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2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章4.6解三角形

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§4-6解三角形
最新考纲
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
考情考向分析
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.
i.正弦定理、余弦定理
在AABC中，若角A,B,。所对的边分别是小〃，c,R为/MBC外接圆半径，则
定理正弦定理余弦定理


(1
sinAsinB
/?]=d+/-2c“cosB:
_2/?
-
(2a2=〃?+=-2〃ccosA：
内容
-
sinC
。2=42+按―2^加05C
(3a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC：
lr+(r—cr
(7cosA-2hc；
ahc
变形⑷sinA=乐，sin"乐，sin。=诋
c2-¥a2—b2
cos8-2ac:ar^br—c2
C0S
C-2ab
(5a:h:c=sin八：sinB:sinC；
(6asinB=bsinA,加inC=csinB,

“sinC=cs\nA
2•三角形常用面积公式
(1S=2〃・总(儿表示边a上的高.(2S=2^sinC=2«csinB=\bcsinA.(3S=；(J+b+c(r为三角形内切圆半径.3.测量中的有关几个术语
术语名称
术语意义

图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平
仰角与俯角
而内所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角



从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标
方位角
方向线之间的夹角叫做方位角.方位角6的范围是0°W6v360。
例：（1）北偏东a：
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a
（2）南偏西a：

坡而与水平而所成的锐二面角叫坡角，e为
坡角与坡比坡角：坡而的垂直高度与水平长度之比叫坡
比（坡度），即i=；=tane

概念方法微思考
1.若角a,1在第一象限,«>£能否推出sina>sin£?在八48。中，A>B是否可推出sinA>sinB?
提示第一象限的角a>B不能推出sina>sin£,在△ABC中，由A>B可推出sinA>sinB.2.在△ABC中，已知a,b和锐角A,讨论a,b,sinA满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.提示



图形
关系式aAsinAa=bsinA或。沁

解的个数

无解两解一解
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“
或“X”
(1三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X(2当〃+c?—时，ZVIBC为锐角三角形.(X(3在△ABC中，-7=--—―—―(J
v
sinAsinA4-sinB—sinC
，
(4在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的而积.(J题组二教材改编
2.在△A3C中，acosA=bcos8,则这个三角形的形状为.答案等腰三角形或直角三角形
解析由正弦定理，得sinAcosA=sin8cosB,即sin2A=sin2B,所以24=28或24二兀-28,即4二B或A十8二百，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
3.在△ABC中，A=60。，AC=4,3c=25，则aABC的面积为答案2小
解析‘si烹。=sin8-f
sinB=1
»=,
/.AB=2,S,UBC,二1X2X2小=25.

4.已知△ABC的三边之比为3：5：7,则其最大的内角为.答案y
解析由三边之比为“：〃：C=3：5：7,可设u=3k,h=5k,c=7k(k>0,C为最大内角,
a2+12-c2
由余弦定理得cosC=--瓦一(3k2+(5k2-(74]=-2X3kX5k-=~2l
又OvCv兀，所以C=y.
题组三易错自纠
5.在△ABC中，己知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(
A.有一解B.有两解
C.无解D.有解但解的个数不确定
答案C
bc
解析由正弦定理得而不二而7，sinDsinc
40X坐
~20~二小,L
，角8不存在，即满足条件的三角形不存在.
6.设△A8C的内角A,B,C所对边的长分别为小b,。若b+c=2a,3sinA=5sinB,则。套案—
解析由3sinA=5sinB及正弦定理，得3a=5b.57
又因为h+c=2a,所以4二手，c二-jh,展十3-/(耕十尻-GA1
所以cosC二一57A—=-----s-------二■9•
2X^hXb因为Ce(o,兀，所以。二
■
例1(1(2017.全国HIZ\A3C的内角A,c=3,则A=.答案75。
解析如图，由正弦定理，/日3#•.A/2彳嗝而二sinB'-sinB-2.
又c>b,，8=45。，
=180°-60°-45°=75°.
利用正弦、余弦定理解三角形
B,C的对边分别为a,b,c已知C=60。，b=g
(2汝口图所示，在答案解析设=“
zM3C中，。是边AC上的点，^AB=AD.2AB=y[3BD.BC=2BD,则sinC的值为.
=AD2A8=小8。,BC=2BD,：.AD=a,BD=条,BC二张在AABD



