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(完整word)高等代数(北大版)第5章习题参考答案

发布时间：   来源：文档文库   
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第五章二次型

1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）4x1x22x1x32x2x3；
2）x222
12x1x22x24x2x34x3；3）x22
13x22x1x22x1x36x2x3；
4）8x1x42x3x42x2x38x2x4；5）x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4；
6）x22x22
12x44x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4；7）x2222
1x2x3x42x1x22x2x32x3x4。
解1）已知fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3，先作非退化线性替换
x1y1y2
x2y1y2（1）
x3
y
3则
fx22
1,x2,x34y14y24y1y3
4y2222
14y1y3y3y34y2
2yy3
22
13y34y2
，再作非退化线性替换

y1112z12z3
y2z2y3z
3

则原二次型的标准形为
fx222
1,x2,x3z14z2z3，
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
2）（

11xzzz32121
2

11
x2z1z2z3（3）
22
x3z3
于是相应的替换矩阵为
11102110221
T110010

0010012
0


且有
121，1201
0
100
TAT040。
001
222
2）已知fx1,x2,x3x12x1x22x24x2x34x3，
由配方法可得
2222
fx1,x2,x3x12x1x2x2x24x2x34x3

x1x2x22x3，
2
2
于是可令
y1x1x2
y2x22x3，
yx
33
则原二次型的标准形为
22
fx1,x2,x3y1y2，
且非退化线性替换为
x1y1y22y3
x2y22y3，
xy
33
相应的替换矩阵为
112

T012，
001

且有
001101121001
TAT110122012010。
221024001000
22
（3）已知fx1,x2,x3x13x22x1x22x1x36x2x3，
由配方法可得
22222
fx1,x2,x3x12x1x22x1x32x2x3x2x34x24x2x3x3

x1x2x32x2x3，
2
2
于是可令
y1x1x2x3
y22x2x3，
yx
33
则原二次型的标准形为
22
fx1,x2,x3y1y2，
且非退化线性替换为
13
xyyy3121
22

11
x2y2y3，
22
x3y3
相应的替换矩阵为
11
2
1
T0
200
且有
321
，21
3
2100
1
010。21000
11
TAT
232
11
001112
1101330
22
13000112
（4）已知fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4，

先作非退化线性替换
x1y1y4xy22
，
xy33x4y4
则
2
fx1,x2,x3,x48y1y48y42y3y42y2y38y2y4
2
2111111
8y42y4y1y2y3y1y2y3
282282
111
8y1y2y32y2y3
282
1111
8y1y2y3y42y1y2y32y2y3，
2842
再作非退化线性替换
2
2
2
y1z1
yzz223
，
y3z2z3y4z4
则
53531
fx1,x2,x3,x48z1z2z3z42z1z2z3
88442
22
2z22z3，
22
再令
53
wzxx3121
44

w2z2
，
w3z3153
w4z1z2z3z4
288
则原二次型的标准形为
2222
fx1,x2,x3,x42w12w22w38w4，
且非退化线性替换为

153xww121424w3w4
x2w2w3
，
x3w2w31xw1w44
2
相应的替换矩阵为
1
20
T
012
且有

54110

31410
，1001

0
20
TAT
00
0
0
200
。
020

008
（5）已知fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4，先作非退化线性替换
x12y1y2xy22
，
xy33x4y4
则
2
fx1,x2,x3,x42y1y2y22y1y32y2y32y1y42y2y4y3y4
y1y2y3y4再作非退化线性替换
2
132
y3y4y4y12，
24
2
z1y1
zyyyy21234
，1
z3y32y4z4y4
即

y1z1
y2z1z2z31z42
，
yz1z
34
32yz
44
则原二次型的标准形为
222
fx1,x2,x3,x4z1z2z3
32
z4，4
且非退化线性替换为
1
xzzzz41231
2

1xzzzz42123
2，
1xzz433
2
x4z4
相应的替换矩阵为
11
T
00
且有
1
11
21
11
2，1
01
2
001
0

100010。
3
00
40
0
10
TAT0
0
222
（6）已知fx1,x2,x3,x4x12x2x44x1x24x1x32x1x4
2x2x32x2x42x3x4，由配方法可得
fx1,x2,x3,x4x122x12x22x3x42x22x3x4
2
22
2x22x3x42x2x42x2x32x2x42x3x4
2


x12x22x3x4于是可令
2
3112
2x2x3x4x3x4，
222
2
y1x12x22x3x4
31y2x2x3x4
，22
y3x3x4y4x4
则原二次型的标准形为
fy12y2且非退化线性替换为
2
2
12
y3，2
x1y12y2y3y43x2y2y3y4
，2
x3y3y4x4y4
故替换矩阵为
121
301
2T
100
000
且有
1
1，1100120
00。00
10

