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湖南省衡阳市2016届高中毕业班联考（二）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数（其中
为虚部单位），则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合，则
（ ）
A． B．
C．
D．
3.“”是 “
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数
与残差平方和
如下表：
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6.数列中，已知
，且
，则数列
为（ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列
8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B．
C．
D．
9.已知是
所在平面内一点，
，现将一粒黄豆随机撒在
内，则黄豆落在
内的概率是（ ）
A． B．
C．
D．
10.对于，有如下四个命题：①若
，则
为等腰三角形；②若
，则
为直角三角形；③若
，则
为锐角三角形；④若
，则
为等边三角形，其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11.已知双曲线的焦距长为
，过原点
作圆：
的两条切线，切点分别是
，且
，那么该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
12.设是定义在
的奇函数，其导函数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.用系统抽样从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1-160编号，并按编号顺序平均分成20组（1-8号，9-16号，…，153-160号），若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是 .
14.点在不等式组
表示的平面区域内，若点
到直线
的最大距离为
，则实数
.
15.已知，则
.
16.某同学在研究函数的性质时，受到两点间的距离公式的启发，将
变形为
，则
表示
（如图），下列关于函数
的描述正确的是 .（填上所有正确结论的序号）
①的图象是中心对称图形；②
的图象是轴对称图形；③函数
的值域为
；④方程
有两个解．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知公差大于零的等差数列，各项均为正数的等比数列
，满足
.
(1)求数列和
的通项公式；
(2)令，数列
的前
项和为
，求证：
.
18. （本小题满分12分）
2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节目，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不换龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.
(1)能否在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系？
(2)4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.
附：.
19. （本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形
是正方形，
，
为
的中点.
(1)求证：面
；
(2)求证：面
；
(3)求四面体的体积.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线上三个不同的点
，
满足关系式
.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的外接圆面积的最小值及此时
的外接圆的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数.
(1)若函数的图象在
处的切线与
轴平行，求
的值；
(2)若时，
恒成立，求
的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆
的直径，
是半径
的中点，
是
延长线上一点，且
，直线
与圆
相交于点
(不与
重合)，
与圆
相切于点
，连结
.
(1)求证：；
(2)若，试求
的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
，（
为参数）.
(1)求曲线的普通方程；
(2)过点的直线
与曲线
交于
两点，求
的取值范围.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
(1)求的最小值；
(2)若对恒成立，求实数
的取值范围.
2016届高中毕业班联考试卷(二)
数学(文科)参考答案及评分标准
1.B 解：，故选B.
2.B 解：，故选B.
3.B 解：，故选B.
4.D 解：越大，
越小，线性相关性越强，故选D.
5.A 解：；
；
；
；
，故选A.
6.D 解：，又
不满足上式，故选D.
7.A 解：，
，故选A.
10.A 解：①或
，错；②
或
，错；③只能得到
为锐角，
错；④，
，正确.故选A.
11.C 解：，
.
12.B 解：令，则
在
上递减，在
上递增，
当时，
；
当时，
；故选B.
13.6 解：第1组中用抽签法确定的号码是.
14.1 解：，
，
.
15. 解：
.
16.②③ 解：，
关于直线
对称；
，
.
17.解: ⑴设等差数列的公差为
，等比数列
的公比为
……3分
，
………6分
⑵
…………12分
18.解：由题意可得列联表：
故能在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系. …6分
设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表：
分组的情况总共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占2种，工
作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率…12分
19.解:设
与
交于点
，连结
、
.
、
分别为
、
的中点
，又
，又
为平行四边形
，又
平面
，
平面
平面
. …………4分
，
，又
，
平面
，又
平面
，又
，
平面
，又
平面
，又
，
平面
. …………8分
⑶ …………12分
20.解: ，
，抛物线
的方程为
…………2分
设
，
，则
，
，
，且
当时，
；当
时，
…………5分
，
，从而
的外接圆的直径为
要使的外接圆面积最小，须
最小
令，
时，
，
递减；
时，
，
递增
又，
，此时
…………9分
，
的外接圆面积
. …………10分
，
的外接圆的圆心为
，半径
的外接圆方程为
…………12分
，
…………2分
，即：
. ……… 4分
令
，
对
恒成立
在
内单调递增，且
………6分
①当，即
时，
在
上为增函数
………8分
②当，即
时，
由在
内单调递增知：
存在唯一，使得
，即
.
令，得
，
，得
；
……… 10分
，即
.
综上，实数的取值范围是
. ……… 12分
22.解：设
，则有：
，
.
又
…………… 5分
又
∽
. …………… 10分
23.解：
又
的普通方程为
，
……… 5分
设直线
的参数方程为
，
为倾斜角，且
代入曲线得：
设两根为，
，
故. ……… 10分
24.解：
，
，
，此时
，
. ……… 5分
对
恒成立
或
或
或
或
……… 10分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ec24a460bb1aa8114431b90d6c85ec3a86c28b0f.html
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