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相交线与平行线最全知识点

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、本章共分4大节共14个课时；（2.16〜3.7第1、4周）
早节
第五章
相交线与平行线相交线
平行线及其判定平行线的性质平移

内容
33422
课时
14
5.15.25.35.4
单元小结

二、本章有四个数学基本事实
1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；2•过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；4.两直线平行，同位角相等.
三、本章共有19个概念
1.对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14命题15.真命题16.假命题17.定理18.证明19.平移
四、转化的数学思想遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14五、平移
1.找规律2.转化求面积3作图
（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加内角为60°.
dem，如图所示.已知每个菱形图案的边长103cm，其一个

(1若
【解】
（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案?
【解】

可编辑



相交线与平行线知识点
5.1相交线
1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表:
图形顶点边的关系
有公共顶点
/1的两边与/2的两边互为反向延长线
大小关系对顶角相等即/1=/2
对顶角
/1与/2
邻补角
有公共顶点
/3与/4有一条边公共，另一边互为反向延长
线•/3与/4
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果/a与是对顶角，那么一定有/a
/3+/4=180°
=/B；反之如果/a=/3，那么/a与/+/3=180°；反之如果/a+/3=180°,
B不一定是对顶角
⑶如果/a与/B互为邻补角，则一定有/a
则/a与/B不一定是邻补角
.
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足符号语言记作：
如图所示：AB丄CD，垂足为0
B
⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直⑶垂线性质2:连（与平行公理相比较记）接直线外一点与直线上各点的所有线段中,
垂线段最短•简称：垂线段最短
3、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，
⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线
4、点到直线的距离
可编辑



直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆•
如图，P0丄AB，同P到直线AB的距离是PO的长P0是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条•现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量
长度•联系：具有垂直于已知直线的共同特征⑵两点间距离与点到直线的距离
•（垂直的性质）
区别：两点间的距离是点与点之间，
点到直线的距离是
点与直线之间•联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点间距离•
⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同
（即已知点与垂足）
5.2平行线
1平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，
直线a与直线b互相平行，记作a//b.
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
就可以肯定它们平行；反过来也一样（这
3、平行公理一一平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如左图所示，•••b//a,c//a
•••b//c
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注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，会结论，这两条直线都平行•
才

5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角
如图，直线a,b被直线I所截
①/1与/5在截线|的同侧，同在被截直线叫做同位角（位置相同）
②/5与/3在截线|的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③/5与/4在截线I的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角.

④三线八角也可以成模型中看出•同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型.
6、如何判别三线八角
，有时需要将有关
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全
例如：

⑴/1与/2;⑵/1与/7;⑶/1与/BAD;⑷/2
与/6;⑸/5与/8.
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线）
，得到下列各图•

如图所示，不难看出/1与/2是同旁内角；/1与/7是同位角；/角；/2与/61与/BAD是同旁内
是内错角；/5与/8对顶角.
A

A
5
C
B
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注意：图中/2与/9，它们是同位角吗？
不是，因为/2与/9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成7、两直线平行的判定方法方法一
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行
方法二
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行
方法三
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
•//3=72
•••AB//CD（同位角相等，两直线平行）•/71=72
•
AB//CD（内错角相等，两直线平行）AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
•平行线
•/74+72=180°
•
请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行
的判定是写角相等，然后写平行注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联
系，常
由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”判定两直线“平行”这种“位置关系”
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行•
②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
⑴不相交的两条直线必定平行线•
⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”要条件，不能遗漏•⑵正确
⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”已知直线上，是
作不出这条直线的平行线的典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：
⑴由72=7B可判定AB//DE，根据是同位角相等，两直线平行;⑵由71=7D可判定AC//DF，根据是内错角相等，两直线平行;

•上述平
，
•
•“在同一平面内”是一项重
•因为如果这一点不在
EC
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⑶由/ACF+ZF=180°可判定AC//DF，根据同旁内角互补，两直线平行
5.3平行线的性质
1、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；性质2:两直线平行，内错角相等；性质3:两直线平行，同旁内角互补
几何符号语言：
•/AB//CD
•••/1=Z2（两直线平行，内错角相等）
•/AB//CD
3=Z2（两直线平行，同位角相等）
•/AB//CD
•••/4+Z2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
2、两条平行线的距离如
图，直线与CD间的距离.
AB//CD,EF丄AB于E,EF丄CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB
A
E

1
G
B
C_
F


□HD
注意：直线AB//CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线
AB与CD间的距离.3、命题：
⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成题常写成“如果……，那么……”的形式是题设，用“那么”开始的部分是结论
有些命题，没有写成“如果……，那么题，•…”的形式，题设和结论不明显要经过分析才能找出题设和结论，
•题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分
.对于这样的命
.命
那么.也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式
…”或者“若……”等形式表述；命
注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知…题的
结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”4、平行线等形式表述的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行两直线平行两直线平行
<^=>
<^=><==>
同位角相等；内错角相等；同旁内角互补
可编辑