02
TAT
00
00
2222
（7）已知fx1,x2,x3,x4x1x2x3x42x1x22x2x32x3x4，
由配方法可得
22
fx1,x2,x3,x4x22x2x1x3x1x32x1x32x3x4x4
2
222x1x2x32x1x3x32x3x4x4x3
2
2x1x2x3x3x42x1x3x3x12x12
2
2
2x1x1x2x3x3x4x1x3，
2
2
2


于是可令

y1x1
yxxx2123
，
y3x3x4y4x1x3
则原二次型的标准形为
fy1y2y2y4，且非退化线性替换为
2
2
2
2
x1y1
xyy224
，
xyy143x4y1y3y4
相应的替换矩阵为
10
T
11
且有
0
101
，
001

0110

100
。010
00100
00
10
TAT
00
（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解1）已求得二次型
fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3的标准形为
222
fy14y23y3，
且非退化线性替换为
11xyyy32121
2

11
x2y1y2y3，
22
x3y3
（1）在实数域上，若作非退化线性替换

y1z31
y2z2，
2y3z1
可得二次型的规范形为
222
fz1z2z3。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1iz11
y2z2，
2y3z1
可得二次型的规范形为
222
fz1z2z3。
2）已求得二次型
222
fx1,x2,x3x12x1x22x24x2x34x3
的标准形为
fy1y2，且非退化线性替换为
2
2
x1y1y22y3
x2y22y3，
xy
33
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形fy1y2。3）已求得二次型
22
fx1,x2,x3x13x22x1x22x1x36x2x3
22
的标准形为
fy1y2，且非退化线性替换为
2
2
13
xyyy311222
11
x2y2y3，
22
x3y3

（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即fy1y2。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
2
2
y1z1
y2iz2。
yz
33
可得二次型的规范形为
fz1z2。
（3）已求得二次型
fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4的标准形为
2222
f2y12y22y38y4，
22
且非退化线性替换为
153xyy121424y3y4
x2y2y3
，
x3y2y31
x4y1y4
2
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1y2

y3y4
可得二次型的规范形为
12
12121
z4z2
，
z3z1
22
2222
fz1z2z3z2。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换

y1y2

y3y4
可得二次型的规范形为
i2
12i21
z1z2
，
z3z4
22
2222
fz1z2z3z2。
（5）已求得二次型
fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4的标准形为
fy1y2y3且非退化线性替换为
2
2
2
32
y4，4
1
xyyyy41231
2

1xyyyy42123
2，
1xyy433
2
x4y4
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1z2
yz21
y3z3，

y42z43
可得二次型的规范形为
2222
fz1z2z3z4。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1iz1yz22
y3iz3，

y42iz43

可得二次型的规范形为
2222
fz1z2z3z4。
6）已求得二次型
222
fx1,x2,x3,x4x12x2x44x1x24x1x32x1x4
2x2x32x2x42x3x4的标准形为
fy12y2且非退化线性替换为
2
2
12
y3，2
x1y12y2y3y43xyy3y422
。2
x3y3y4x4y4
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1z21yz32
2，
y2z
1
3y4z4
可得二次型的规范形为
222
fz1z2z3。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1iz1iyz22
2，
y2z
3
3y4z4
可得二次型的规范形为
222
fz1z2z3。
7）已求得二次型
222
fx1,x2,x3,x4x12x2x44x1x24x1x32x1x4
2x2x32x2x42x3x4的标准形为

fyyyy，2222
1224且非退化线性替换为
x1y1
x2y2y4
x3y1y。
4x4y1y3y4
（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即fy2
2
2
1y2y2y2
4。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1z1
y2z2
，
y3z3y4iz4
可得二次型的规范形为
fz2z222
12z3z4。
2．证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知AA且rank(Ar，于是存在可逆矩阵C使CACD，且D为对角阵，又因为C,C1
,C
1
C
1
均为可逆矩阵，所以有
CACD1D2Dr，其中
0d1
00D0d21
0
,D2,,Dr

dr

0


0

于是
AC1
D1D2
D1rC
C
1DC
11
C1D
2C1C1
DrC1。
0
0

因
rankC且

DC
1
i
1
1i1,2,,r，

C1DiC1C1DiC1C1DiC1。

即C
DC
1
i
1
都是对称矩阵，故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。
3．证明：
1


