分叉理论和方法

分叉理论和方法

 对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态（如平衡态和或周期运动的数目和稳定性等）会发生突然变化，这种变化称为分叉。

分叉是重要非线性现象，与其它非线性现象（如混沌、突变、分形、拟序结构等）紧密相关。主要研究：（a）相空间中轨线的集合；（b）控制参数空间中分叉集的性态。分叉包括两类：（a）静态分叉：讨论平衡态数目和稳定性的变化，常见有：极限点分叉（鞍结分叉）、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等；（b）动态分叉：讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化，常见有：Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概（准）周期分叉（不变环面分叉）、同异宿轨线分叉等。

分叉问题起源于力学失稳现象的研究。18世纪中叶，D.Bernoulli和L.Euler等人研究了杆件在纵向压力下的屈曲问题。1834年C.G.J.Jacobi在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首次引进“分叉”术语。1885年，Poincare提出旋转液体星平衡图形演化过程的分叉理论。1883年，O.Reynods发现在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究。

本世纪20年代，van der Pol 和安德罗诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量分叉现象。本世纪70年代形成分叉的数学理论和方法。

分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化，且与失稳和混沌密切相关，是非线性动力学重要组成部分。主要应用于：非线性振动、结构力学、流体力学、非线性波、飞行器动力学、机器人动力学、化学动力学、控制、非线性电学、非线性光学、生态学、经济学、交通动力学、转子动力学等等。主要研究方法有：

(1) 奇异性方法

奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的GS范式进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。

对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应用奇异性方法。该方法思想及经典作品参考：

(a) Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988

又见：Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力学进展，1989, 19(2):59-66

(b) Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985

(2) Poincar-Birkhoff规范形方法

如何求PB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。

如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数方法等（目前无其它更好方法）。思想及经典作品参考：

(a) Arnold V I. Geometrical Methods in the Theory of ODE. Springer-Verlag, 1983

(b) Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71

(c) Guckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-verlag, 1983

(3) 幂级数法

通过解的渐进展开，利用投影关系和Fredholm择一性进行分叉分析。可应用于：静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉领域。参考：

(a) Ioos G and Joseph D D. Elementary stability and Bifurcation Theory (2nd ed.). Springer-Verlag, 1999

(4) 摄动法

包括：平均法、多尺度法、KBM法、内谐波平衡法等，应用于：周期或概周期领域。

(5) 次谐Melnikov方法

研究二维扰动Hamilton系统的m/n阶次谐周期分叉。

(6) 后继函数法和Shilnikov法

研究二维和高维系统的同宿分叉问题，此外还有隐函数定理、变分方法和拓扑度方法。见：

(a) Wiggins S. Global Bifurcation and Chaos: Analytical Methods. Springer-Verlag, 1988

(7) 数值方法

除摄动方法外，都属于定性研究。数值方法和模拟方法进行定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪分叉解等方面，数值方法是必要的。见：

(a) Kubicek M and Marker M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag, 1983

(b) 蔡大用，白峰杉. 现代科学计算. 北京：科学出版社，2000

(8) 群论方法

研究对称分叉问题。

——金栋平教授，《非线性动力学》课程讲义

重点关心问题，几个基本概念：流形、相图、轨迹、稳定、不稳定与分岔混沌、及LE讨论等

说明：1、流形、相图、轨迹是否具有共同的概念呢？流形就是相图？这3个概念一样吗？

           2、稳定有好多种的定义，什么渐进稳定，一致稳定，全稳定等等。这些概念，有没个具体的形象的总结性呢？

           3、稳定→分岔→不稳定→混沌。这是一个系统随着分岔参数变化的“局部”一般过程吧？首先从工程意义上讲，分析了分岔之后有什么用？得到不稳定的临界点即是分岔点吧？研究了分岔之后，再研究通过混沌的过程，有什么意义？为啥要做这个研究呢？

          那分岔之后的“不稳定”和混沌之间有什么关系呢？ 是不是有些系统，在参数变化到某个值的时候，发生了分岔，然后可能有稳定周期解，也可能有不稳定周期解，再者就是不稳定了，但是就是没有混沌发生呢？这个时候，是不是“不稳定”不够“不稳定”，还没达到混沌的程度呢？

        混沌意味着，系统的解是 “无规律”发散，或者不动点是“无规律”发散。那么不稳定呢？不稳定和混沌之间到底是什么关系？如果是从最大lyapunov指数上看，大于0的，则为不稳定，还是混沌出现呢？（我发现论坛里有讲，最大LE大于0就发生混沌）。那这个时候，混沌应该怎么判断呢？怎么综合相图，庞加莱图和最大LE图判断呢？



②关于最大LE求解的问题

      参阅了论坛的帖子。有几个疑问。首先想知道的是，离散系统和连续系统的LE求解方法是否一样？

      从定义上讲，一个有限维的，雅克比矩阵可以求出来的，甚至发现这个雅克比矩阵是个只关于分岔参数的“常数矩阵”，即是个自治线性系统，那么这个时候，lyapunov谱 就是 直接对矩阵特征值模求ln即可了吧？这个时候实际上根据特征值已经可以判断分岔类型了吧？

      论坛里发了好多的求解LE的程序，说实在，没看懂。运用WOLF求解，还有MATLAB的LET工具求解。这些方法只是针对连续系统

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6c8dcb24bcd126fff7050b0d.html