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北京市昌平三中高一数学上学期期中试卷(含解析)

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2015-2016学年北京市昌平三中高一（上）期中数学试卷

一、本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列关系式中表述正确的是（）A．0∈{（0，0）}B．0∈∅C．0∈ND．{0}∈{x|x2=0}

2．已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（）A．2B．5
C．6
D．8

3．与函数y=x有相同的图象的函数是（）A．B．
C．

D．


4．设全集为R，若集合M={x|x≥1，x∈R}，N={x|0≤x＜5，x∈R}，则N∩（∁RM）等于（A．{x|x≥5}B．{x|0≤x＜1}C．{x|x＞5}D．{x|1≤x≤5}
5．已知函数y=
使函数值为5的x的值是（）
A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣
6．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．B．y=xC．y=x2D．


7．函数y=log2x+3的值域是（）A．[2，+∞）B．（3，+∞）C．[3，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
8．函数
的定义域为（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2]C．（0，2]D．[1，+∞）

1
）

9．已知函数f（x）=2x，则f（1﹣x）的图象为（）
A．B．C．D．

10．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
11．若A={0，1，2，3}，B={x|x=3a，a∈A}则A∩B=．12．函数y=
13．（﹣5）=；14．函数
15．若函数f（x）=
16．已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=．
17．设指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，则a的取值范围是．
18．若函数f（2x+1）=6x+2，则函数f（x）=．
，则方程f（4x）=x的根是．
则f（f（4））=．
﹣2
的定义域是．
=．
2


19．一次函数过点A（1，3）、B（﹣3，5），则此函数解析式为．
20．已知n∈N+，函数f（n）=（n+1）﹣f（n）=．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}．求：（1）A∩B（2）A∩（∁UB）（3）∁U（A∪B）22．求值：（1）
+1
，则f（2）﹣f（1）=；f
（2）log43•log92+log2
．
23．已知：函数f（x）=ax﹣bx+c，若f（x）的顶点坐标为（1，2），且f（0）=3，（1）求a，b，c的值
（2）若x∈[﹣1，2]，求函数f（x）值域．
24．已知函数
．
2
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
25．已知函数
（1）求函数的定义域；
，
3

（2）求
的值．
26．已知函数f（x）=x+kx+3﹣k．
（1）当x∈R且k=3时，求函数的最值及单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，求k的取值范围；（3）当x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的最小值．2

4


2015-2016学年北京市昌平三中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列关系式中表述正确的是（）A．0∈{（0，0）}
B．0∈∅C．0∈ND．{0}∈{x|x2=0}
【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】直接根据集合的定义以及空间的概念对各选项依次作出判断．【解答】解：根据集合定义，对各选项判断如下：
对于A选项：{（0，0）}为点集，所以实数0不在该集合中，不合题意；对于B选项：空集∅不含任何元素，所以0∉∅，不合题意；对于C选项：0为最小的自然数，所以0∈N，符合题意；
对于D选项：集合与集合之间是“包含（⊆）”关系，而不是“属于（∈）”关系，所以，不合题意；故答案为：C．
【点评】本题主要考查了集合的定义，空集的概念和集合之间关系的判断，属于基础题．
2．已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（）A．2
B．5
C．6
D．8
【考点】映射．【专题】计算题．
【分析】对应法则为y=2x+1，将x代入求解即可．【解答】解：∵x=2，∴y=2x+1则y=2×2+1=5，
那么集合A中元素2在B中的象是5故选：B．

5

【点评】本题属于基本知识，基本运算的考查，明确映射对应法则是解决本题的关键．
3．与函数y=x有相同的图象的函数是（）A．
B．
C．

D．

【考点】函数的图象；判断两个函数是否为同一函数．【专题】应用题．
【分析】要使得所求函数与y=x的图象相同，则应与y=x是相同的函数，即函数的定义域、值域、对应法则完全相同，即可【解答】解：A：y=B：C：D：故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
4．设全集为R，若集合M={x|x≥1，x∈R}，N={x|0≤x＜5，x∈R}，则N∩（∁RM）等于（）A．{x|x≥5}B．{x|0≤x＜1}C．{x|x＞5}D．{x|1≤x≤5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】常规题型．
【分析】先由全集求出M的补集cRM，借助于数轴求出N∩（cRM）．
【解答】解：∵全集为R，M={x|x≥1，x∈R}，N={x|0≤x＜5，x∈R}，∴cRM={x|x＜1}，∴N∩（cRM）=N={x|0≤x＜5，x∈R}∩{x|x＜1}={x|0≤x＜1}，故选B．
【点评】本题考查两个集合的补集与交集运算，利用补集、交集的定义进行运算．
5．已知函数y=
使函数值为5的x的值是（）
的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
与y=x的对应法则不一样，故B错误
=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
6