：.sin/ADB二幸,，sin/BDC=坐在△8OC中,黑;二
cosZADB=
BC
sinZBDC1
BD-sinZBDC
BC
思维升华（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
⑵正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
c六
跟踪训练1（1）（2018・全国II）在△ABC中，cosBC=\,AC=5,则月8等于（
A.4小
）
B.A/30
D.2市
C.y/29
答案A
解析•「COS5二号，
cosC=2cos专-1=2X（坐＞-1=-1.
在△ABC中,由余弦定理，得AB2=AG+BC-2A遇BCcosC=5+I-2X5X1xf-|）=32,
二4二4•.故选A.
（2）设△A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若『小,sinB=g,。=也则b=答案1
解析因为sill8二;且86（0,TT）,所以8二煮或B二普,
2
2
2
又。二方，所以8二卷,A=n-B-C=y,又，，二小，由正弦定理久%二焉，即当二号，解
得匕二1.

正弦定理、余弦定理的应用
命题点1判断三角形的形状
例2(1在AABC中，”，〃，。分别为角A,B,。所对的边，若“=2反osC,则此三角形一定是(
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形答案C
a2+b2-c2
解析方法一由余弦定理可得“二2》一不一，
因此cr-a1
+b2
-c2
,得及二c2
,于是b=c,从而△A5C为等腰三角形.
方法二由正弦定理可得sinA=2sinBcosC,
因此sin(B+C=2sin8cosC,即sinBcosC+cosBsinC=2sin8cosC,

于是sin(B-C=0,因此8-C=0,即8二C,故zMBC为等腰三角形.
(2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为小b,c,若从osC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(

A.锐角三角形
C.钝角三角形答案B
B.直角三角形D.不确定
解析由正弦定理得sinBcosC十sinCeosB=sin，，/.sin(B+C=sinAz
即sin(7t-A=sin2ArsinA=sin2A.
VAG(0,兀，，sinA>0,/.sinA=1,即A二§,，AABC为直角三角形.
2
本例(1中，若将条件变为“二〃cosC,判断
△ABC的形状.
解•:a=bcosC■:.sinA=sinBcosCf/.sin(B+C=sinBcosC,cosBsinC=0,VsinC>0,/.cosB=0.
VSG(0,7i,二3，ZXABC为直角三角形.

本例⑵中，若将条件变为屏十〃一/=ab,且
2cosAsinB=sinC,判断ZiABC的形状.
a2+b2-c21
22
解Wr+b-c=ahrcosC=----------=,
又0rC=,
又由2cosAsinB=sinC得sin(B-A=0,=B,故zMBC为等边三角形.
命题点2三角形面积的计算
例3(2020•四川联合诊断考试A4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+CcosB=-\/3cosfi—且8为锐角.⑴求以
(2若〃=1,求△ABC而积的最大值.
解⑴因为sin(A+CcosB=小cos咽-乎，所以2sin(A+CcosB=，5(2cos汕-1f又A+8+C二兀z
所以sin2B=小cos2Br即tan2B=yj3t
因为B为锐角，所以2BG(0,冗，

2

所以28专所以B*JyJ
⑵由（1）知8二，由余弦定理得
cosB=a2+c2-b2,即a2+c2
-yl3ac-1=0,
因为。2十^2224c,
所以acW2+小|当且仅当“二0二
#;求时取等号|,
所以S3ABe=1]“csinBW2—十—（当且仅当/a=c=J6+J2\---时取等号）.故ZM8C面积的最大值是1―,2+小
命题点3求解平面图形问题
例4（2020•成都外国语学校检测）如图，△ABC的内角A,B,。的对边分别为小b,c,2+。2）=%尸+水机.，b=木,E为线段A3上一点，BE=BC,/XACE的而积为华.求：
⑴AE的长:
(2sinZACE
sinZ的值.
BCE
解⑴由2(b2
+c2
=2n2
+乖be,可知cosA=乎
VAG(0,兀，，sinA二
yio4・
（b2


