word/media/image1.gif

word/media/image2.gif

word/media/image3.gif

正余弦函数的图像

正余弦函数的值域和最值

正余弦函数的其他性质

word/media/image4.gif

一、正余弦函数的图像

（一）知识精讲

1、正弦线：设任意角word/media/image5_1.png的终边与单位圆相交于点word/media/image6_1.png，过word/media/image7_1.png作word/media/image8_1.png轴的垂线，垂足为word/media/image9_1.png，则有9af130ab7c499d348c2248cfaf04ac79.png，向线段word/media/image11_1.png叫做角word/media/image5_1.png的正弦线.

2、用单位圆中的正弦线作正弦函数word/media/image12_1.png，word/media/image13_1.png的图象（几何法）：

word/media/image14_1.png

3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数word/media/image12_1.png，word/media/image13_1.png的图象中，五个关键点是：

word/media/image15_1.png word/media/image16_1.png word/media/image17_1.png word/media/image18_1.png word/media/image19_1.png

然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。

4、正弦函数word/media/image20_1.png的图像：

把word/media/image12_1.png，word/media/image13_1.png的图象，沿着word/media/image21_1.png轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为word/media/image22_1.png，就得到word/media/image20_1.png的图像，此曲线叫做正弦曲线。

5、余弦函数word/media/image24_1.png的图像：

（二）典型例题

【例1】画出下列函数在word/media/image26_1.png上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论

（1）word/media/image27_1.png （2）word/media/image28_1.png （3）71f506cfe77f98f67c3242c092033464.png

【难度】★

【答案】

【例2】用五点作图法作函数word/media/image30_1.png在word/media/image31_1.png上的图象

【难度】★

【答案】

word/media/image3.gif【例3】已知函数5248aba67ec9ee5d52f7cd6827fe4689.png的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（ ）

word/media/image33_1.pngb201482e4bbc997bc5df414de50da6c1.png word/media/image35_1.pngb29986271063a113ca540fd0e2c1c3ef.png word/media/image37_1.pngf5388a573cfdaac9ed08b8c82d7d0fd7.png word/media/image39_1.pngafb659a88ff85a3ea1eda9af43682777.png

【难度】★

【答案】

【例4】正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____,

递增区间是_____________________，递减区间是______________________．

对称轴是______________,对称中心是_____________；

【难度】★

【答案】

【例5】定义函数17107597e866d1a1fd5c7ef5dbcf8273.png，根据函数的图像与性质填空：

(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值；

(3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png.

【难度】★★

【答案】

【例6】求函数y＝－cosx的单调区间

【难度】★★

【答案】

【例7】求下列函数的定义域与值域

（1）9ea87fac8253133a329868934903df90.png （2）90cd1c049393f6db868a11716b5aa378.png

【难度】★★

【答案】

【巩固训练】

1、已知函数aa66f8c5a3c9638fe09903e09f69c918.png,用“五点法”作出它在一个周期内的图像;

【难度】★

【答案】

2、已知函数71f506cfe77f98f67c3242c092033464.png,用五点法作出函数的图像;

【难度】★

【答案】

3、函数word/media/image47_1.png的部分图像是( )

word/media/image48_1.png word/media/image49_1.png word/media/image50_1.png word/media/image51_1.png

【难度】★

【答案】

4、余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____,

递增区间是_____________________，递减区间是______________________．

对称轴是__________________,对称中心是____________；

【难度】★

【答案】

5、判断函数1658587ceae45589b42c96c5c8115970.png的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.

【难度】★★

【答案】

6、设69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png和6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png分别表示函数46eb5b8bc880dd433b086bc104aa9194.png的最大值和最小值，则4d407da4ba3e54a1fe7cd8b2475e6811.png等于（ ）

A．6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png B．－6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png C．－fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png D．－2

【难度】★★

【答案】

二、正余弦函数的值域与最值

（一）知识精讲

1、正、余弦函数定义域：word/media/image12_1.png 和word/media/image59_1.png的定义域都为R。

2、正、余弦函数定义域：word/media/image12_1.png 和word/media/image59_1.png的值域都为word/media/image60_1.png。

对于函数word/media/image12_1.png，当且仅当word/media/image61_1.pngword/media/image62_1.png取最大值word/media/image63_1.png；

当且仅当word/media/image64_1.pngword/media/image62_1.png取最小值word/media/image65_1.png。

对于函数word/media/image66_1.png，当且仅当word/media/image67_1.pngword/media/image62_1.png取最大值word/media/image63_1.png；

当且仅当word/media/image68_1.pngword/media/image62_1.png取最小值word/media/image65_1.png。

（二）典型例题

【例8】要使下列各式有意义应满足什么条件？

（1） 525ca4fb6064796793bcb3cf3feee89f.png （2） 94b3ec0d5220679746c7f150dd78fd31.png

【难度】★

【答案】

【例9】求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x值

（1） y=sinx+cosx （2）y=asinx+b

【难度】★★

【答案】

【例10】求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.

