上海市闵行区届高三数学上学期期末质量调研试题理

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（理科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数满足（为虚数单位），则 .2

2．若全集，函数的值域为集合，则 .

3．方程的解为 .

4．函数的最小正周期= .

5．不等式的解集为 .

6．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .

7．已知中，，，其中是基本单位向量，则的面积为 .

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10

9．若是等差数列的前项和，且，则 . 5

10．若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于 . 1

11．若点、均在椭圆上运动，是椭圆的左、右焦点，则的最大值为 .

12．已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是 .

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（）,则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为 .

14．已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．若，且，则“”是“等号成立”的（ A ）.

(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件

(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件

16．设，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A) (B)

(C) (D)

17．的内角的对边分别为，满足，则角的范围是（ B ）.

(A) (B) (C) (D)

18．函数的定义域为，图像如图1所示；函数的定义域为，图像如图2所示., ,则中元素的个数为（ C ）.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）

如图，三棱柱中，侧棱底面，，,，为棱中点，证明异面直线与所成角为，并求三棱柱的体积．

[证明]在三棱柱中，侧棱底面，，或它的补角即为异面直线与所成角，…………………………2分

由，,以及正弦定理得，即，…………4分

又，，…………6分

………………8分

所以异面直线与所成角的为．…………………… 10分

三棱柱的体积为． …………12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，．

（1）若，，求的值；

（2）证明：．

[解]（1）方法一: ，

= …3分

，即， ………………………………6分

． ………………………………8分

方法二: ，，即， …………3分

，两边平方得， ……………………………6分

． …………………………………8分

（2）[证明]由题意得，，

= ………………10分

又因为与夹角为，

= ………………………12分

综上成立． ……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、，海岸边界近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道，且直线与曲线有且仅有一个公共点（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段是函数图像的一段，点到、的距离分别为千米和千米，点到的距离为千米，以、分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点的横坐标为.

（1）求曲线段的函数关系式，并指出其定义域；

（2）若某人从点沿公路至点观景，要使得沿折线比沿折线的路程更近，求的取值范围.

[解]（1）由题意得，则，故曲线段的函数关系式为，4分

又得，所以定义域为. ……………………………6分

（2），设由得

，, …………8分

，得直线方程为， ………10分

得，故点为线段的中点，

由即 …………………………12分

得时，，所以，当时，经点至路程最近. 14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值；

（3）若直线过点（），且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.

[解]（1）设椭圆的方程为，由题设得，…2分

，椭圆的方程是 …………………………4分

（2）设直线，由得

与抛物线有两个交点，，，

则 …………………………6分

到的距离，又,

，故． ………………………10分

（3），点关于轴的对称点为，

则直线，设得

直线，设得14分

，又， ，

．………………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列的各项均为整数，其前项和为．规定：若数列满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称数列为“关联数列”．

（1）若数列为“关联数列”，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；

（3）已知数列为“关联数列”，且，是否存在正整数，使得若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

[解]（1）为“6关联数列”， 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

且， 即，解得 …………2分

（或）． ……………………4分

（2）由（1）得（或）

…………………………………6分

，

，可见数列的最小项为，

证明：，

列举法知当时，； ………………………………………8分

当时，，设，则，． ……………………10分

（3）为“关联数列”，且

，

…………………………12分

①当时，由得

，或．

②当时，由得，不存在 ………………14分

③当时，由，

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，舍去；当时，舍去

当时，舍去；当时，舍去……16分

综上所述，存在或或或． …………………18分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7243098a4128915f804d2b160b4e767f5acf8093.html