2

i1

与
n
i
2


in
合同，其中i1i2in是1,2,,n的一个排列。
证题中两个矩阵分别设为A,B，与它们相应的二次型分别为
222
fA1x12x2nxn，
fBi1y1i2y2inyn，作非退化的线性替换
ytxitt1,2,,n，则fB可化成fA。故A与B合同。
4．设A是一个n阶矩阵，证明：
1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有XAX0。2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有XAX0，那么A0。证1）必要性。因为AA，即aii0,aijajiij，所以XAX由于aijaji0，故
XAX
n
222
a
i,j
ij
xixjaijajixixj
ij
a
ij
ij
ajixixj0。
充分性。因为XR，有XAX0，即
22a11x1a12a21x1x2x1nan1x1xna22x2

2
a2nan2x2xnannxn0，
这说明原式是一个多元零多项式，故有
a11a22ann0,aijajiij，即AA。
2）由于A是对称的，且XAX0，即
22a11x12a12x1x22a1nx1xna22x22
2a2nx2xnannxn0，
这说明XAX为一个多元零多项式，故有a11a22ann0，2aij0aijaji0，
即A0。
5．如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？
解实对称矩阵A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵T与C使
d1
TBTCAC

d2

dr
0

D。0
下面考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，在dii1,2,,r中可分为
r个正，0r1个正，1

个负个负


210

个正，r2个负个正，r1个负个正，r
个负
共计r1个合同类。但秩r又可分别取n,n1,,2,1,0，故共有123nn1
n1n2
2
个合同类。
6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条

件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。
证必要性。设
fx1,x2,,xna1x1a2x2anxnb1x1b2x2bnxn，其中ai,bii1,2,,n均为实数。
1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即bikaii1,2,,n不失一般性，可设a10，则可作非退化线性替换
y1a1x1a2x2anxn

yxi2,,nii
使二次型化为
2
fx1,x2,,xnky1，
故二次型fx1,x2,,xn的秩为1。
2）若两个一次式系数不成比例，不妨设
a1a2
，则可作非退化线性替换b1b2
y1a1x1a2x2anxn
y2b1x1b2x2bnxn，
yxi3,,nii
使
fx1,x2,,xny1y2。再令
y1z1z2
y2z1z2，
yzi3,,nii
则二次型可化为
fx1,x2,,xny1y2z1z2，
2
2
故二次型fx1,x2,,xn的秩为2，且符号差为0。
充分性。1）若fx1,x2,,xn的秩为1，则可经非退化线性替换ZCY使二次型化为
fx1,x2,,xnky1，
2

其中y1为x1,x2,,xn的一次齐次式，即
y1a1x1a2x2anxn，且
fx1,x2,,xnka1x1a2x2anxn
2
ka1x1ka2x2kanxna1x1a2x2anxn。2）若fx1,x2,,xn的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换ZCY使二次型化为
fx1,x2,,xny1y2y1y2y1y2
2
2
a1x1a2x2anxnb1x1b2x2bnxn，故fx1,x2,,xn可表成两个一次齐次式的乘积。
7．判断下列二次型是否正定：
222
1）99x112x1x248x1x3130x260x2x371x3；222
2）10x18x1x224x1x32x228x2x3x3；
3）
x
i1
n
2i

1ijn
xx
i
j
；
4）
xxx
2i
i
i1
i1
nn1
i1
。
解1）二次型的矩阵为
24996

A613030，
243071
因为
1990,2故原二次型为正定二次型。
2）二次型的矩阵为
996
6130
0,3A0，
12104

214，A4
12141

因为A0，所以原二次型非正定。
3）记二次型的矩阵为Aaij

nn
，其中
1,ij
aij1，
,ij2
即

112
A1
212
1211212
121211212121，21
由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且
1
Akk10
2
故原二次型为正定二次型。
4）记二次型的矩阵为Aaij
k
k1,2,,n，

nn
，则A的k级顺序主子式为
112
121

112
20
k
Ak
11221
000
k
21
12

21

12
41
00
23

0
0
0
132
01
k1k
1
k10，2
k
故原二次型为正定二次型。

8．t取什么值时，下列二次型是正定的：
222
1）x1x25x32tx1x22x1x34x2x3222
2）x14x2x32tx1x210x1x36x2x3
解1）二次型的矩阵为
1t1
12，At
125
因为A的各阶顺序主子式为
110，2
1tt1
0，
1
t1120，5
3At
12
当原二次型为正定时，有
21t0
，
2
5t4t0
解上面不等式组，可得
4
t0。5
2）二次型的矩阵为
1t5
At43，
531
当A的所有顺序主子式都大于零时，即110，2
1tt4
4t20，
1t
5
3At
43t230t1050，
531
由原二次型为正定得

