最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理》2

数学人教B必修5第一章1.1.1　正弦定理

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1．理解正弦定理及其相关变式的推导过程；

2．掌握正弦定理，并初步学会用正弦定理解决简单的三角形度量问题．

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1．正弦定理

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(1)从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程含有四个量，可知三求一．

(2)适用范围：对任意的三角形都成立．

(3)结构形式：分子为边长、分母为该边所对角的正弦的连等式．

(4)在同一三角形中边角的不等关系：若∠A＞∠B＞∠C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；

反之，若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则∠A＞∠B＞∠C．

【做一做1－1】在△ABC中，一定成立的等式有(　　)．

A．asin A＝bsin B　　　　　B．asin B＝bsin A

C．acos A＝bcos B D．acos B＝bcos A

【做一做1－2】在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，8d7c9e85ea129e965cd2e4bf8c322f3b.png，则sin B＝(　　)．

A．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png B．6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png

C．463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png D．无法确定

2．正弦定理的适用范围

利用正弦定理，可解决两类解斜三角形的问题：

(1)已知两角和任一边，求____________；

(2)已知两边和其中一边的对角，求__________，进而求出其他的边和角．

【做一做2】在△ABC中，已知2575f1cfc7405a197295c500c79b1564.png，b＝4，∠A＝30°，则∠B＝________.

3．解三角形

解三角形是指由三角形的六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程．

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一、判断三角形解的个数

剖析：(1)代数法

在△ABC中，已知a，b，∠A，由正弦定理可得sin B＝46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.pngsin A＝m.

①当sin B＞1时，这样的∠B不存在，即三角形无解．

②当sin B＝1时，∠B＝90°，若∠A＜90°，则三角形有一解，否则无解．

③当sin B＜1时，满足sin B＝m的角有两个，其中设锐角为∠α，钝角为∠β，则当∠A＋∠α＞180°时，三角形无解；当∠A＋∠α＜180°，且∠A＋∠β＜180°时，有两解；当∠A＋∠α＜180°且∠A＋∠β＞180°时有一解．

(2)几何法

根据条件中∠A的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A，以A为圆心，边长b为半径画弧交∠A的一边于C．使未知的边AB水平，顶点C在边AB上方，以点C为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线AB交点的个数，即为解的个数，如下表所示：

二、教材中的“探索与研究”

在正弦定理中，设32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝k.请研究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．(提示：先考察直角三角形)

剖析：(1)如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R(a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)．

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(2)如图2，当△ABC为锐角三角形时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．因为∠A＝∠D，所以在Rt△BCD中，32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝57d29164286a8f43d92f1ad1e3ddd3cf.png＝2R，同理4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R，即32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R.

(3)如图3，当△ABC为钝角三角形且∠A为钝角时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝090a7ae6095982556922799c122adc96.png＝57d29164286a8f43d92f1ad1e3ddd3cf.png＝2R.

由(2)知4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R，即32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R.

综上所述，对于任意△ABC，32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R恒成立.

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根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式：

(1)asin B＝bsin A；asin C＝csin A；bsin C＝csin B．

(2)a＝d97434575f9d2d7ab007c92a3e173a12.png；sin B＝f5fa73d748f24068f248f3d3e39044b5.png.

(3)32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝053f70cc6299097c0116545998506a33.png＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．

(4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．

(5)边化角公式：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．

(6)角化边公式：sin A＝0d18f56daef3fd47680d81812ecfb237.png，sin B＝178810ae700b958b0e1ac9daefad1aa0.png，sin C＝beae971e59199cd5fac3c065d072147c.png.

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题型一 解三角形

【例1】已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b和∠B．

分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知

量，可知三求一．当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形．

反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边．

【例2】在△ABC中，已知a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，∠B＝45°，求∠A，∠C和c.

分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数．

反思：本题给出了解三角形第二类问题(即已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的角和边)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知边的对角，然后利用内角和公式求得第三角，再求得第三边．解答此类问题应注意对解的个数的讨论．

题型二 判断三角形的形状

【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0.