其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质
典型例题：已知/1=ZB，求证：/2=ZC
证明：•••/1=ZB（已知）
•••DE//BC（同位角相等，
两直线平行）
•••/2=ZC（两直线平行
同位角相等）
注意，在了DE//BC,不需要再写一次了，得到了
DE//BC,这可以把它当作条件来用了
典型例题：如图，AB//DF,DE//BC,/1=65°
求/2、/3的度数
解答：•••DE//BC（已知）
2=/1=65°（两直线平行，内错角相等）•/AB//DF（已知）
•AB//DF（已知）
•/3+/2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
B
•••/3=180°-/2=180°—65°=115°
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动，完全相同.
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等
会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小
2、平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行相等，图形的形状与大小都没有发生变化
（或在同一直线上）且相等，对应角
.
②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等典型例题：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么:
⑴点A的对应点是点_______________________;⑵点⑶点__________的对应点是点对应线段是线段_________________;
⑸线段BC的对应线段是线段___________________;⑹/A的对应角是_______________.
⑺________的对应角是/F.解答：
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹/D;⑺/ACB.思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，

对应点的连线段平行或在同一直线上解
B的对应点是点_______________









F;⑷线段AB的
A








/









/



/
B


/
E

\
C

\\

F

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答•
考点一：对相关概念的理解
对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，例1:判断下列说法的正误。(1(2(3(4(5(6(7(8(9
对顶角相等；相等的角是对顶角；邻补角互补；互补的角是邻补角；同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；
直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
垂线性质与平行公理的区别等
(10过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(11两直线不相交就平行；
(12互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。练习：卜列说法止确的是（
）
A、相等的角是对顶角B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
D、过一点有且只有一条直
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
线与已知直线平行
考点二：相关推理（识记）
(1•「a//c,b//c(已知•
(2•//1=/2,
//(
Z2=Z3(已知•=(
）
,Z2=30°（已知）•Z1=(3•••Z1+Z2=180°
•••Z1+Z2=90°,Z
（已知）•Z1=(42=22°（已知）••ZBOD=(5如图（1）,•ZAOC=55°
（已知）•••ZBOC=(6如图(1,••ZAOC=55°
(7如图（1）,-
.•ZAOC=ZAOD,ZAOC+ZAOD=180
1
O
2
（已
知）
•••/
(1
BOC=_
b
-i1
(
(3

(8如图(2,•/a±b(已知_____________________•••/1=(
(9_______________________如图(2,•/Z仁_______________________________(已知•a丄b
(_________________________________

可编辑



(10如图(3,•••点C为线段AB的中点•••AC=(11如图(3,•/AC=BC•••点C为线段AB的中点(（12）如图（4）,•/a/b（已知）（13）如图（4）,•/a/b（已知）
•/仁/2（•/仁/3（•/1+Z4=
•a/b（•a/b（
（
(
））））
（14）如图（4）,Ta//b（已知）
（15）如图（4）,•//仁/2（已知）（16）如图（4）,•//仁/3（已知）

））C

（17）如图（4）,T/1+/4=
考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算
（已知）
•a/b（

入'
..
国一空
■
例题1如图5-1,直线AB、CD相交于点0,对顶角有______________________对，它们分别是____________/A0D的邻补角是_______________。
例题2:如「图5-2,直线li,12和13相交构成8个角，已知/仁/5,那么，/5是______________________________的对顶角，与/5相等的角有/1、___________________，与/5互补的角有______________。例题3:如图5—3,直线AB、CD相交于点0,射线0E为/B0D的平分线，/BOE=30,则/A0E为_____________。
图5—1图5—2
图5—3
考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别例题1:如图2-44，/1和/4是AB、

所截得的
角，/3和/5
是_________、___________被___________所截得的_________角，/2和/5是_、____________被—所截得的__________角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是________________.
例题2:如图2-45,AB、DC被BD所截得的内错角是____________________,AB、CD被AC所截是的内错角是_____________,AD、BC被BD所截得的内错角是___________________,AD、BC被AC所截得的内错角是_____________。
E
（ffi2-4
5）
例题3:如图1—26所示.AE//BD，/1=3/2，/2=25°，求/C.

可编辑




考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）
例题1如图9,已知DF//AC,/C=/D,要证/AMB=/2,请完善证明过程，?并在括号内填上相应依据：
•/DF//AC(已知,•••/D=/1(•••/C=ZD(已知,•/1=/C(
?•DB//EC(
•••/AMB=/2(

例题2:如图，直线AB、CD被直线EF所截,与/G相等吗？说明你的理由•
考点六：特殊平行线相关结论
B,D,BPD的关系
例题1:已知，如图：AB//CD，试探究下列各图形中考点七：探究、操作题
例题：（阅读理解题）直线AC//BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.
当动点P落在某个部分时，连结PA,PB,构成/
PAC,/APB,/PBD三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角.(1当动点P落在第①部分时，求证：/APB=/PAC+/PBD;
(2当动点P落在第②部分时，/APB=/PAC+/PBD是否成立(直接回答成立或不成立？
(3当动点P在第③部分时，全面探究/PAC,/APB,/PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

®③③

②
②/(p~
②/(D
S
D
B
D
B
D


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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/347333722aea81c758f5f61fb7360b4c2f3f2ace.html

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