2
4t0
，
2t30t1050
但此不等式组无解，即不存在t值使原二次型为正定。
9．证明：如果A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标相同的子式。证设正定矩阵Aaijxj0则可得新二次型


nn
，作正定二次型
a
i1j1
nn
ij
xixj，并令
ki，
jk1,k2,,ki,k1k2
a
ik1jk1
kiki
ij
xixj，
由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式Ai0i1,2,,n。10．设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后，tEA是正定矩阵。
证
a12ta11

ta22a21
tEA
aan2n1
它的k级顺序主子式为
ta11
a21
kt

ak1
a12

ta22ak2


a1n
a2n
，tanna1ka2k

takk
当t充分大时，kt为严格主对角占优矩阵的行列式，且taii故kt0k1,2,,n，从而tEA是正定的。11．证明：如果A是正定矩阵，那么A也是正定矩阵。
1
ai1,2,,n，
ijji
证因A是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替换XAY，又A也是对称矩阵，故
YAYYA
1
1
11
AA
1
1
YXAX0，
从而YAY为正定二次型，即证A为正定矩阵。
12．设A为一个n级实对称矩阵，且A0，证明：必存在实n维向量X0，使
1

XAX0。
证因为A0，于是A0，所以rankAn，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换XCY使
XAXYC
1
ACYYBY
1
22222
y1y2y2yyypp1p2n，
1
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在ZCY中，令y1y2yp
0,yp1yp2yn1,则可得一线性方程组
c11x1c12x2c1nxn0cp1x1cp2x2cpnxn0
，
cxcxcx1p1,22p1,nnp1,11
cn1x1cn2x2cnnxn1
由于C0，故可得唯一组非零解Xsx1s,x2s,,xns使
AXs000111np0，Xs
即证存在X0，使XAX0。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵。证因为A,B为正定矩阵，所以XAX,XBX为正定二次型，且XAX0，XBX0，
因此
AXXBX0，XABXX
于是XABX必为正定二次型，从而AB为正定矩阵。
14．证明：二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数p秩r，则pr。即
22222
fx1,x2,,xny1y2ypyp1yr，
若令
y1y2yp0，yp1yr1，

则可得非零解x1,x2,,xn使fx1,x2,,xn0。这与所给条件fx1,x2,,xn
0矛盾，故pr。
充分性。由pr，知
22
fx1,x2,,xny1y2y2p，
故有fx1,x2,,xn0，即证二次型半正定。
n
15．证明：nxxi是半正定的。
i1i1
2
i
n
2
n2
证nxixi
i1i1
222
nx1x2xn
n
2

x
2122x2xn2x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xn

222
n1x1x2xn（2x1x22x1xn2x2x3

2x2xn2xn1xn）
222222
x12x1x2x2x12x1x3x3xn12xn1xnxn


可见：
1ijn
x
i
xj。
2
1）当x1,x2,,xn不全相等时fx1,x2,,xn2）当x1x2xn时fx1,x2,,xn
1ijn
xx
i
xj0。
2
i
xj0。
2
1ijn
故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。
AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设fx1,x2,,xnX
AX0，X2AX20。X1
AX00。证明：必存在实n维向量X00使X0

设A的秩为r，作非退化线性替换XCY将原二次型化为标准型
AXd1y1d2y2dryr，X
其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量X1,X2使
222
AX10和X2AX20，X1
故标准型中的系数d1,,dr不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p个1，q个-1，且pqr，即
22
XAXy12y2pyp1ypq，
这时p与q存在三种可能：
pq，pq，pq下面仅讨论pq的情形，其他类似可证。
令y1yq1，yq1yp0，yp1ypq1，则由ZCY可求得非零向量X0使
AX0y1ypyp1ypq0，X0
即证。
17．A是一个实矩阵，证明：
rankAArankA。
证由于rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组，故只要证明AX0与AAX0同解即可。事实上
AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0，即证AX0与AAX0同解，故
rankAArankA。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
2222

