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高中数学必修1课后习题答案

发布时间：2019-01-30 20:18:05 来源：文档文库

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高中数学必修1课后习题答案

第一章集合与函数概念

1．1集合

1．1．1集合的含义与表示

练习（第5页）

1．用符号“ ”或“ ”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A；

（2）若A {x|x2 x}，则 1_______A；

（3）若B {x|x2 x 6 0}，则3_______B；

（4）若C {x N|1 x 10}，则8_______C，9.1_______C．

1．（1）中国 A，美国 A，印度 A，英国 A；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．

2 （2） 1 A A {x|x x} {0,．1 }

2 （3）3 B B {x|x } x 6 0} { 3．,2

（4）8 C，9.1 C 9.1 N．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x2 9 0的所有实数根组成的集合；

（2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；

（4）不等式4x 5 3的解集．

22．解：（1）因为方程x 9 0的实数根为x1 3,x2 3，

所以由方程x 9 0的所有实数根组成的集合为{ 3,3}；

（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；

y x 3

y 2x 6 x 1 y 42 （3）由，得，

即一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点为(1,4)，

所以一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；

（4）由4x 5 3，得x 2，

所以不等式4x 5 3的解集为{x|x 2}．

1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合{a,b,c}的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；

取一个元素，得{a},{b},{c}；

取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}；

取三个元素，得{a,b,c}，

即集合{a,b,c}的所有子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．

2．用适当的符号填空：

（1）a______{a,b,c}；（2）0______{x|x2 0}；

（3） ______{x R|x2 1 0}；（4）{0,1}______N；

（5）{0}______{x|x2 x}；（6）{2,1}______{x|x2 3x 2 0}．

2．（1）a {a,b,c} a是集合{a,b,c}中的一个元素；

（2）0 {x|x2 0} {x|x 0 }

22 {；0}22（3） {x R|x 1 0} 方程x 1 0无实数根，{x R|x 1 0} ；

（4）

{0,1}

（5）

{0}N （或{0,1} N） {0,1是自然数集合N的子集，也是真子集； }{x|x x} （或{0} {x|x x}） {x|x x} 222{0,；1 }

22（6）{2,1} {x|x 3x 2 0} 方程x 3x 2 0两根为x1 1,x2 2．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）A {1,2,4}，B {x|x是8的约数}；

（2）A {x|x 3k,k N}，B {x|x 6z,z N}；

（3）A {x|x是4与10的公倍数,x N }，B {x|x 20m,m N }．

3．解：（1）因为B {x|x是8的约数} {1,2,4,8}，所以

AB；

（2）当k 2z时，3k 6z；当k 2z 1时，3k 6z 3，即B是A的真子集，

BA；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设A {3,5,6,8},B {4,5,7,8}，求A B,A B．