(1)判断△ABC的形状；

(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求△ABC的面积．

分析：(1)利用对数的运算法则及正弦定理将边转化为角的关系，再利用三角变换公式求解即可；

(2)利用向量的内积运算求出a与b，进而用上(1)中结论再求三角形的面积．

反思：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一，化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二，化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．再者，与平面向量相综合的问题，要充分运用向量的运算将问题代数化．

题型三 用正弦定理证明

【例4】在△ABC中，设b56fd8f23627d58f121a361eb333790f.png＝a，40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png＝b，1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png＝c，a·b＝b·c＝c·a.求证：△ABC为等边三角形．

分析：要证△ABC为正三角形，只需证∠A＝∠B＝∠C即可，解题的关键是建立向量的数量积与正弦定理的联系．

反思：本题由向量的数量积转化为三角形的边角关系，再由正弦定理实现边与角的互相转化，从而使问题获得解决．这是解这一类题的常用方法．

题型四 易错辨析

【例5】在△ABC中，∠B＝30°，AB＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，AC＝2，求△ABC的面积．

错解：由正弦定理，得sin C＝6ce1bb78ee43df46ec54f93f0581ad49.png＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，所以∠C＝60°，所以∠A＝90°，所以S△ABC＝71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.pngAB·AC·sin A＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png×2×1＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，

即△ABC的面积是29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

错因分析：利用正弦定理求角C时漏解了，实际上由AB＞AC，得满足sin C＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png的角C有两个．

【例6】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，∠C＝30°，求a＋b的最大值．

错解：因为∠C＝30°，所以∠A＋∠B＝150°，即∠B＝150°－∠A．

由正弦定理，得32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝7261f6d3f2ad1a70d602735a14958df4.png＝ef2bd9b990610beb3b8e9d2bfd92bc44.png.

又因为sin A≤1，sin (150°－A)≤1，

所以a＋b≤2(fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)＋2(fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)＝4(fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)．

故a＋b的最大值为4(fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)．

错因分析：上述解法错误的原因是未弄清∠A与150°－∠A之间的关系，这里∠A与150°－∠A是相互制约的，不是相互独立的量，sin A与sin (150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的．

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1在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则b等于(　　)．

A．41553867a52c684e18d473467563ea33b.png　　　B．49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png　　　C．4fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png　　　D．22704791c2afbe764f0ddcbad1452f68.png

2在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)．

A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°

B．a＝30，b＝25，∠A＝150°

C．a＝7，b＝8，∠A＝98°

D．a＝14，b＝16，∠A＝45°

3(2012·湖南三十二校联考)△ABC的内角A，B，C分别对应边a，b，c，若a＝6，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(　　)．

A．447a0e2e0b71ff36fd0f4f7d83e9af1c.png B．a03c1d0d4d8244ad9404f1e19984d043.png

C．9(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1) D．9(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋1)

4在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pnga，则a与b的大小关系是________．

5在△ABC中，已知2d9d3ad2b29bcbb49de0627e026da0e6.png＝46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝453ec35b2f4e82c2053299bbdf4bfc29.png，试判断△ABC的形状．

答案：

基础知识·梳理

1．正弦　4532e33590da37c58474922e01b8465d.png　90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png

【做一做1－1】B

【做一做1－2】A　由正弦定理，得8e4e0263ee8f7a43b89374f8e933dcbc.png＝aae1293ae4267567b10e72f6c1f1b2ef.png，即9c1817c442f28cc8b0e7100a165609ce.png＝f85a7a3961a8d67932ee98c2a6bfe407.png，解得sin B＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png.

2．(1)其他的边和角　(2)另一边的对角

【做一做2】60°或120°　由正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png，得sin B＝f5fa73d748f24068f248f3d3e39044b5.png＝a77add1606dc2e8fe530aa6dcbe76581.png＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.由b＞a，得∠B＝60°或120°.

典型例题·领悟

【例1】解：∵32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png，∠A＝45°，∠C＝30°，

∴a＝2f090870f6fdad234b484d365a73a581.png＝a6fbaace9d45a2101159ed4da99039f5.png＝101553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

又4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png，

∴b＝45ba45aafa7402124005a66c35511062.png＝532b6fb1584c369fb6b9999db101fc07.png＝20sin 75°＝20×ea8c520f407cd257088cef693c31a9e2.png＝5(fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)．

【例2】解：由正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png，知sin A＝1b39f9160d895ffba3f52be940ba402c.png＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.

∵asin B＜b＜a，∴∠A有两个解，

∴∠A＝60°或∠A＝120°.

(1)当∠A＝60°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝75°，

∴c＝9e9fbed1b364f667c0fcb2596e09bfe0.png＝996047f0d0eb3958daf08ae21a4e2372.png＝eaccf8ee7c8ccd9aedbe16329fe537de.png.