一、补充题参考解答
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；2）x1x2x2x3xn1xn；

3）
x
i1
n
2i

1ijn
xx
i
j
；
4）
x
，其中xxx
n
i
i1
2
1
x2xn
。
n
解1）作非退化线性替换
x1y1y2nxyy
22n12

xnynyn1
，
xyynn1n1

x2n1y2y2n1xyy
12n2n
即XTY，则原二次型的标准形为
222222
fy1y2ynyn1y2n1y2n，
且替换矩阵
10
T
01
使
01
110
1

11

110
，
1001

，1
0
1


TAT

其中
11



A
12
2）若
y1则
12
12
12。
x1x2x3xx2x3
，y21，
22
y1y2y1y2y1y2
2
2
x1x2x2x3，于是当n为奇数时，作变换
xixi1xi2
yi
2

xxi1xi2
yi1ii1,3,5,,n2，
2
ynxn
则
222222
x1x2x2x3xn1xny1y2y3y4yn2yn1，
且当n4k1时，得非退化替换矩阵为
11
T

11
11011
01

110101
1

10011
00，10
1
当n4k3时，得非退化替换矩阵为

11
T

11
11011
01

1

1
000111

000，110
1
11
故当n为奇数时，都有
1
11
1
TAT


当n为偶数时，作非退化线性替换
。1
1
0
xixi1xi2
yi
2

yxixi1xi2i12
i1,3,5,,n3，
xxnyn1
n12xxnynn1
2
则
222222
x1x2x2x3xn1xny1y2y3y4yn1yn，
于是当n4k时，得非退化替换矩阵为
11
T

11
11011
01

1

11
0011
00，11
11
于是当n4k2时，得非退化替换矩阵为

11
T

故当n为偶数时，都有
11
11011
01

1

10011
00，11
11
1
1
11
TAT1

3）由配方法可得
2
。1
1
2
1n31n
xxxxf2j12j43j3j2
n1n12
xn1xnxn，
2n1n2n
于是可令
2
1n
y1x12xj
j2
1n
y2x2xj
3j3

，
1yn1xn1xn
n
ynxn
则非退化的线性替换为

1111
xyyyyyn123n11
23n1n

xy1y1y1y
23n1n
23n1n
，
1xn1yn1yn
n
xnyn
且原二次型的标准形为fy1相应的替换矩阵为
2
32nn122y2ynyn，142n12n
10
T0
00
又因为

12
1000
1313100

11
n1n11n1n11，n1n
1
1
n
01

112
A
1212
所以
1211212

12121121212，121

100
TAT03400046000000。
4）令则
由于
则

000n2n10
00
0

0
n1
n

y1x1x
y2x2x，

yn1xn1x
ynxn
n
x12y1
yi
i2

n
x2y12y2yi

i3。
n2
xn1yi2yn1yni1xn
y
n
nn
yi
xi
n1xx，
i1
i1
n1
2
2
原式y2nn1
2
n1iyni1yii1yii1yi

i12n1y2ii1yiyj1ijn1

2z2
32n21
4z2n1z2n1


2z2
31
2z2n22n1
zn1，其中所作非退化的线性替换为
y1111
z1zzzn1
2233n1
yz1223z314z41n1z
n1

，
yn1
z
n1
ynzn
故非退化的替换矩阵为

11
1
2111112
3n01211111311n1
0
T
1
12110011
0011121n1
00
0

0
100010
0
0
0

01
2000
1
13001
2
14
101
。
23011n

23n0
0
0

0111
又
n
2
x1x
x
xx,x,xxx
i
x

12x,nx
i1
2
xnx
n1

1n1nn1
11
nn1x1,x2,,xx1n1nn1n
nnnn1n1n1n
n1
n1n

1nx11nx2n1
xnn
n1n1
x1,x2,,xxn
1n
ZAZ，所以
1nn1n1n

1
xn11
x2n
n1xnn
200TAT
00
2．设实二次型
fx1,x2,,xn
032000
004300

0
00

00
。

n
0n100
0
a
i1
s
i11
xai2x2ainxn，
2
证明：fx1,x2,,xn的秩等于矩阵
a11
a21
A
as1
的秩。
证设rankAr，因
a12

a22as2
a1na2n
asn
fx1,x2,,xnXAAX，
下面只需证明rankAr即可。由于rankArankA，故存在非退化矩阵P,Q使PAQ从而
PAAP令
Er
00Er
或PA00Er
0
011QQ0
E
0