1．解：A B {3,5,6,8} {4,5,7,8} {5,8}， A B {3,5,6, 8}{4,5 ,7,8}{3,．4

2．设A {x|x2 4x 5 0},B {x|x2 1}，求A B,A B．

2．解：方程x2 4x 5 0的两根为x1 1,x2 5，方程x2 1 0的两根为x1 1,x2 1，

得A { 1,5},B { 1,1}，

即A B { 1},A B { 1,1,5}．

3．已知A {x|x是等腰三角形}，B {x|x是直角三角形}，求A B,A B．

3．解：A B {x|x是等腰直角三角形}， A B {x|是． x等腰三角形或直角三角形}

4．已知全集U {1,2,3,4,5,6,7}，A {2,4,5},B {1,3,5,7}，

B),(求A (痧UA) ( UB)． U

4．解：显然ðUB {2,4,6}，ðUA {1,3,6,7}，

A) (则A (ðUB) {2,4}，(痧UUB) {6}．

1．1集合

习题1．1 （第11页） A组

1．用符号“ ”或“ ”填空：

（1）32

7_______Q；（2）32______N；（3） _______Q；

（4

）R；（5

Z；（6

）2_______N．

1．（1）32

7 Q 32

7是有理数；（2）32 N 32 9是个自然数；

) 2（3） Q 是个无理数，不是有理数；（4

R

（5

）Z

3是个整数；（6

）2 N

是个自然数． 5

2．已知A {x|x 3k 1,k Z}，用 “ ”或“ ” 符号填空：

（1）5_______A；（2）7_______A；（3） 10_______A．

2．（1）5 A；（2）7 A；（3） 10 A．当k 2时，3k 1 5；当k 3时，3k 1 10；

3．用列举法表示下列给定的集合：

（1）大于1且小于6的整数；

（2）A {x|(x 1)(x 2) 0}；

（3）B {x Z| 3 2x 1 3}．

3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；

（2）方程(x 1)(x 2) 0的两个实根为x1 2,x2 1，即{ 2,1}为所求；

（3）由不等式 3 2x 1 3，得 1 x 2，且x Z，即{0,1,2}为所求．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数y x2 4的函数值组成的集合；

（2）反比例函数y 2

x

（3）不等式3x 4 2x的解集．

22的自变量的值组成的集合； 4．解：（1）显然有x 0，得x 4 4，即y 4，

得二次函数y x 4的函数值组成的集合为{y|y 4}；

（2）显然有x 0，得反比例函数y

（3）由不等式3x 4 2x，得x

5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合A {x|2x 3 3x},B {x|x 2}，则有： 452x2的自变量的值组成的集合为{x|x 0}； 45．，即不等式3x 4 2x的解集为{x|x

4_______B； 3_______A； {2}_______B； B_______A；

（2）已知集合A {x|x2 1 0}，则有：

1_______A； { 1}_______A； _______A； {1 A； ,1_______}

（3）{x|x是菱形}_______{x|x是平行四边形}；

{x|x是等腰三角形}_______{x|x是等边三角形}．

5．（1） 4 B； 3 A； {2}B；

BA；

2x 3 3x x 3，即A {x|x 3},B {x|x 2}；

（2）1 A； { 1}A；

A； {1 ,1=}A；

2 A {x|x } 1 0} { 1；,1

（3）{x|x是菱

形}{x|x是平行四边形}；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

{x|x是等边三角

形}{x|x是等腰三角形}．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合A {x|2 x 4},B {x|3x 7 8 2x}，求A B,A B．