由SA4CE=gxAEX加X邛^二,
.,.AE=1.
(2：./BCE=NBEC,
：.sinNBCE=sinNBEC=sinZAEC,.sinZACEsinZACEAE1__"sinZBCE~sinZAEC~AC~61
思维升华(1三角形面积计算问题要适当选用公式,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.(2判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A+8+C=兀这个结论.⑶求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示.②困早在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
D(1-c
跟踪训练2(1在△ABC中，8$2爹=为一("，b，c分别为角A,B,C的对边，则△ABC的形状为(A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案B
g1+cosB,B2
cos^=--5---，cos'=
A+C
解析,
a2+c2-b2
/.(I+cosBc-a+c,a=cosBe-------,2ii2=u2+c2-Z>2,a2+b2=c2,/\ABC为直角三角形.
//-+E-c?
(2(2018.全国IHZ\A8C的内角A,B,C的对边分别为小b,c.若△ABC的面积为一一,


则C等于（）A”之琮D.1答案c
…12
fi十b■022,辰osC•o-]a〃sinC-解析
:.sinC=cosC,即tanC=1.
yvce（o,冗）,AC=^.
（3）（2020,贵阳一中适应性考试）如图，在平面四边形ABC。中，①若NABC=30。，CD=0D,求8。的长：②若AC=2,NAO8=30。，求sin/CAO的值.角*①在RtZ\A8C中，AC=ABtanZABC=2.
CD
在RtAACD中，tanNC4£）=赤二小，所以NCA。=60。，所以AO=ACcosNCAD=1.在中，
由余弦定理彳导BO?二A¥十A。？-2XABXADXcosZBAD=\9,ADA.CD.ABA.AC,AB=2所以8。二四.
小.

②设NG4。=e,则NA8。=60。-6,A。=2cos0,在zMBD中，由正弦定理得

2cos6
二sinsin(60°-
30°
化简得cos6-gsin3,
4代入sin^+cos^=1,彳导sin^=",
又8为锐角，所以sin”¥，即sinNCA。=邛2
2
2
2
一、测量距离问题
例1(1如图，A,8两点在河的同侧，且A,8两点均不可到达，要测出A,B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C.D,若测得。。=乎km,NAQB=NCQB=30。，ZACD=60°,NAC8=45。，则A,8两点间的距离为km.

套案逅口京4
解析,:ZADC=ZADB十/CDB=60。，ZACD二60。，：.ZDAC=60,：.AC=DC=^-km.
在△BCD中，NDBC=1800-/CDB-ZACD-ZACB=45°,
半
1C
由正弦定理，得8。二—,-sinZBDC=~so-sin30。二堂(km.
olllZ—LJDC>111>■
在ZXABC中,由余弦定理，得A"=AC+BO?-24CBCcos45°=^+1-2X^X^X^=1.
2
Q
；.AB二坐km.
••.A,8两点间的距离为乎km.
(2如图，为了测量两座山峰上P，。两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300小m且和P，
Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得N用8=90。，^PAQ=NP84=
NPBQ=60。，贝ljP,。两点间的距离为m.

答案900
解析由已知，得N0A8=ZPAB-ZPAQ=30。.
又/PBA=/PBQ=60。.：.ZAQB=30Qr：.AB=BQ.
又P8为公共边,，△用B/ZXPQB,，P。二%.在RtAPAB中，AP=AB-tan600=900(m,故尸。二900m,：.P,Q两点间的距离为900m.二、测量高度问题
例2如图所示，为测量一树的高度，在地而上选取A,8两点，从A,8角为30。,45。，且A,3两点间的距离为60m,则树的高度为m.
两点分别测得树尖的仰
答案30+30小
解析在△如8中，ZPAB=30。，/APB=15°,AB=60m,sin150=sin(45°-30°=sin450cos300-cos45°sin300
工田/日A8由正弦XE理行而而-sin15°，5X6O
所以PB==30(乖+娘A/O-72
-4-
所以树的高度为PBsin45°=30(怖+业又坐二(30+3(>V3(m.三、测量角度问题
例3已知岛A南偏西38。方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛月处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22。方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
(参考数据：sin38。*誓，sin22。生哈
解如图，设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为A-海里/小时,结合题意知BC=0.5x,AC=5,ZBAC=180°-38°-22。=120°.
由余弦定理可得BC=AB+AC-TABACcos1200,所以BC=49,所以BC=0.5x=7,解得14.
又由正弦定理得
2222
SX也
.八”AC-sinZBAC,255sinZABC=----前----二一—=节~,所以NA8C=38。，

又NBA。=38。，所以8C〃AQ,
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
素养提升数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.