01
Q，00，0
r

Q1Q1则
PAAP由于Q
1
1
B
D
r

C
，MCErM0
0Br
00
r
Er
00Br0D0
。0
Q是正定的，因此它的r级顺序主子式B
0，从而AA的秩为r。
即证rankArankAA。3．设
22222
fx1,x2,,xnl1l2lplp1lpq。
其中lii1,2,,pq是x1,x2,,xn的一次齐次式，证明：fx1,x2,,xn的正惯性指数p，负惯性指数q。
证设libi1x1bi2x2binxni1,2,,pq，
fx1,x2,,xn的正惯性指数为s，秩为r，则存在非退化线性替换
yici1x1ci2x2cinxni1,2,,n，使得
22222
fx1,x2,,xnl1l2lplp1lpq2222
y1ysys1yr。
下面证明sp。采用反证法。设sp，考虑线性方程组
b11x1b1nxn0bp1x1bpnxn0
，
cxcx0s1,nns1,11
cn1x1cnnxn0
该方程组含pns个方程，小于未知量的个数n，故它必有非零解a1,a2,,an，于是fa1,a2,,anlp1lpqy1ys，
2
2
2
2
上式要成立，必有
lp1lpq0，y1ys0，

这就是说，对于x1a1,x2a2,,xnan这组非零数，有y10，y20,
,
yn0，
这与线性替换YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以sp。
同理可证负惯性指数rsp，即证。4．设
AA
A11
12AA2122
是一对称矩阵，且A110，证明：存在TE
X0
E使TATA11
0个级数与A22相同的矩阵。
证只要令T
E0
AA1
，则EA1
E11A12，
2111T0E
注意到
A，A1
12A21
11A
1
11，
则有
TAT
E0AEA1
1211A21A1
11EA11
A21AA12
220E
AA11
12
EA1

0
A121A11A12A2211A120E

A110
0。

即证。
5．设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵

0110

0110
。0

0
0
，其中
表示一
证采用归纳法。当n1时，A0合同于0，结论成立。下面设A为非零反对称矩阵。
当n2时
0
Aa
12
故A与
1
a12第2行乘a12011，010第2列乘a12
01
合同，结论成立。
10

a1k0ak,k1
a1,k1

，
ak,k1
0
1ak,k1
假设nk时结论成立，今考察nk1的情形。这时
0


A
a1ka1,k1
如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设ak,k10，并将最后一行和最后一列都乘以
，则A可化成
0

a1kb1

a1kb1

，0110
再将最后两行两列的其他非零元bi,aiki1,2,,k化成零，则有
0


b1,k1
00
由归纳假设知

b1,k1000
000，
0110


0
0


b
1,k1
合同，从而A合同于矩阵
01b1,k1
10与

0

01
10
010
10
，01
10
再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k1级矩阵也成立，即证。
6．设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c，使对任一个实n维向量X都有XAXcXX。
证因为
XAX令amaxaij，则
i,j
a
i,j
ij
xixjaij
i,j
xixj，
XAXa
x
i,j
i
xj
。
利用xixj

xi2x2j
2
可得
XAXa

i,j
xi2x2j
2
anxi2cXX，
i
其中can，即证。
7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而BTAT，证明：A与B的对应顺序主子式有相同的值；
2）证明：如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使TAT成对角形；
3）利用以上结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则XAX是正定二次型。证1）采用归纳法。当n2时，设
A则
BTATb

a11a21a121b，T01，a22
a121ba11
。a2201
10a11
1a21

考虑B的两个顺序主子式：B的一阶顺序主子式为a11，而二阶顺序主子式为BTAT1•A•1A，与A的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。
归纳假设结论对n1阶矩阵成立，今考察n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵
T0

An1Tn1
，A1
，ann
其中Tn1为特殊上三角矩阵。于是
Tn10An1
B1


Tn1
01ann
Tn1An1Tn1
Bn1
。

由归纳假设，B的一切n1阶的顺序主子式，即Bn1Tn1An1Tn1的顺序主子式与An1的顺序主子式有相同的值，而B的n阶顺序主子式就是B，由BTAT1•A•1A，
知B的n阶顺序主子式也与A的n阶顺序主子式相等，即证。
2）设n阶对称矩阵Aaij，因a110，同时对A的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵


a110
0b22
A

0b
n2
于是由1）知


0
b2na11
0bnn
0
，Bn1
a110
0，从而b220，再对Bn1进行类似的初等变换，使矩阵A1的0b22
第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将A化成对角形