6．解：3x 7 8 2x，即x 3，得A {x|2 x 4},B {x|x 3}，

则A B {x|x 2}，A B {x|3 x 4}．

7．设集合A {x|x是小于9的正整数}，B {1,2,3},C {3,4,5,6}，求A B， A C，A (B C)，A (B C)．

7．解：A {x|x是小于9的正整数} {1,2,3,4,5,6,7,8}，

则A B {1,2,3}，A C {3,4,5,6}，

而B C {1,2,3,4,5,6}，B C {3}，

则A (B C) {1,2,3,4,5,6}，

A (B C) {1,2,3,4,5,6,7,8}．

8．学校里开运动会，设A {x|x是参加一百米跑的同学}，

B {x|x是参加二百米跑的同学}，C {x|x是参加四百米跑的同学}，

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B；（2）A C．

8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，

即为(A B) C ．

（1）A B {x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}；

（2）A C {x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}．

9．设S {x|x是平行四边形或梯形}，A {x|x是平行四边形}，B {x|x是菱形}， C {x|是，求B C，ðAB，ðSA． x矩形}

9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即B C {x|x是正方形}，

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即ðAB {x|x是邻边不相等的平行四边形}，

x梯形} ðSA {x|是．

10．已知集合A {x|3 x 7},B {x|2 x 10}，求ðR(A B)，ðR(A B)，

(ðRA) B，A (ðRB)．

10．解：A B {x|2 x 10}，A B {x|3 x 7}，

,x 7}ðRB {x|x 2,或x 10}， ðRA {x|x 3或，

得ðR(A B) {x|x 2,或x 10}，

3, ðR(A B) {x|x 或x 7 ，

7x 1 ，

1 ． x 或3, (ðRA) B {x|2 A (ðRB) {x|x 或2, 3x 或7x

B组

1．已知集合A {1,2}，集合B满足A B {1,2}，则集合B有 1．4 集合B满足A B A，则B A，即集合B是集合A的子集，得4个子集．

2．在平面直角坐标系中，集合C {(x,y)|y x}表示直线y x，从这个角度看，

2x y 1 集合D (x,y)| 表示什么？集合C,D之间有什么关系？ x 4y 5

2x y 1 2．解：集合D (x,y)| 表示两条直线2x y 1,x 4y 5的交点的集合，

x 4y 5

2x y 1 即D (x,y)| {(1,1)}，点D(1,1)显然在直线y x上， x 4y 5

得

DC．

3．设集合A {x|(x 3)(x a) 0,a R}，B {x|(x 4)(x 1) 0}，求A B,A B．

3．解：显然有集合B {x|(x 4)(x 1) 0} {1,4}，

当a 3时，集合A {3}，则A B {1,3,4},A B ；

当a 1时，集合A {1,3}，则A B {1,3,4},A B {1}；当a 4时，集合A {3,4}，则A B {1,3,4},A B {4}；当a 1，且a 3，且a 4时，集合A {3,a}，

则A B {1,3,4,a},A B ．

4．已知全集U A B {x N|0 x 10}，A (ðUB) {1,3,5,7}，试求集合B．

4．解：显然U {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，由U A B，

B) 得ðUB A，即A (痧UUB，而A (ðUB) {1,3,5,7}，

(得ðUB {1,3,5,7}，而B 痧UUB)，

即B {0,2,4,6,8.9,10}．

第一章集合与函数概念

1．2函数及其表示

1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

（1）f(x) 1

4x 7；（2

）f(x) 1．

1．解：（1）要使原式有意义，则4x 7 0，即x

得该函数的定义域为{x|x ； 4774，

1 x 0 （2）要使原式有意义，则，即 3 x 1， x 3 0

得该函数的定义域为{x| 3 x 1}．

2．已知函数f(x) 3x2 2x，

（1）求f(2),f( 2),f(2) f( 2)的值；

（2）求f(a),f( a),f(a) f( a)的值．

2．解：（1）由f(x) 3x2 2x，得f(2) 3 22 2 2 18，

同理得f( 2) 3 ( 2)2 2 ( 2) 8，

则f(2) f( 2) 18 8 26，

即f(2) 18,f( 2) 8,f(2) f( 2) 26；

（2）由f(x) 3x2 2x，得f(a) 3 a2 2 a 3a2 2a，

同理得f( a) 3 ( a) 2 ( a) 3a 2a，

则f(a) f( a) (3a 2a) (3a 2a) 6a，

即f(a) 3a 2a,f( a) 3a 2a,f(a) f( a) 6a．

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h 130t 5t和二次函数y 130x 5x；

（2）f(x) 1和g(x) x．

3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间t 0；

（2）不相等，因为定义域不同，g(x) x(x 0)．

1．2．2002222222222函数的表示法

练习（第23页）

1．如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，

面积为ycm2，把y表示为x的函数．

1

，

y 0 x 50，

即y (0 x 50)．

2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

（A）

（B）

（C）

（D）

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；

图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；

图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．

3．画出函数y |x 2|的图象．

x 2,x 23．解：y |x 2| ，图象如下所示． x 2,x 2

4．设

与A，A {x|x是锐角},B {0,1}，从A到B的映射是“求正弦”中元素60相对应

2 的

么？

B中的元素是什么？与B

相对应的A中元素是什

4

．解：因为sin60 2

2，所以与A中元素60 相对应的B

2；

因为sin45 ，所以与B

中的元素2相对应的A中元素是45 ．

1．2函数及其表示

习题1．2（第23页）

1．求下列函数的定义域：

（1）f(x) 3x

x 4；；（2

）f(x)

（3）f(x) 6

x 3x 22；（4

）f(x) x 1

1．解：（1）要使原式有意义，则x 4 0，即x 4，得该函数的定义域为{x|x 4}；

（2）x

R，f(x) 都有意义，即该函数的定义域为R；

（3）要使原式有意义，则x2 3x 2 0，即x 1且x 2，得该函数的定义域为{x|x 1且x 2}；

4 x 0

x 1 0（4）要使原式有意义，则，即x 4且x 1，

得该函数的定义域为{x|x 4且x 1}．

2．下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？

x2

（1）f(x) x 1,g(x) x

1；（2

）f(x) x,g(x) ； 24（3

）f(x) x2,g(x)

x2

2．解：（1）f(x) x 1的定义域为R，而g(x) x 1的定义域为{x|x 0}，即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

