高考理科数学试题及答案520

高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（）

A． B． C． D．

2. 设集合，．若，则（）

A． B． C． D．

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部

分所得，则该几何体的体积为（）

A． B．

C． D．

5. 设，满足约束条件，则的最小值是（）

A． B． C． D．

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

8. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的

（）

A．2 B．3 C．4 D．5

9. 若双曲线（，）的一条渐

近线被圆所截得的弦长为2，则的

离心率为（）

A．2 B． C． D．

10. 若是函数的极值点，则的极小值为（）

A. B. C. D.1

11. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线 与所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

12. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．

14. 函数（）的最大值是．

15. 等差数列的前项和为，，，则．

16. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为 的中点，则．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角的对边分别为 ,已知．

(1)求

(2)若 , 面积为2,求

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

1.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

2.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

E是PD的中点.

（1）证明：直线 平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所

成锐角为 ，求二面角MABD的余弦值

20. （12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1） 求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）

已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

参考答案

1．D

2．C

【解析】1是方程的解，代入方程得

∴的解为或，∴

3．B

【解析】设顶层灯数为，，，解得．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】，，代入循环得，时停止循环，．

9．A

【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为

得，，．

10．C

【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）

可知，，

作中点，则可知为直角三角形．

，

中，

，

则，则中，

则中，

又异面线所成角为，则余弦值为．

11．A

【解析】，

则，

则，，

令，得或，

当或时，0' altImg='82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png' w='79' h='21' class='_4'>，

当时，，

则极小值为．

12．B

【解析】几何法：

如图，（为中点），

则，

要使最小，则，方向相反，即点在线段上，

则，

即求最大值，

又，

则，

则．

解析法：

建立如图坐标系，以中点为坐标原点，

∴，，．

设，

，，，

∴

则其最小值为，此时，．

13．

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中，

则

14．

【解析】

令且

则当时，取最大值1．

15．

【解析】设首项为，公差为．

则

求得，，则，

16．

【解析】则，焦点为，准线，

如图，为、中点，

故易知线段为梯形中位线，

∵，，

∴

又由定义，

且，

∴

17.

【解析】（1）依题得：．

∵，

∴，

∴，

∴，

（2）由⑴可知．

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件

“新养殖法的箱产量不低于”为事件

而

（2）

由计算可得的观测值为

∵

∴

∴有以上的把握产量的养殖方法有关．

（3），

，

，∴中位数为．

19．【解析】

（1）令中点为，连结，，．

∵，为，中点，∴为的中位线，∴．

又∵，∴．

又∵，∴，∴．

∴四边形为平行四边形，∴．

又∵，∴

（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，，

．

在底面上的投影为，∴．∵，

∴为等腰直角三角形．

∵为直角三角形，，∴．

设，，．∴．

．∴．

∴，

，．设平面的法向量．

，∴

，．设平面的法向量为，

．

∴．

∴二面角的余弦值为．

20．

【解析】⑴设，易知

又

∴，又在椭圆上．

∴，即．

⑵设点，，，

由已知：，

，

∴，

∴．

设直线：，

因为直线与垂直．

∴

故直线方程为，

令，得，

，

∴，

∵，

∴，

若，则，，，

直线方程为，直线方程为，

直线过点，为椭圆的左焦点．

21．

【解析】⑴ 因为，，所以．

令，则，，

当时，，单调递减，但，时，；

当时，令，得．

当时，，单调减；当时，0' altImg='b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png' w='82' h='21' class='_5'>，单调增．

若，则在上单调减，；

若，则在上单调增，；

若，则，．

综上，．

⑵，，．

令，则，．

令得，

当时，，单调递减；当时，0' altImg='a864d10ea82cb81f2251c1cdb0231f15.png' w='82' h='21' class='_5'>，单调递增．

所以，．

因为，，，，

所以在和上，即各有一个零点．

设在和上的零点分别为，因为在上单调减，

所以当时，0' altImg='82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png' w='79' h='21' class='_5'>，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．

因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．

所以，有唯一的极大值点．

由前面的证明可知，，则．

因为，所以，则

又，因为，所以．

因此，．

22．

【解析】⑴设

则．

解得，化为直角坐标系方程为

．

⑵连接，易知为正三角形．

为定值．

∴当高最大时，面积最大，

如图，过圆心作垂线，交于点

交圆于点，

此时最大

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：

当且仅当，即时取等号．

⑵∵

∴

∴

∴

∴

由均值不等式可得：

∴

∴

∴

∴ 当且仅当时等号成立．

高考模拟复习试卷试题模拟卷

一．基础题组

1.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文10）曲线在点(0,1)处的切线方程是．

【答案】y=x+1.

考点：函数的切线方程

2.（北京市西城区高三一模考试文13）设函数 则____；函数的极小值是____.