1.在△A3C中，若BC=3,C=120°,则AC等于（）
A.1B.2C,3D.4答案A
解析设在八48。中，角A,8,C的对边分别为“，〃，c,则“二3,c二行，余弦定理得13二9+廿十3b,解得。=1或。=-4（舍去），即AC=1.2.（2019•沧州七校联考）己知△ABC,a=Sb=g,A=30。，则c等于（A.2#B.#C.2小或小D.均不正确
答案c
阱恤.sinA-sinB,
120°,由）
C=
八bsinAy[\5,-J5••sinB==f=--sin30°=专.
h>a,•••8二60。或120°.
若8二60。，则C=90。，：.c=y]a+b=2yl5.若3=120。,贝（JC=30。，，〃二c二十.
3.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sin/l,bc=2f则AAB。的面积为（）
A.zB.7C.1D.2乙•答案A
解析由cos2A=sinA,得1-2sinA=sinA,解得sinA=；(负值舍去，由be=2，可得S.SBC
=荻csinA=^X2X^=y.
4.中,角A,B,4的对边分别为小b,0已知6="〃2=2按（1一$而4）,则A等于（
c兀c兀c兀
BCD346
答案
解析由余弦定理得a=b+c-2bccosA=2b-2b2cosA,所以2/^(1-sinA=2b(\-A,
所以sinA=cosA,即tanA=1,又0
2
2
2
2
2
2
22
梧州、贵港、玉林、崇左、北海联合调研）已知△ABC的内角A,B,C5.（2020•广西桂林、的对边分别为b,

c,若3sinA=2sinC,〃=5,cosC=—则a等于(D.8

A.3B.4C,6
答案C解析V3sinA=2sinC.
设a=2kg0，则c=3k.

a2+b2-c225-5标
由余弦定理得cosC=--前

20k

则k=3(〃=-箝去，，从而a=6.
6.(2019・全国IAABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知“sinA-加inB=4csinC,cosA=一贝ig等于(A.6B.5c.4D,3答案A
解析VasinA-解inB=4csinCt••・由正弦定理得“2-/=4/,即a=4c+b.
b+c-abr+c-(4c+b
由余弦定理得cosA=-H—二---------京7-----
2
2
222
2122


7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=一3sinA=2sinB,则C=.
答案4解析由3sinA=2sinB及正弦定理，得3a=2b,
a2+b2-c2
所以b=-a=3.由余弦定理cosC二2"
312+3-c彳导一彳=2X2X3
2
2
2
解得c=4.
8.（2019•全国II）Z\A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若〃=6,a=2c,8=小则△ABC的面积为.答案673
解析方法一因为a=2c,%=6,8二全，所以由余弦定理b=a+c-2r/ccosB,得6=(2c+c-2X2cXrcos々，得c=2y[3,所以a二4w，所以△ABC的面积S=y/csinB二1x4小X2小Xsin^=6^/5.
2
2
222
2

方法二因为a=2c,b=6,B=W,所以由余弦定理b=a+c-2B,
得6=（2c）+c-2X2cXccos1,得c=2y/3,J所以a=4小，所以“2=分十合，所以A=5,所以s,“8c二;x2y/3X6=6小.
9.如图所示，为测量山高MM选择A和另一座山的山顶。为测量观测点，从A点测得M点的仰角/M4N=60。，C点的仰角NCA8=45。以及NM4C=75。，从。点测得NMCA=60。，已知山高BC=100m,则山高MN=m.
2
2
222
2
答案150
解析在RtAAfiC中，AC=100\仅，
在△MAC中，古而二百市，解得M4=10QV3,
MN
在RtZXMNA中，］（）（照二sin60°二牛,故MN=150,即山高MN为150m.