4 （2）f(x) x的定义域为R

，而g(x) 的定义域为{x|x 0}， 2

即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

（3

x2，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，

得函数f(x)与g(x)相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．

（1）y 3x；（2）y

3．解：（1）

定义域是( , )，值域是( , )；

（2）

定义域是( ,0) (0, )，值域是( ,0) (0, )；

（3）

8x；（3）y 4x 5；（4）y x2 6x 7．

定义域是( , )，值域是( , )；

（4）

定义域是( , )，值域是[ 2, )．

4．已知函数f(x) 3x2 5x

2，求f(，f( a)，f(a 3)，f(a) f(3)．

4．解：因为f(x) 3x2 5x

2，所以f( 3 (2 5 ( 2 8

即f( 8

同理，f( a) 3 ( a)2 5 ( a) 2 3a2 5a 2，即f( a) 3a 5a 2；

f(a 3) 3 (a 3) 5 (a 3) 2 3a 13a 14，即f(a 3) 3a 13a 14；

f(a) f(3) 3a 5a 2 f(3) 3a 5a 16，即f(a) f(3) 3a 5a 16．

5．已知函数f(x) x 2

x 62222222，

（1）点(3,14)在f(x)的图象上吗？

（2）当x 4时，求f(x)的值；

（3）当f(x) 2时，求x的值．

5．解：（1）当x 3时，f(3) 3 2

3 6 5

3 14，

即点(3,14)不在f(x)的图象上；

（2）当x 4时，f(4) 4 2

4 6 3，

即当x 4时，求f(x)的值为 3；

（3）f(x) x 2 2，得x 2 2(x 6)， x 6

即x 14．

6．若f(x) x2 bx c，且f(1) 0,f(3) 0，求f( 1)的值．

6．解：由f(1) 0,f(3) 0，

得1,3是方程x2 bx c 0的两个实数根，即1 3 b,1 3 c，得b 4,c 3，

即f(x) x2 4x 3，得f( 1) ( 1)2 4 ( 1) 3 8，即f( 1)的值为8．

7．画出下列函数的图象：

0,x 0 （1）F(x) ；（2）G(n) 3n 1,n {1,2,3}． 1,x 0

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，

周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

10

x8．解：由矩形的面积为10，即xy 10，得y (x 0)，x 10

y(y 0)，

由对角线为d

，即d

d (x 0)，

由周长为l，即l 2x 2y，得l 2x 20

x(x 0)，

另外l 2(x y)，而xy 10,d2 x2 y2，

得l d 0)，

即l (d 0)．

9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm/s的速度向容器显然0 x h，即0 d2t h，得0 t h d4v2，

得函数的定义域为[0,h d

4v2]和值域为[0,h]．

10．设集合A {a,b,c},B {0,1}，试问：从A到B的映射共有几个？

并将它们分别表示出来．

10．解：从A到B的映射共有8个．

f(a) 0 f(a) 0 f(a) 0 f(a) 0 分别是 f(b) 0， f(b) 0， f(b) 1， f(b) 0， f(c) 0 f(c) 1 f(c) 0 f(c) 1

f(a) 1 f(a) 1 f(a) 1 f(a) 1 f(b) 0， f(b) 0， f(b) 1， f(b) 0． f(c) 0 f(c) 1 f(c) 0 f(c) 1

Ｂ组

1．函数r f(p)的图象如图所示．

（1）函数r f(p)的定义域是什么？

（2）函数r f(p)的值域是什么？

（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？

1．解：（1）函数r f(p)的定义域是[ 5,0] [2,6)；

（2）函数r f(p)的值域是[0, )；

（3）当r 5，或0 r 2时，只有唯一的p值与之对应．

2．画出定义域为{x| 3 x 8,且x 5}，值域为{y| 1 y 2,y 0}的一个函数的图象．

（1）如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足 3 x 8， 1 y 2，那么其中哪些点不能在图象

上？

（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

2．解：图象如下，（1）点(x,0)和点(5,y)不能在图象上；（2）省略．

3．函数f(x) [x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[ 3.5] 4，[2.1] 2．