【答案】,

【解析】

试题分析：，当时，，由得，（负值舍去），因此当时，；当时，0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_6'>；从而函数在取极小值为2；当时，，因此当时，单调递减；当时，单调递增；从而函数在取极大值为4； 从而函数的极小值是2

考点：分段函数求值，函数极值

3.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文19）已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）证明：，，；

（Ⅲ）写出集合（b为常数且）中元素的个数（只需写出结论）．

【答案】（Ⅰ）由题，然后令，得到函数的单调区间；（Ⅱ）略；（Ⅲ）当0' altImg='23fa3d4947bdb627b0b25c2a5773ccc9.png' w='78' h='21' class='_6'>时，集合的元素个数为0；

当或时，集合的元素个数为1；

当时，集合的元素个数为2；

当时，集合的元素个数为3．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以当时，0,' altImg='bee9d1ccd2335aa37ab2e9189e49a9b9.png' w='85' h='21' class='_6'>．

因为当时，，，

所以当时，．

所以．

所以对，，都有．

……………………10分

（Ⅲ）当0' altImg='23fa3d4947bdb627b0b25c2a5773ccc9.png' w='78' h='21' class='_6'>时，集合的元素个数为0；

当或时，集合的元素个数为1；

当时，集合的元素个数为2；

当时，集合的元素个数为3．……………………13分

考点：利用导数研究函数的性质

4.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文20）已知函数，，（，为常数）．

（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；

（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

（Ⅲ）

所以.

因为存在极值，所以在上有根，

即方程在上有根，则有.

显然当时，无极值，不合题意；

所以方程必有两个不等正根．

记方程的两根为，则

,

解得，满足.

又，即，

故所求的取值范围是． …………………………14分

考点：1.导数的几何意义；2.单调区间.

5.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文20）已知函数.

（Ⅰ）若求函数在上的最大值；

（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

考点：函数的最值，函数的单调性的确定，恒成立问题.

二．能力题组

1. （北京市昌平区高三二模文20）已知函数.

( I ) 若,求函数的单调区间;

( II ) 若在区间上是增函数,求实数的取值范围;

(III) 已知函数，当时,函数图象上的点均在不等式所表示的平面区域内,求实数的取值范围.

【答案】（I）函数的单调递增区间是，无单调递减区间；（II）实数的取值范围是；（III）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（I）将代入函数解析式，求导即可得其单调区间.（II）求导得.在区间上是增函数，则在区分情况讨论.

试题解析：（I）当时，定义域.

因为，所以.

所以函数的单调递增区间是,无单调递减区间. ……………3分

（II）.

因为在区间上是增函数,

所以在区间上恒成立，即在上恒成立.

（i）当满足题意

（ii）令则对称轴.

① 当时，只需即解得

② 当时，只需即解得

综上，实数的取值范围是……………7分

（III）依题意，在上恒成立.

令则在上成立即可.

3.当时，

令0,' altImg='f506487116c4324c54350b9343434cfb.png' w='84' h='22' class='_7'>则递增区间是.所以

因为，所以则，

所以不满足，则不成立,

综上，实数的取值范围是. ……………13分

考点：导数及其应用.

2.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文20）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：在上为增函数；

（Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．

【答案】（1）.（2）证明如下；（3）；

【解析】

试题分析：（1）由题可知，当时，函数，求曲线在点处的切线方程，试题解析：函数定义域为，.

（Ⅰ）当时，，.所以.

所以曲线在点处的切线方程是，

即. ………3分

（Ⅱ）当时，.

设，则.

令得，或，注意到，所以.

令得，注意到，得.

所以函数在上是减函数，在上是增函数.

所以函数在时取得最小值，且.

所以在上恒大于零.

（2）当时，当时，成立，函数0' altImg='fa766ee48ffb29d77fddad988c118cff.png' w='78' h='21' class='_8'>在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，

故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；

（3）当时，.

当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.

综上所述.………13分

考点： 函数导函数的求法 导数的几何意义 分类讨论思想

3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）文20）已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果函数在上单调递减，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，讨论函数零点的个数．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．

试题解析：（Ⅰ）当时，，，

∴，．

∴切线方程为． ……………………3分

（Ⅱ）∵在上单调递减，

等价于在恒成立，

变形得恒成立，

而（当且仅当，即时，等号成立）．

∴． ……………………8分

（Ⅲ）．

令，得．

∴，即，∴在减区间内有唯一的零点．

∴时在定义域内有两个零点．

综上所述：当时，在定义域内无零点；

当时，在定义域内有唯一的零点；

当时，在定义域内有两个零点． ……………………13分

考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数求函数的单调性、利用导数求曲线的切线、恒成立问题、零点问题.

4.（北京市西城区高三一模考试文20）设，函数，函数，.

（Ⅰ）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；

（Ⅱ）若当时，对任意的，都有0' altImg='bdb1b826acd593af45089831b06e7f4b.png' w='78' h='21' class='_8'>成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值. (只需写出结论)

【答案】（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：，再求导函数零点，列表当变化时，与的变化如下表所示：

所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减.

所以函数在区间上不是单调函数. …………………4分

（Ⅱ）解：当时，函数，，.

由题意，若对任意的， 都有恒成立，

只需当时，. …………………5分

因为 .

令，解得.

当变化时，与的变化如下表所示：

所以. …………………7分

又因为.

令 ，解得.

