指定的位置着陆，为此，必须根据探测器的尺寸大小和控制精度要求，设计一个能保证探测器安全着陆的最小着陆区域。

在此，假设探测器的着陆机构为一正方形，其边长为l ，那么可认为安全

着陆所需的最小区域也为一正方形，其边长为L 。在确定了这个所必需的最小

着陆区域后，以预定着陆点为中心将障碍检测传感器视场范围内的区域分成L × L大小的小区域。

第二步：螺旋式扫描以预定着陆区域为中心，不断向外进行螺旋式搜索，并按步骤三所述的过程对着陆区域进行判断，如果该小区域不满足三条着陆标准中的任何一条，那么移动到下一个小区域进行分析。每次移动的距离大小可根据栅格间的距离大小来确定，当栅格间的距离较大时每次移动一个栅格，当栅格间的距离较小时每次移动一个或多个栅格。

第三步：选择最终着陆区域按第一、第二步所述选取一个小区域，用前面介绍的障碍检测算法计算该区域内的地形参数，然后与探测器所能容忍的最大值相对比，超出这个阀值的就认为有障碍物的存在，该区域不能安全着陆，继续下一个区域的计算，否则，选为安全着陆区域，该区域中心即为期望的安全着陆点。预定着陆点到安全着陆点的距离可用如下公式求出：

（2-40）

式（2-40）中，为着陆器的径向位置，是着陆器上的激光雷达的视场角，M 为分辨率， e 是每个网格的实际大小。是预定着陆点的坐标位置，是某搜索单位中心点坐标。

通过上述搜索，所检测到的安全着陆区域不但能够满足安全着陆的要求，

而且所选择的着陆点到预定的着陆点之间的距离必然是最小的，从而保证了

进行障碍规避所需的燃料最省。

2.2.2.4 模型仿真分析

由处的高程图所得的三维月表地形，探测器的着陆架尺寸大小为，选取的最小安全着陆区域为，探测器所能容忍的障碍物高度，可容忍的最大坡度为。

按照上面所述的安全区域搜索策略，则白色区域为着陆安全点区域，仿真算例选取的最终着陆中心坐标为，（此坐标基于高程图建立的坐标系）。

图2-12 式所得月表三维地形

图2-13 时安全着陆点区的选择

模型检验分析

3.1误差分析

在主制动段，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定。

3.1.1初始条件误差模型

着陆器主制动段的状态向量定义在着陆场坐标系下，其中，着陆场坐标系定义为：原点选在着陆点，轴沿方向背月心为正（其中为月心）；轴指向运动方向为正。如果实际的着陆器初始状态记为，标准初始状态记为，那么，相对于标准情况下的初始偏差可定义为：

分开表示：

显然，对于主主制动段这一特定的飞行过程，这些偏差都是确定的。然而。针对整个月球探测任务，这些偏差就变得具有随机性，必须用统计的方法来进行研究。

3.1.2传感器误差模型

由于只是研究误差对制导律的影响，所以假设需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小均考虑为典型的误差值。由导航与控制传感器测量的量列写如下：

—着陆器纵向位置

—着陆器横向位置

—着陆器径向位置

—着陆器纵向速度

—着陆器横向速度

—着陆器径向速度

—着陆器加速度

这些量的定义如图3-1所示，则观测量向量定义如下：

（3-2）

则观测量的估计值为实际值加上估计误差：

展开可得

(3-3)