A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】分x≤0和x＞0两段解方程即可．x≤0时，x2
+1=5；x＞0时，﹣2x=5．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=x2
+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=﹣2；当x＞0时，f（x）=﹣2x=5，得x=﹣，舍去．故选A
【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大．
6．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．
B．y=xC．y=x2
D．

【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用基本初等函数的单调性质，判定各选项中的函数是否满足条件．
【解答】解：A中，y=﹣是区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上的增函数，∴不满足条件；B中，y=x是R上的增函数，∴不满足条件；
C中，y=x2是区间（﹣∞，0]上的减函数和（0，+∞）上的增函数，∴不满足条件；D中，y=是R上的减函数，∴在区间（0，+∞）上是减函数，满足条件；
故选：D．
【点评】本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题．
7．函数y=log2x+3的值域是（）A．[2，+∞）
B．（3，+∞）C．[3，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数的图象和性质，得到y=log2x+3∈（﹣∞，+∞），可得答案．【解答】解：∵y=log2x∈（﹣∞，+∞），∴y=log2x+3∈（﹣∞，+∞），
即函数y=log2x+3的值域是（﹣∞，+∞），

7

故选：D
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．8．函数
的定义域为（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2]C．（0，2]D．[1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则4﹣2≥0，即2≤4即x≤2，
∴函数的定义域为（﹣∞，2]，故选：B．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
9．已知函数f（x）=2，则f（1﹣x）的图象为（）
x
x
x
A．B．C．D．
【考点】指数函数的图像与性质．【专题】作图题．
【分析】f（1﹣x）的图象可由函数f（x）=2的图象作关于y轴的对称图象，再向右平移一个单位得到．也可取特值得到．
【解答】解：x=0时，f（1﹣x）=f（1）=2，排除A和D；再取x=1，得f（1﹣x）=f（0）=1，故选C
【点评】本题考查识图问题，可利用函数图象的变换或特值求解．

8
x

10．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】常规题型．
【分析】题目中条件：“f（x）为偶函数，”说明：“f（﹣x）=f（x）”，将不在（﹣∞，﹣1]上的数值转化成区间（﹣∞，﹣1]上，再结合f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，即可进行判断．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣）=f（），f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），又f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）即f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）故选D．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．11．若A={0，1，2，3}，B={x|x=3a，a∈A}则A∩B={0，3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．
【分析】将A中的元素代入x=3a中计算确定出B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|x=3a，a∈A}={0，3，6，9}，∴A∩B={0，3}．故答案为：{0，3}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
9

12．函数y=
【考点】函数的定义域及其求法．
的定义域是．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由题意得【解答】解：由题意得，
，
，从而确定函数的定义域．
解得，x＜且x≠，故答案为：
．
0
【点评】本题考查了函数的定义域的求法．分母不可为零，开平方不小于0，0没有意义．
13．（﹣5）﹣2=
；
=
．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（﹣5）﹣2=故答案为：
；
．
；
=﹣
=
．
【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．14．函数
【考点】函数的值．【专题】计算题．
【分析】先根据对应法则求出f（4），然后根据f（4）的大小关系判断对应法则，即可求解
【解答】解：∵4＞1∴f（4）=﹣4+3=﹣1

10
则f（f（4））=0．

∵﹣1≤1∴f（﹣1）=0故答案为：0
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题
15．若函数f（x）=
，则方程f（4x）=x的根是
．
【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．
【分析】由f（4x）=x建立方程，进行化简配方可得方程的根．【解答】解：∵f（4x）=x，∴
（x≠0）
化简得4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2=0解得
，
故答案为：．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断、方程根的问题，考查学生计算能力．属于基础问题，
16．已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．
【分析】把f（x）=x5+ax3+bx﹣8，转化为令g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx是一个奇函数，即可计算出．
【解答】解：由f（x）=x+ax+bx﹣8，可令g（x）=f（x）+8=x+ax+bx，可知：g（﹣x）=f（﹣x）+8=﹣g（x），∴f（﹣2）+8=﹣[f（2）+8]，∴f（2）=﹣16﹣10=﹣26．故答案为﹣26．
【点评】转化为有关奇函数的计算是解题的关键．
5
3
5
3
11