当变化时，与的变化如下表所示：

所以. …………………9分

综上所述，得. …………………10分

（Ⅲ）解：满足条件的的取值集合为. …………………13分

考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值

5.（北京市房山区高三第一次模拟文19）已知函数，是常数，R．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线的方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（III）证明:函数的图象在直线的下方．

【答案】（1）；（2）当时，在为增函数，当时，在为增函数，当时，在上是增数，在是减函数；（3）证明如下；

（2）当时，令得，或

①当时，在为增函数

②当时，在上是增数，在是减函数 …………………9分

（Ⅲ）令则，令，解得，

，所以且，，，

即函数的图像在直线的下方．……………13分

考点： 导数的几何意义 导数的应用

6.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文22）已知函数．

(Ⅰ)当时，求函数的极值；

(Ⅱ)时，讨论的单调性；

(Ⅲ)若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．

【答案】(Ⅰ) 函数的极小值为，无极大值.

(Ⅱ) 当时，函数的在定义域单调递增；

当时，在区间，，单调递减，在区间，单调递增；

当时，在区间，，单调递减，在区间，单调递增.

(Ⅲ)

得；（舍去）.……2分

当变化时，的取值情况如下：

所以，函数的极小值为，无极大值.……4分

(Ⅱ) ，

所以，当时，，

……10分

问题等价于：

对任意的，恒有成立，……11分

即， ……12分

因为，，

所以，实数的取值范围是．……13分

考点：函数的极值，函数的单调区间，恒成立问题的转化，导数的应用.

7.（北京市延庆县高三3月模拟文20）已知函数.

（Ⅰ）求过点，曲线的切线方程；

（Ⅱ）设函数，求证：函数有且只有一个极值点；

（Ⅲ）若恒成立，求0' altImg='23fa3d4947bdb627b0b25c2a5773ccc9.png' w='78' h='21' class='_10'>的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出导数，设切点为（m，n），求得切线的斜率和切线方程，代入原点，解得m=e，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出g（x）的导数，运用零点存在定理，由在x＞0上递减，（Ⅱ）

当时，是减函数，也是减函数，

∴在上是减函数，

当时，，

当时，0' altImg='e18f4025c8da9d93413997918db3f47e.png' w='145' h='29' class='_10'>，

∴在上有且只有一个变号零点，

∴在定义域上有且只有一个极值点.

（Ⅲ）令，则恒成立，，

①若，则恒成立，∴在上是增函数，

∵当时，，∴题设不成立.

②若，则，

令则；令0,' altImg='bee9d1ccd2335aa37ab2e9189e49a9b9.png' w='85' h='21' class='_10'>则；

令则.

考点：利用导数研究函数的性质

三．拔高题组

1.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文20）已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；. （Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）0)' altImg='b78f1e0c087b44971db1572a6c234c10.png' w='242' h='43' class='_10'>，对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是.当时，令，得. 的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，

所以 至少有两个不等的正实根，令得，记其两个实根分别为.

则 解得.再说明当时，曲线在点处的切线分别为，是两条不同的直线即可；（Ⅲ）只需分类讨论.

令得，记其两个实根分别为.

则 解得. ………………7分

当时，曲线在点处的切线分别为，.

令.

由得（不妨设），且当时，0' altImg='d5a47fac65c14d5e1193bd2dbac26aff.png' w='78' h='21' class='_10'>，即在上是单调函数.

所以 .

所以 ，是曲线的两条不同的切线.

所以 实数的取值范围为. ………………9分

（Ⅲ）当时，函数是内的减函数.

（ⅲ）若，即时，有.

因为 ，函数在内是增函数，

所以 当时，.

又因为 函数的定义域为，

所以 .

所以 符合题意.

综上所述，实数的取值范围为. ……………… 14分

考点：导数与函数的综合

2.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）文20）已知函数.

（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，求证：.

【答案】（（Ⅰ）. （Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

【解析】

相乘得.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，0)' altImg='40c454a28059071cb14c8e67597bdbb6.png' w='234' h='44' class='_11'>，……………2分

依题意在时恒成立，则在时恒成立，

当时，取最小值，. ………… 4分

（Ⅱ）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，

设，

，时，，时，0' altImg='bdb1b826acd593af45089831b06e7f4b.png' w='78' h='21' class='_11'>

，………… 6分

由，得

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式；2.数列的通项；3.不等式恒成立问题.

3.（北京市西城区高三二模文20）已知函数，其中．

（1）当 时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）当时，证明：存在实数，使得对于任意的实数，都有成立；

（3）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论).

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）当与时，均不存在满足题意的实数.

【解析】

试题分析：（1）当时，函数，求导，根据导数切线方程的斜率与经过的一点，从而求解；（2）求导，判断函数的单调性，并求其极值点与极值，根据其取值情况，即可得证；（3）当时，方程等价于，因此只需判断函数（2）当时，的定义域为，求导，得，令，解得，，当变化时，与的变化情况如下表：

∴函数在，上单调递增，在上单调递减，又∵，当时，，当时，，∴当时，，当时，，记，其中为两数，中较大的数，综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式恒成立；

（3）当时，等价于，

令，则，∴当时，考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.分类讨论的数学思想.

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