那么，单个测量量的估计误差模型可用估计误差向量的第j 个元素来表

示，其中j =1，2...7；

3.1.3误差分析系统建立

误差分析系统框图如图 3-1 所示，下面将对其各主要部分作一简单介绍。

图 3-1 误差分析系统结构图

图中所示初始状态偏差实际上是加在相应积分器中的。

参见第三章可得如下简化的系统动力学模型：

（3-4）

（3-5）

（3-6）

其中，分别为着陆器在着陆场坐标系下的三个轴向加速度，为月

球重力加速度，视为常数。则对(3-4)、(3-5)和(3-6)式进行一次、二次积分可

得：

（3-7）

（3-8）

和为系统输入，为了仿真初始偏差的影响，可进行如下设

置：

（3-9）

（3-10）

下标n 表示标准值, 和分别表示期望偏差。

制导律选择基于极大值原理的显式制导方法，由第三章可得：

（3-11）

（3-12）

（3-13）

其中剩余时间由下述方程确定 （3-14）

和分别为终端位置约束和终端速度约束，为月球重力加

速度常数，定义见第三章。

由前面的分析可知，观测量的实际输出值受到初始状态偏差、传感器测量

偏差以及传感器刻度因素误差的影响，故误差分析系统模拟程序的实际输入值

由以下几部分组成[14](以X 通道为例)： （3-15）

其中，为观测量的实际输出值，为标准值，为初始偏差(只在初始时刻

存在)，为测量偏差，为刻度因素误差系数。由图 3-1 还可以看出，为了

更准确地表示传感器误差模型，这里在误差分析系统中考虑了传感器的动态性

能，其传递函数为一阶惯性环节： （3-16）

其中，T 为传感器时间常数。

由误差分析系统结构框图可以看出，仿真程序的输入主要包括：标准初始

状态、初始状态偏差、传感器测量偏差、传感器刻度因素误差系数、传感器时

间常数、期望终端状态；输出为加入误差前后的仿真终端状态。

3.2.敏感性分析

基于上述分析，本节将对传感器误差(不包括随机误差项)和初始条件误差

输入下的制导控制系统进行仿真分析，得出误差敏感系数矩阵。在特定的主制

动任务阶段，这些误差被认为是常值。

在有传感器误差和初始条件偏差输入的情况下，首先根据图 3-1 生成一个

模拟整个闭环系统的程序，然后运行该程序，对比程序输出即可得到误差敏感

系数矩阵。具体运行过程简述如下：

第一步：将传感器误差设置为零(即无传感器误差输入)，初始条件设置为

它们的标准值，运行模拟程序，记录运行结果，即系统的输出。这一步称为标

准运行。

第二步：将其中一个传感器误差设置为非零输入或者设置一个非标准初始

条件，然后进行一系列的运行。(这些运行中输入的误差值设置为实际过程中

典型的误差值。)

第三步：将第二步运行的终端状态和标准运行的终端状态进行比较，最后

就可确定误差的影响。

如通道标准初始偏差为，输入该误差前后, 通道终端状态分别为

和，则标准初始偏差对通道的影响程度可用来衡量。

通过这种方法，即可得到一组误差敏感系数矩阵，该系数矩阵反映了主制动段终端总误差向量和两个传感器误差向量矩阵以及初始状态偏差向量之间的关系。其相互关系可用如下公式表示：

（3-17）

其中，和分别表示相对于,的敏感系数矩阵。终端误差向量能用这种形式表示的假设条件是：对动力学的线性化必须是在标准轨迹区域内。为了验证这种假设，可将输入误差值调整至第一次设定值的数倍后再进行仿(仿真方法和前面介绍的一样，每次只考虑一个误差输入)。将这些仿真结果和标准情况下的仿真结果进行比较，由此可生成新的敏感系数估计矩阵。然后将新生成的敏感系数矩阵与前面生成的敏感系数矩阵相比较，一般情况下，结果相差很小。

另一种验证线性化假设的方法就是做复合仿真，即同时输入几个误差进行仿真，然后将仿真结果与应用误差敏感系数矩阵预估出的误差进行比较。一般情况下，结果相差最大为10%，相差5%较常见。

基于这两种对线性化假设的验证，可以认为，在存在导航与控制传感器误

差和初始条件误差的情况下，利用敏感系数矩阵可以反映主制动段制导性能的

全体统计信息。

模型优化

4.1.着陆轨道控制的优化

对于2.3中所建立的着陆轨道模型，只是基于竖直方向的模型，并没有完全考虑到着陆器姿态调整器的作用，为了更为精确地优化着陆轨道，通过建立的着陆器姿态动力学与运动学模型，考虑到跟踪速度和燃料消耗问题，基于相平面法对混合性能指标的跟踪控制器进行设计，姿态跟踪控制律根据制导律提供的控制角，实时产生喷气控制力矩，该控制力矩作用于着陆器本体，姿态确定系统将姿态四元数和角速度传给控制律，以实现对制导律控制角的跟踪，从而实现了着陆器的闭环制导与控制。

4.2.软着陆避障的优化

对于2.4.1中所建立的模型，在障碍检测数据方面还存在一些问题，因为在进行月球软着陆时，着陆场一般都选择在相对平坦的平原地区，在此地区危害安全着陆的障碍物主要是分布在平坦表面的一些岩石和弹坑。为了利用月表数字高程图将障碍物与安全着陆区域分割开来，本文设计一种通过拟合最小中值平面来求取当地地平面的障碍检测方法。该算法基本思想是利用地表数字高程图，拟合出一个最佳平面来近似的描述真实月表所在的平面[8, 26]。由于着陆区分布的障碍物相对于适合安全着陆的平坦区域来说是很小的一片区域，当我们的绝大部分采样数据都分布在我们所拟合的最小中值平面上时，我们认为该平面就是近似于当地地型平面的最佳平面。在拟合出这个平面后，用局部区域的采样值与当地平面的高程值进行比较，当差值超出着陆器所能容忍的阀值即认为该处为障碍物存在，即可区分辨别障碍物，进行着陆区选择。

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7f0cb0bd59f5f61fb7360b4c2e3f5727a4e92431.html