当x ( 2.5,3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．

3, 2.5 x 2 2, 2 x 1

1, 1 x 0 3．解：f(x) [x] 0,0 x 1 1,1 x 2

2,2 x 3 3,x 3

图象如下

4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km 处有一个城镇．

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，t（单位：h）表示他从小岛

到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．请将t表示为x的函数．

（2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？

4．解：（13

3，步行的路程为12 x，得t 12 x5，(0 x 12)，即t 12 x

5

，(0 x 12)．

（2）当x 4时，t

3 12 45 3 85 3(h)．

第一章集合与函数概念

1．3函数的基本性质

1．3．1单调性与最大（小）值

练习（第32页）

1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．

1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率

达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．

2．整个上午(8:00 12:00)天气越来越暖，中午时分(12:00 13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:00 20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.

2．解：图象如下

[8,12是递增区间，][12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．

3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

3．解：该函数在[ 1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，

在[4,5]上是增函数．

4．证明函数f(x) 2x 1在R上是减函数.

4．证明：设x1,x2 R，且x1 x2，

因为f(x1) f(x2) 2(x1 x2) 2(x2 x1) 0，

即f(x1) f(x2)，

所以函数f(x) 2x 1在R上是减函数.

5．设f(x)是定义在区间[ 6,11]上的函数.如果f(x)在区间[ 6, 2]上递减，在区间[ 2,11]上递增，画

出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f( 2)是函数f(x)的一个 .

5．最小值．

1．3．2单调性与最大（小）值

练习（第36页）

1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x) 2x4 3x2；（2）f(x) x3 2x

x 1

x2（3）f(x) ；（4）f(x) x2 1.

1．解：（1）对于函数f(x) 2x4 3x2，其定义域为( , )，因为对定义域内

每一个x都有f( x) 2( x)4 3( x)2 2x4 3x2 f(x)，

所以函数f(x) 2x 3x为偶函数；

（2）对于函数f(x) x 2x，其定义域为( , )，因为对定义域内

每一个x都有f( x) ( x) 2( x) (x 2x) f(x)，

所以函数f(x) x 2x为奇函数；

x 1

x2333342（3）对于函数f(x) ，其定义域为( ,0) (0, )，因为对定义域内

每一个x都有f( x) ( x) 1

x2 x 1

x2 f(x)，所以函数f(x) x 1

x2为奇函数；

（4）对于函数f(x) x2 1，其定义域为( , )，因为对定义域 g(x)是奇函数，其图象是关于原点对称的．

习题1.3

A组

1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y f(x)是增函数还是减函数.

（1）y x 5x 6；

1．解：（1）

2（2）y 9 x. 2

函数在( ,)上递减；函数在[, )上递增；

2

5

（2）

函2.证明：

（1）函数f(x) x2 1在( ,0)上是减函数；（2）函数f(x) 1

1x

数在( ,0)上递增；函数在[0, )上递减.

在( ,0)上是增函数.

22

2．证明：（1）设x1 x2 0，而f(x1) f(x2) x1 x2 (x1 x2)(x1 x2)，

由x1 x2 0,x1 x2 0，得f(x1) f(x2) 0，

2

即f(x1) f(x2)，所以函数f(x) x 1在( ,0)上是减函数；

（2）设x1 x2 0，而f(x1) f(x2)

1x2

1x1

x1 x2x1x2

，

由x1x2 0,x1 x2 0，得f(x1) f(x2) 0，

即f(x1) f(x2)，所以函数f(x) 1

1x

在( ,0)上是增函数.

3.探究一次函数y mx b(x R)的单调性，并证明你的结论. 3．解：当m 0时，一次函数y mx b在( , )上是增函数；

当m 0时，一次函数y mx b在( , )上是减函数，

令f(x) mx b，设x1 x2，

而f(x1) f(x2) m(x1 x2)，

当m 0时，m(x1 x2) 0，即f(x1) f(x2)，

得一次函数y mx b在( , )上是增函数；

当m 0时，m(x1 x2) 0，即f(x1) f(x2)，

得一次函数y mx b在( , )上是减函数.

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.

