因式分解（1）

一知识点讲解

知识点一：因式分解概念：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。

2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形

知识点二：寻找公因式

1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）

例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？

2、寻找公因式的方法：

知识点三：因式分解的方法（重点）

（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：

1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：f2f032b7850473f209a4e22ce869dd99.png

3.提公因式的步骤：

（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）

word/media/image15_1.png

4.注意事项：因式分解一定要彻底

二、例题讲解

模块1：考察因式分解的概念

1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A、word/media/image16_1.png B、word/media/image17_1.png

C、word/media/image18_1.png D、word/media/image19.wmf

2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A、word/media/image20.wmf B、word/media/image21_1.png

C、word/media/image22_1.png D、word/media/image23_1.png

3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）

A、word/media/image24_1.png B、word/media/image25_1.png

C、word/media/image26_1.png D、word/media/image27_1.png

4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A、word/media/image28_1.png B、word/media/image29_1.png

C、word/media/image30.wmf D、word/media/image31_1.png

5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）

A、word/media/image32_1.png B、word/media/image33_1.png

C、word/media/image34_1.png D、word/media/image35_1.png

6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）

A、word/media/image36_1.png B、word/media/image37_1.png

C、word/media/image38_1.png D、word/media/image39_1.png

模块2：考察公因式

1. （2017春抚宁县期末）多项式word/media/image40.wmf的公因式是（ ）

A、word/media/image41.wmf B、word/media/image42_1.png C、word/media/image43_1.png D、word/media/image44_1.png

2.（2017春东平县期中）把多项式word/media/image45_1.png分解因式，应提的公因式是（ ）

A、word/media/image46_1.png B、word/media/image47.wmf C、word/media/image48_1.png D、word/media/image49_1.png

3.（2017秋凉州区末）多项式word/media/image50_1.png与word/media/image51_1.png的公因式是（ ）

A、word/media/image52_1.png C、word/media/image53_1.png B、word/media/image54_1.png D、word/media/image55_1.png

4.（2017春邵阳县期中）多项式word/media/image56.wmf的公因式是（ ）

A、word/media/image57.wmf B、word/media/image58_1.png C、word/media/image59_1.png D、word/media/image60_1.png

5.（2016春深圳校级期中）多项式word/media/image61_1.png各项的公因式是（ ）

A、word/media/image62_1.png B、word/media/image63_1.png C、word/media/image64_1.png D、word/media/image65_1.png

6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ）

A、word/media/image66_1.png与word/media/image67.wmf B、word/media/image68.wmf与word/media/image69_1.png

C、word/media/image70_1.png与word/media/image71_1.png D、word/media/image72_1.png与word/media/image73_1.png

7.观察下列各组式子：①word/media/image74_1.png和word/media/image75_1.png；②word/media/image76_1.png和word/media/image77_1.png；③word/media/image78.wmf和word/media/image79_1.png；④word/media/image80_1.png和word/media/image81_1.png。其中有公因式的是（ ）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

模块3：利用提公因式法分解因式

①因式分解的第一种类型：直接提取公因式

1、分解因式：

（1） word/media/image82_1.png （2）word/media/image83_1.png （3） 22c7eea9cfbfb7d5fc72799c7630ce78.png

（4）word/media/image85_1.png （5）word/media/image86_1.png （6）be6d8a6381fc7e11c44dec34588d18dd.png

②因式分解的第二种类型：变形后提取公因式

2. 分解因式：

（1）word/media/image88.wmf （2）word/media/image89.wmf

③因式分解的第三种类型：分组后提取公因式

3. 分解因式：

（1）word/media/image90_1.png （2）word/media/image91_1.png

模块4：提公因式法的综合应用

类型1：利用提公因式法进行简便计算

1.利用简便方法计算：

（1）word/media/image92_1.png （2）word/media/image93_1.png

类型2：利用提公因式法进行化简求值

2.先分解因式，在计算求值：

f70e4ed17369c3a6aad2f2680dc5c82e.png 其中x=

3. （2016秋唐河县期末）已知：word/media/image95_1.png，word/media/image96_1.png，求word/media/image97_1.png的值。

4. 已知word/media/image98_1.png，word/media/image99_1.png，求多项式word/media/image100_1.png的值。

5. 若a747985122093ddf093c66737e73acbe.png，用因式分解法求85b3823f57a10e124fb52d58652a5691.png的值.