17．设指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，则a的取值范围是1＜a＜2．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．
【分析】欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围．
【解答】解：根据指数函数的性质得：0＜a﹣1＜1，∴1＜a＜2．故答案为1＜a＜2．
【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属容易题．
18．若函数f（2x+1）=6x+2，则函数f（x）=3x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】可将f（2x+1）=6x+2变成f（2x+1）=3（2x+1）﹣1，从而便可得到f（x）=3x﹣1．【解答】解：f（2x+1）=6x+2=3（2x+1）﹣1；∴f（x）=3x﹣1．故答案为：3x﹣1．
【点评】考查函数解析式的概念，已知f[g（x）]解析式求f（x）的解析式的方法，本题还可换元法求解．
19．一次函数过点A（1，3）、B（﹣3，5），则此函数解析式为【考点】一次函数的性质与图象．
【专题】计算题；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】设一次函数的解析式为：y=kx+b，将A，B两点代入求出k，b的值，可得函数的解析式．
【解答】解：设一次函数的解析式为：y=kx+b，∵函数图象过点A（1，3）、B（﹣3，5），
．
x
12

∴，
解得：，
故一次函数的解析式为：故答案为：

．
【点评】本题考查的知识点是一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，难度不大，属于基础题．
20．已知n∈N+，函数f（n）=﹣f（n）=﹣【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件分别代入1，2，n，n+1，然后进行化简求值即可．【解答】解：∵函数f（n）=∴f（2）﹣f（1）=f（n+1）﹣f（n）=故答案为：
；
+．=﹣
．﹣（
）=
．
，
．
，则f（2）﹣f（1）=﹣
；f（n+1）
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}．求：（1）A∩B（2）A∩（∁UB）（3）∁U（A∪B）
【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．

13

【分析】根据集合的交集、并集与补集的运算法则计算即可．
【解答】解：集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}=（﹣2，3]，B={x|x＜﹣1或x＞4}=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．
（1）A∩B=[﹣2，﹣1）；（2）CuB=[﹣1，4]，A∩CuB=[﹣1，3]；（3）A∪B={x|x≤3或x＞4}，∴CU（A∪B）=（3，4]．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．22．求值：（1）
+1
（2）log43•log92+log2．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）.

=
，
=19（2）
=
=
【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．
23．已知：函数f（x）=ax2
﹣bx+c，若f（x）的顶点坐标为（1，2），且f（0）=3，（1）求a，b，c的值
（2）若x∈[﹣1，2]，求函数f（x）值域．【考点】二次函数的性质．
14

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知可得，即，解得a，b，c的值
（2）分析x∈[﹣1，2]时函数的图象和性质，求出最值，进而可得函数的值域．【解答】解：（1）∵f（x）的顶点坐标为（1，2），且f（0）=3，
∴，即…
解得a=1，b=2，c=3…
（2）函数f（x）=x﹣2x+3的对称轴为x=1…，x∈[﹣1，2]时，fmin（x）=f（1）=2…fmax（x）=f（﹣1）=6…
∴x∈[﹣1，2]时，值域为[2，6]…
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
24．已知函数
．
2
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点对称；
（2）利用增函数的定义证明．【解答】解：（1）函数∵函数
为奇函数
的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
15

且所以函数
为奇函数．
．
（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．

=．
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础．
25．已知函数
（1）求函数的定义域；（2）求
的值．
，
【考点】函数的定义域及其求法；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，域
（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=


，解不等式可求函数的定义
【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题
26．已知函数f（x）=x2+kx+3﹣k．
（1）当x∈R且k=3时，求函数的最值及单调区间；

16

（2）若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，求k的取值范围；（3）当x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的最小值．【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）当k=3时，f（x）=x2+3x的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，进而得到函数的最值和单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，则﹣≤1，解得k的取值范围；
（3）分类讨论给定区间与对称轴的关系，进而分析函数的单调性，可得不同情况下函数的最小值．
【解答】解：（1）当k=3时，f（x）=x+3x的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，
故当x=﹣时，函数取最小值为
，…
，……
2
函数f（x）=x2+3x的单调递增区间：函数f（x）=x2+3x的单调递减区间：
2
（2）函数f（x）=x+kx+3﹣k的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，则﹣≤1，解得：k≥﹣2…
（3）函数f（x）=x2+kx+3﹣k的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，当﹣＞2，即k＜﹣4时，函数f（x）=x2+kx+3﹣k在[﹣2，2]上为减函数，当x=2时，函数f（x）的最小值为7+k；
当﹣2≤﹣≤2，即﹣4≤k≤4时，函数f（x）=x+kx+3﹣k在[﹣2，﹣]上为减函数，在[﹣，2]上为增函数，当x=﹣时，函数f（x）的最小值为

2
当﹣＜﹣2，即k＞4时，函数f（x）=x2+kx+3﹣k在[﹣2，2]上为增函数，当x=﹣2时，函数f（x）的最小值为7﹣3k；
17

综上所述函数f（x）的最小值为．…
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
18

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/07c36dfa9a6648d7c1c708a1284ac850ad0204e0.html

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