4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为

y x2

50 162x 21000，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

5．解：对于函数y

162

2 ( 1

50)x250 162x 21000，当x 4050时，ymax 307050（元），

即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) x(1 x).画出函数f(x) 的图象，并求出函数的解析式.

6．解：当x 0时， x 0，而当x 0时，f(x) x(1 x)，

即f( x) x(1 x)，而由已知函数是奇函数，得f( x) f(x)，

得 f(x) x(1 x)，即f(x) x(1 x)，

所以函数的解析式为f(x) x(1 x),x 0

x(1 x),x 0.

B组

1.已知函数f(x) x2 2x，g(x) x2 2x(x [2,4]).

（1）求f(x)，g(x)的单调区间；（2）求f(x)，g(x)的最小值.

1．解：（1）二次函数f(x) x2 2x的对称轴为x 1，则函数f(x)的单调区间为( ,1),[1, )，且函数f(x)在( ,1)上为减函数，在[1, )上为增函数，函数g(x)的单调区间为[2,4]，

且函数g(x)在[2,4]上为增函数；

（2）当x 1时，f(x)min 1，

因为函数g(x)在[2,4]上为增函数，

2 所以g(x)min g(2) 2 2 2 0．

2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

2．解：由矩形的宽为xm，得矩形的长为

30 3x

23(x 10x)2230 3x2m，设矩形的面积为S，则S x ，

2 当x 5时，Smax 37.5m，

即宽x 5m才能使建造的每间熊猫居室面积最大，

且每间熊猫居室的最大面积是37.5m．

2

3.已知函数f(x)是偶函数，而且在(0, )上是减函数，判断f(x)在( ,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

3．判断f(x)在( ,0)上是增函数，证明如下：

设x1 x2 0，则 x1 x2 0，

因为函数f(x)在(0, )上是减函数，得f( x1) f( x2)，又因为函数f(x)是偶函数，得f(x1) f(x2)，

所以f(x)在( ,0)上是增函数．

复习参考题

A组

1．用列举法表示下列集合：

（1）A {x|x2 9}；

（2）B {x N|1 x 2}；

（3）C {x|x2 3x 2 0}.

1．解：（1）方程x2 9的解为x1 3,x2 3，即集合A { 3,3}；

（2）1 x 2，且x N，则x 1,2，即集合B {1,2}；

2（3）方程x 3x 2 0的解为x1 1,x2 2，即集合C {1,2}．

2．设P表示平面即{P|PA PB}表示的点组成线段AB的垂直平分线；

（2）{P|PO 3cm}表示的点组成以定点O为圆心，半径为3cm的圆．

3.设平面内有 ABC，且P表示这个平面内的动点，指出属于集合 {P|PA PB} {P|PA PC}的点是什么.

3．解：集合{P|PA PB}表示的点组成线段AB的垂直平分线，

集合{P|PA PC}表示的点组成线段AC的垂直平分线，

得{P|PA PB} {P|PA PC}的点是线段AB的垂直平分线与线段AC的

垂直平分线的交点，即 ABC的外心．

4.已知集合A {x|x2 1}，B {x|ax 1}.若B A，求实数a的值.

4．解：显然集合A { 1,1}，对于集合B {x|ax 1}，

当a 0时，集合B ，满足B A，即a 0；

当a 0时，集合B {，而B A，则a11a 1，或1

a 1，

得a 1，或a 1，

综上得：实数a的值为 1,0，或1．

5.已知集合A {(x,y)|2x y 0}，B {(x,y)|3x y 0}，C {(x,y)|2x y 3}，求A B，

A C，(A B) (B C).

2x y 0 5．解：集合A B (x,y)| {(0,0)}，即A B {(0,0)}； 3x y 0

2x y 0 集合A C (x,y)| ，即A C ；

2x y 3

3x y 0 39 {(, )}；集合B C (x,y)| 2x y 355

则(A B) (B C) {(0,0),(, )}. 5539

6.求下列函数的定义域：

（1

）y

（2

）y |x| 5.

6．解：（1）要使原式有意义，则 x 2 0

x 5 0，即x 2，

得函数的定义域为[2, )；

（2）要使原式有意义，则 x 4 0

|x| 5 0，即x 4，且x 5，

得函数的定义域为[4,5) (5, )．

7.已知函数f(x) 1 x

1 x，求：

（1）f(a) 1(a 1)；（2）f(a 1)(a 2).