1


2


B。n
由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵Ti，左乘一个下三角形阵Ti，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在TT1,T2,,Ts，使TATB，命题得证。
3）由2）知，存在T使
1
2
TATB。
n
又由1）知B的所有顺序主子式与A的所有顺序主子式有相同的值，故
1a110，所以20。
1
2

a11a12
a12a22
0，
1

2

a11a1i
0，aii
i
所以
ai1
i0i1,2,,n，
因XTY是非退化线性替换，且
22
AXYTATY1y122y2nynX，
由于1,2,,n都大于零，故XAX是正定的。8。证明：1）如果是正定二次型，那么
a
i1j1
nn
ij
xixjaijaji

a11a21
fy1,y2,,yn
an1y1
是负定二次型；
2）如果A是正定矩阵，那么AannPn1，这里Pn1是A的n1阶顺序主子式；3）如果A是正定矩阵，那么
a12a22an2y2

a1na2nannyn
y1y2yn0
Aa11a22ann。4）如果Ttij是n阶实可逆矩阵，那么T
2
22
t12it2itni。i1n


证1）作变换YAZ，即
y1a11
y2a21

yann1
则
a12

a22an2a11
a1nz1a2nz2
，annzna1nannyn
00
y1z1ynzn

fy1,y2,,yn
an1y1

Ay1z1ynznAYZAZAZAZAZ。
因为A是正定矩阵，所以fy1,y2,,yn是负定二次型。
2）A为正定矩阵，故Pn1对应的n1阶矩阵也是正定矩阵，由1）知

a11
fn1y1,,yn1

a1,n1an1,n1yn1
y1yn10

an1,1y1
是负定二次型。注意到
A
a11an1a11an1

a1,n1an1,n1an,n1a1,n1an1,n1an,n1
a1nan1,nanna1nan1,n0
an1,1


an1,1

a11an1

a1,n1an1,n1an,n1
00ann
an1,1

fn1a1n,a2n,,an1,nannPn1，
又因fn1a1n,a2n,,an1,n0ain中至少有一个不为0时，所以AannPn1，当a1na2nan1,n0时，有AannPn1，综上有AannPn1，即证。3）由2）得
AannPn1annan1,n1Pn2annan1,n1a11。
4）作非退化的线性替换XTY，则XXYTTY为正定二次型，所以TT是正定矩阵，且


t11
TT
t
1ntn1t11
tnntn1t1n
tnn
222
t11t21tn1222
t12t22tn2



2
t12nt2n

，2tnn
再由3）便得

T
2
22
TTt12it2itni。
i1
n

9.证明：实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是A的一切主子式全大于或等于零（所
谓k阶主子式，是指形为

ai1i1ai2i1aiki1
ai2i2ai2i2aiki2

ai1ikai2ikaikik


的k级子式，其中1i1ikn）。
证必要性。取A的任一个m阶主子式相应的矩阵A
m
ai1i1
aimi1
ai1im
，aimim
Am对应的二次型为

a
isik
AmX1，xisxikX1
令xi0ii1i2,,im，代入故存在非退化矩阵Tm使
i,j1
a
n
ij
xixj0，得
a
isik
AmX10，xisxikX1
d1

AmTmTm

其中di0i1,,m。故
d2

，dm
Am0m1,2,,n。
充分性。设A的主子式全大于或等于零，任取A的第m个顺序主子式相应的矩阵A
m
a11a12

a
m1am2a1m

m1,2,,n，amm
作

a11
EmAm
a12am2

a1ma2m
，
a21am1
a22
amm
由行列式性质，得
m1
EmAmmPPm1Pm，1
其中Pi是Am中一切i阶主子式的和，由题设，A的一切i阶主子式Ai0，所以Pi0。故当0时，有
EmAm0，
m
即当0时，EmA是正定矩阵。假若A不是半正定矩阵，则存在一非零向量X0，
AXc使X0
c0。于是令
cc
20，22
X0x10x20xn0X0
则
EAX0X0EX0X0AX0cc0，X0
这与0时EA为正定矩阵矛盾，故A为半正定矩阵。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fa93b18f6bdc5022aaea998fcc22bcd126ff42f9.html

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