（1） y=sin(3x+cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png)-1 (2)y=sin2x-4sinx+5 (3) y=ac0c1c1f9b4077152f99662223c28a46.png

【难度】★★

【答案】

【例11】求下列函数的值域

（1）word/media/image73_1.png （2）word/media/image74_1.png（3）0ea1bad3a246b93c74c4b3b909e899dc.png

【难度】★★

【答案】

【例12】已知函数df9ae379a2e08d4fa790135f9a4b600e.png，90878fab8130fc481f9903b2e3277b62.png，求ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最大值和最小值．

【难度】★★

【答案】

【巩固训练】

7、求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么word/media/image79_1.png

(1)y＝cosx＋1，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R。

【难度】★★

【答案】

8、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。

【难度】★★

【答案】

9、函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最大值为 .

【难度】★

word/media/image81.gif【答案】

10、函数b78e7df3e2524eead7d5a950d317f2e9.png的值域为 .

【难度】★★

【答案】

11、函数25a0d1371b6af1ab05d342bf8860a51d.png的最大值为_________．

【难度】★★

【答案】

12、已知word/media/image84_1.png求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最大值及此时word/media/image86_1.png的集合．

【难度】★★

【答案】

三、正余弦函数的其他性质

（一）知识精讲

正余弦函数的性质与图像

word/media/image87_1.png

word/media/image88_1.png

周期函数：一般地，对于函数word/media/image109_1.png，如果存在一个非零常数word/media/image110_1.png，使得当word/media/image111_1.png取定义域内的每一个值时，都有word/media/image112_1.png，那么函数word/media/image109_1.png就叫做周期函数，非零常数word/media/image110_1.png叫做这个函数的周期word/media/image79_1.png

由此可知word/media/image113_1.png都是这两个函数的周期word/media/image79_1.png

对于一个周期函数word/media/image109_1.png，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做word/media/image109_1.png的最小正周期word/media/image79_1.png

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，word/media/image114_1.png都是它的周期，最小正周期是word/media/image115_1.pngword/media/image79_1.png

注意：

1.周期函数定义域word/media/image116_1.png，则必有word/media/image117_1.png, 且若word/media/image118_1.png，则定义域无上界；word/media/image119_1.png则定义域无下界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则word/media/image109_1.png就不为周期函数;

3.word/media/image120_1.png往往是多值的（如word/media/image121_1.png中word/media/image122_1.png都是周期）周期word/media/image120_1.png中最小的正数叫做word/media/image109_1.png的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

（二）典型例题

【例13】利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的集合：

9355456fa502e2429ea4465b60edb891.png caacdf77a7fc19613d219230b45a2fd4.png

【难度】★★

【答案】

【例14】求下列函数的定义域

（1）word/media/image127_1.png （2）964dbadf7c12c2e415d45c9c89d7aa24.png（3）b7b8dabdb6cfadaba842c233e96cb8e6.png

【难度】★★

【答案】

【例15】求下列函数的周期

（1）ac0aea1dfae1e2e92331f2e1fae01368.png （2）5fd1216efe6c2819c368e7273d939d1b.png （3）y=Asin(ωx+6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png)(A≠0，ω>0)

（4）y=|sinx|+|cosx|

【难度】★★

【答案】

【例16】判断下列函数的奇偶性

（1）264b46a6d563094673360b68ea373723.png （2）e381784d62b83f6894348f68286a81a6.png

【难度】★

【答案】

【例17】求列函数的单调增区间

（1）ed7ef6761477e79d00d2d5e6a7c40650.png （2）8e2688eceff4a2ae9dc84f9d350290ff.png （3）56f79b885d54b724a92303726a8e245f.png （4） d49655c68582d4fd3ddcc7131cc9792e.png.

【难度】★★

【答案】

【例18】（1）函数00591586655deb5f00ca90ae311c1df5.png的对称轴方程是

（2）若函数ced4748174f80ed37262d1fb65d7251b.png的图像关于306009b51223373be417349eb6f0ca1f.png对称，则5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png

【难度】★

【答案】

【例19】求函数bcfd117f2891a5b544e1bd6ad7375064.png的单调递增区间.