7．解：（1）因为f(x)

所以f(a) 1 x1 x1 a

1 a

2

1 a

1 x，，得f(a) 1 ；， 1 a1 a 1 21 a，即f(a) 1 （2）因为f(x) 1 x

1 (a 1)a 所以f(a 1) ， 1 a 1a 2

即f(a 1)

1 x

1 x22aa 2． 8.设f(x) ，求证：

1（1）f( x) f(x)；（2）f() f(x). x

8．证明：（1）因为f(x) 1 x

1 x22，

所以f( x) 1 ( x)

1 ( x)22 1 x1 x22 f(x)，

即f( x) f(x)；

1 x

1 x22 （2）因为f(x) ，

121 ()211 x f(x)，所以f() 21xx 121 ()x

1 即f() f(x). x

9.已知函数f(x) 4x kx 8在[5,20]上具有单调性，求实数k的取值范围. 2

9．解：该二次函数的对称轴为x k

8，

函数f(x) 4x2 kx 8在[5,20]上具有单调性，则k

8 20，或k

8 5，得k 160，或k 40，

即实数k的取值范围为k 160，或k 40．

10．已知函数y x 2，

（1）它是奇函数还是偶函数？

（2）它的图象具有怎样的对称性？

（3）它在(0, )上是增函数还是减函数？

（4）它在( ,0)上是增函数还是减函数？

10．解：（1）令f(x) x 2，而f( x) ( x) 2 x 2 f(x)，

即函数y x 2是偶函数；

（2）函数y x 2的图象关于y轴对称；

（3）函数y x 2在(0, )上是减函数；

（4）函数y x 2在( ,0)上是增函数．

B组

1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x人，

则15 8 14 3 3 x 28，得x 3，

只参加游泳一项比赛的有15 3 3 9（人），

即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．

2.已知非空集合A {x R|x a}，试求实数a的取值范围.

22．解：因为集合A ，且x 0，所以a 0． 2

3.设全集U {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，ðU(A B) {1,3}，A (ðUB) {2,4}，求集合B.

3．解：由ðU(A B) {1,3}，得A B {2,4,5,6,7,8,9}，

集合A B里除去A (ðUB)，得集合B，

所以集合B {5,6,7,8,9}.

x(x 4),x 0 x(x 4),x 0

4.已知函数f(x)

.求f(1)，f( 3)，f(a 1)的值.

4．解：当x 0时，f(x) x(x 4)，得f(1) 1 (1 4) 5；当x 0时，f(x) x(x 4)，得f( 3) 3 ( 3 4) 21；

( (a 1)a (a 1)a(

5)a , 3a) ,

f(a 1) 5.证明：

．

1

（1）若f(x) ax b，则f(

x1 x2

2

)

f(x1) f(x2)

2)

2

) a a2

；

.

b

a2

(x1 x2) b，

（2）若g(x) x2 ax b，则g(

x1 x2

2

g(x1) g(x2)

5．证明：（1）因为f(x) ax b，得f(

f(x1) f(x2)

2x1 x2

2

)

x1 x2x1 x2

2

ax1 b ax b22

f(x1) f(x2)

2

(x1 x2) b，

所以f(；

（2）因为g(x) x2 ax b，

得g(

x1 x2

)

1

(x1 x2 2x1x2) a(

2

x1 x2

242

g(x1) g(x2)122

[(x1 ax1 b) (x2 ax2 b)]

22

12

(x1 x2) a(

12

2

) b，

因为即

1414

2

x1 x2

2

) b， 14

(x1 x2) 0，

2

(x1 x2 2x1x2)

2

(x1 x2)

2

(x1 x2 2x1x2)

x1 x2

2

)

122

(x1 x2)，

所以g(

g(x1) g(x2)

.

6.（1）已知奇函数f(x)在[a,b]上是减函数，试问：它在[ b, a]上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，试问：它在[ b, a]上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数f(x)在[ b, a]上也是减函数，证明如下：设 b x1 x2 a，则a x2 x1 b，