(2)当∠A＝120°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝15°，

∴c＝9e9fbed1b364f667c0fcb2596e09bfe0.png＝d964188b057ea93ef8061b072448b4c3.png＝8c6b08e52e4e70234a85a59096a96542.png.

故∠A＝60°，∠C＝75°，c＝eaccf8ee7c8ccd9aedbe16329fe537de.png或∠A＝120°，∠C＝15°，c＝8c6b08e52e4e70234a85a59096a96542.png.

【例3】解：(1)∵lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，

∴lg 93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png＝lg16913e87245594bcd5862a57b0a5dc27.png，

∴sin Acos A＝sin Bcos B，

∴sin 2A＝sin 2B.

又∵a≠b，

∴∠A＋∠B＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴△ABC的形状为直角三角形．

(2)∵m⊥n，

∴2a2－3b2＝0.①

再结合(m＋n)·(n－m)＝14，得(a2＋9b2)－(4a2＋b2)＝14，

即8b2－3a2＝14.②

由①②，解得a＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，b＝2.

又∵△ABC为直角三角形，且∠A＋∠B＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴∠C＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴S△ABC＝71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.pngab＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png×2＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png.

【例4】证明：如图，由a·b=b·c，得

|a||b|cos (π－C)=|b||c|cos (π－A)，

∴|a|cos C=|c|cos A.

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由正弦定理，得sin Acos C=sin Ccos A，∴sin (A－C)=0.

∵0＜∠A＜π，0＜∠C＜π，

∴－π＜∠A－∠C＜π.

∴∠A－∠C=0.

∴∠A=∠C.

同理由a·b=c·a，可得到∠B=∠C.

∴∠A=∠B=∠C，

∴△ABC为等边三角形．

【例5】正解：由正弦定理，得sin C＝6ce1bb78ee43df46ec54f93f0581ad49.png＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.因为AB＞AC，所以∠C＝60°或120°.当∠C＝60°时，∠A＝90°，S△ABC＝71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.pngAB·AC·sin A＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png；当∠C＝120°时，∠A＝30°，S△ABC＝71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.pngAB·AC·sin A＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.所以△ABC的面积为29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png或9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

【例6】正解：因为∠C＝30°，所以∠A＋∠B＝150°，

由正弦定理，得32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝7261f6d3f2ad1a70d602735a14958df4.png＝ef2bd9b990610beb3b8e9d2bfd92bc44.png

因此，a＋b＝2(fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)·[sin A＋sin (150°－A)]

＝(8＋49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)cos (A－75°)≤8＋49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

故a＋b的最大值为8＋49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

随堂练习·巩固

1．C　由∠B＝60°，∠C＝75°，知∠A＝45°，再由正弦定理有bef2c144d9c065634392732cf42e36d9.png＝e557c100c7ce869f5b92fc43de29dfc9.png，即359ebee52730e23c1c45733998307ce6.png＝169a58198b5ff20adcca3a5b240b4192.png，∴b＝4fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png.

2．D　对于A项，由三角形全等的判定知识知只有一解；

对于B项，∵a＞b，∴∠A＞∠B，又∠A＝150°，

∴只有一解；

对于C项，∵a＜b，∴∠A＜∠B，而∠A＝98°，∴无解；

对于D项，sin B＝f5fa73d748f24068f248f3d3e39044b5.png＝369d1fc562e42e4f5be64aae8e0844bc.png＝15b94a07cd379bf0540e1404a465f5b0.png＜1，且bsin A＜a＜b，

∴有两解．

3．D

4．a＞b　由正弦定理，得fdcb4af8036c636a7700696d4391921a.png＝32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png，

∴sin A＝bfdd33639499d91891c17a9fca9b7413.png＝36e3f1d576b623882b636187a8c4fe72.png＞df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

∴∠A＞30°.∴∠B＝180°－120°－∠A＜30°.∴∠A＞∠B，

∴a＞b.

5．解：由正弦定理，可知2d9d3ad2b29bcbb49de0627e026da0e6.png＝46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝d30d94264e1cb714fed66f011bbf4e65.png，∴sin Acos A＝sin Bcos B，即2sin Acos A＝2sin Bcos B，

∴sin 2A＝sin 2B.

∵∠A，∠B为三角形的内角，

∴2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，

∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png.

又∵46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝453ec35b2f4e82c2053299bbdf4bfc29.png，∴b≠a，故∠B≠∠A，

∴∠A＋∠B＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，从而∠C＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴△ABC为直角三角形．

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