【难度】★★

【答案】

【例20】已知函数3c245fb3da59d03308200913bf6ff6b9.png．

（1）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小正周期，最大值及取最大值时相应的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png值；

（2）如果40273f494060feada467dffe9d4bbda6.png，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【例21】设7afeeece9e1df9f5c69db4abe330a6cc.png

（1）求当9d8980d95018cffda6b0d77684ba1523.png时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．

（2）求最小正整数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png和最小值6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png．

【难度】★★

【答案】

【例22】（1）0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png取何值时，方程b18a9b47f7830b20ffd731979f080f0d.png无解？有一解？有两解？有三解？

（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数0f6a798a159ba2ff7326a6a55778ecfb.png的性质．

【难度】★★

【答案】

【巩固训练】

13、在下列四个函数中，周期为word/media/image157_1.png的偶函数为 （　 　）

word/media/image158_1.png.837118eb1023c2a47074b03eb49dfd37.png word/media/image160_1.png.7e3c504f53e4c7c18384975600e04bcd.png

word/media/image162_1.png.96c7aeac11642a6af0fc0725d17bb6f8.png word/media/image164_1.png.86b4b66a4de786328cb0a5d7a120f95f.png

【难度】★

【答案】

14、（1）函数word/media/image166_1.png的图像关于word/media/image168_1.png轴对称，则word/media/image169_1.png= _______________

（2）函数f813b8ccc827e339bf96e9a8f8f2847a.png为奇函数，则2dc08b5e737024bb175e0512213c9919.png

【难度】★★

【答案】

15、函数e77205ddc5f0edbaa11f9a0bf2216abc.png图像的一条离直线285a5d1baf1b7b84552a0ab4104041b8.png最近的对称轴方程是 ．

【难度】★★

【答案】

16、函数5eb7d1018402df5c23a9c14041f74a32.png的单调递增区间__________

【难度】★★

【答案】

17、已知函数ef286bc6e66ea5c8b9d031c03c380771.png．

求：（I）函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小正周期；（II）函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的单调增区间．

【难度】★★

【答案】

18、已知函数2a663e63a91166382ba4cf7e17cbc6c6.png（1）求ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最小正周期及ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png取得最大值时9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的集合；（2）求证：函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的图像关于直线d2306c7fa9f3dc3e54b259f4a5eaaf04.png对称．

【难度】★★

【答案】

19、已知函数146e30d94073423a3860f20916c38064.png，b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png．

（1）请指出函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的奇偶性，并给予证明；

（2）当481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png时，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的取值范围．

【难度】★★

【答案】

word/media/image3.gif

熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图形特点：

word/media/image3.gif

1、已知函数a905e70c8bb4d831db13877eaddccc71.png，ea07f419f0bb38cd5639126242d758db.png

⑴讨论函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的奇偶性 ⑵求当50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png取最大值时，自变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值集合.

【难度】★★

【答案】

2、、已知0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是实数，则函数35a1f41cf57dc1f78d11fa4df7c601a4.png的图像不可能是 （ ）

【难度】★★

【答案】

3、函数word/media/image217_1.png的最大值为 .

【难度】★★

【答案】

【解析】

4、求函数word/media/image218_1.png的值域．

【难度】★★

【答案】

5、求函数a9b24373ffadddfb7e4dec64e66480ac.png的最小值．

【难度】★★

【答案】

6、函数5d8e0df904b44e387eeb69e8364eada8.png1b31fa23dd1362169bc6e54ba3dceba9.png的单调递增区间为 ．

【难度】★★

【答案】

7、函数460c067176b74c5b3f1dfd258b239c7f.png的最小正周期是__________.

【难度】★★

【答案】

8、已知函数2550481098e51fa61a06b3dc1be430c0.png．

（Ⅰ）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小正周期；

（Ⅱ）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间4be1c5e1e6844648383887cad733e4ff.png上的最小值和最大值．

【难度】★★

【答案】

9、已知函数a3ac85479cfbd9662d7f27c3bc0fc0a7.png，955129c374791940eb318df723b1a4ae.png．

（1）设4354047bfb538af878fb79fb1fd72899.png是函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png图象的一条对称轴，求6c464043557a754aaef082d9c41e822e.png的值．（2）求函数952b14c79876fd6d92cc3eb52eb536f5.png的单调递增区间．

【难度】★★

【答案】

10、若函数f(x)=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，且a>0，求a，b的值

【难度】★★

【答案】

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a3b65af867ce0508763231126edb6f1afe00714f.html