10.（2018•北京）若△ABC的面积为坐（4+c2一y）,且c为钝角，则8=范围是:司勺取值答案|(2,+oo
a2+c2一扭
解析由余弦定理得cosB=-----元---a2+c2-b2=2B.
又・・・S=卓（屏十/-分），・•.%csinB=
26/ccos

/.tanB=y[3,又B£(0,n,
又・・・c为钝角，：.C二竽
-A
由正弦定理得拉A

1.
-A十尹nA]V31sinA一2+2tanA
TOctanA吊,，
即
2
2
2
，J的取值范围是(2，十8.a
11.(2019・全国IZ\A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC=sin/1—sinBsinC.⑴求A；⑵若地a+b=2c
sinC.
2
2
解⑴由已知得sin咽+sin2c-sin2A=sinBsinCf故由正弦定理得b+c-/=be,Z?+c-ai
由余弦定理得cosA=一——=5,因为0。＜4＜180。,所以4=60。.⑵由⑴知B=120°-C,
2
2
2

由题设及正弦定理得，5sinA+sin(120°-C=2sinC,即坐+坐cosC十；sinC=2sinC,可得cos(C+60°=-乎.
由于0。＜。＜120。，所以sin(C+60。二坐，
^sinC=sin(C+600-60°=sin(C+60°cos600-cos(C+60°sin600加十也二4--
12.(2018•北京在△ABC中，4=7,1=8,cosB=-1.(1求角A：(2求47边上的高.
解⑴在△A8C中，因为cos5=,
所以sinB=yj1-cos^二由正弦定理得sinA二竺/二号.由题设丸或＜8〈n,所以0＜4©,所以A/.(2在AABC中，
因为sinC=sin(A+B=sinAcosB+cosAsinB=,
2

所以AC边上的高为“sinC=7X^
13.在△A3C中，角A,8,C的对边分别为”,从c,已知三个向量m=4,p=1c,cos

,则△ABC的形状为（）
A.等边三角形
B.等腰三角形C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案A解析,•,向量m-（〃，cos^）,ii二（〃，cos亨）共线，B
A
由正弦定理得sinAcos2=sinBcos,
A2sin^os^cosf=2sinfcosfcos今
AB则sin2=siny.
4B
,9^2=2，即A=5.
同理可得B=C.：.AABC的形状为等边三角形.故选A.
14.在△ABC中，角A,B,C的对边”，b,c成等差数列，且A-C=90。，贝案
3-4
解析at〃，c成等差数列f.\2b=a+c.
2'
iJcosB=



答


/.2sinB=sinA+sinC.
•••A-C=90°,，2sinB=sin(90°+C+sinC.:.2sinB=cosC+sinC.，2sin8二.sin(C十45。.①
D
9
：A+B+C=180。且A-C=90。，，C=450-5,代入①式中，2sinB二.sin190。-
B
BBB
，2sinB=娘cosy.，4sin5cos5=巾cosy./.sin,二坐・,.cosB=1-2sin岑二1-；二/
15.在△ABC中，C=60。，且高=2,则△ABC而积S的最大值为MHZl
竺案
a京4
RZ
解析由。=60。及品力二就^二2,可得c=
由余弦定理得3=十/-必洛〃（当且仅当〃二b时取等号），
/.S=*加inCW；X3X坐二,
・••AABC的面积S的最大值为手.
16.在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,ct2bcosC-c=2a.(1求8的大小；
(2若”=3,且AC边上的中线长为华，求c的值.解(1•:2Zx:osC-c=2a,

a2+b2-c2
，由余弦定理得2b./-------c=Z/,
a2+c2-b2i
化简彳导cr+c2-Z>2
=-ac,cosB=----二一5・•；BS(0,兀,二
4.
(2由⑴可得b2
=a2
+c2
+ac=c2
+3c+9.①
a2+h2-c2
又cosC二一2^，②
,lr]9
BC2+CD2-BD24T“W取AC的中点。，连接8。，在△C8。中，cosC=2BGCD一二一7一，③由②©得2c2
-b2
=\.®
由①④得”-3c-10=0,解得c=5或c=-2(舍去，•c=5.


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fe01f7d9356baf1ffc4ffe4733687e21ae45ffff.html

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