6.若word/media/image103_1.png，则word/media/image104_1.png= 。

7.不解方程组word/media/image105_1.png,求word/media/image106.wmf的值。

类型3：拔高培优题型

8. (2015杭州模拟)已知word/media/image107_1.png可因式分解成word/media/image108_1.png，其中word/media/image109_1.png、word/media/image110_1.png、word/media/image111_1.png均为整数，求word/media/image112_1.png的值。

9.已知多项式b415a971e70871acb9448ce8b712219d.png有一个因式为2257649f5e6445294933878c3d0d4373.png，另一个因式为7e0524c6d0638f3c546f3078b7abfcda.png，求word/media/image116.wmf的值。

10. 求证：word/media/image117.wmf能被word/media/image118_1.png整除。

11.已知word/media/image119_1.png满足5ac47ad683df04d676614dce953df318.png，求1c2d8d4db72bc4d125dd4017f54cdfb9.png的值。（word/media/image119_1.png都是正整数）

12.（学霸题中题★★★）若word/media/image122.wmf是word/media/image123_1.png的一个因式，则word/media/image124_1.png的值为（ ）

A、word/media/image125_1.png B、word/media/image126_1.png C、word/media/image127_1.png D、word/media/image128_1.png

13.（2017合肥月考★★★）要使多项式word/media/image129_1.png能分解为两个整系数一次多项式之积，则不大于100的自然数word/media/image130_1.png的个数为（ ）

A、8 B、9 C、10 D、11

14. （2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

word/media/image131.wmf

（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次。

（2）若分解word/media/image132.wmf，则需应用上述方法 次，结果是 。

（3）分解因式：word/media/image133_1.png（word/media/image134_1.png为正整数）。

1、选择题

1.(2017开县一模)当word/media/image135_1.png互为相反数时，代数式word/media/image136_1.png的值为（ ）

A、word/media/image137_1.png B、word/media/image138_1.png C、word/media/image139_1.png D、word/media/image140_1.png

2.（2016秋乳山期末）边长为word/media/image141_1.png的长方形周长为12，面积为10，则word/media/image142.wmf的值为（ ）

A、word/media/image143.wmf B、word/media/image144_1.png C、word/media/image145_1.png D、word/media/image146_1.png

3.（2017春蚌埠期末★）计算：word/media/image147_1.png所得的结果是（ ）

A、word/media/image148_1.png B、word/media/image149_1.png C、word/media/image150.wmf D、word/media/image151_1.png

4.（2017春乐亭县期末）word/media/image152_1.png能被下列数整除的是（ ）

A、word/media/image153_1.png B、word/media/image154_1.png C、word/media/image155_1.png D、word/media/image156_1.png

5.（2017春源城区校级月考）把多项式word/media/image157_1.png分解因式的结果是（ ）

A、word/media/image158_1.png B、word/media/image159.wmf C、word/media/image160.wmf D、word/media/image161_1.png

6.（2017春阳谷县期末）把word/media/image162_1.png分解因式得（ ）

A、word/media/image163_1.png B、word/media/image164_1.png C、word/media/image165_1.png D、word/media/image166_1.png

7.（2017春北湖区校级期中）整式word/media/image167_1.png的值（ ）

A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、结果的符号不确定

8.（2016赵县模拟）若word/media/image168_1.png，word/media/image169_1.png，则word/media/image170.wmf的值是（ ）

A、word/media/image171.wmf B、word/media/image172_1.png C、word/media/image173_1.png D、word/media/image174_1.png

9.（2016春高密市期末）将word/media/image175_1.png因式分解，应提的公因式是（ ）

A、word/media/image176_1.png B、word/media/image177_1.png C、word/media/image178_1.png D、word/media/image179_1.png

10.（2016春临清市期末）计算word/media/image180.wmf，得（ ）

A、word/media/image181.wmf B、word/media/image182_1.png C、word/media/image183_1.png D、word/media/image184_1.png

11.（2016春深圳期末）若word/media/image185_1.png，word/media/image186_1.png，则代数式word/media/image187_1.png的值为（ ）

A、word/media/image188_1.png B、word/media/image189_1.png C、word/media/image190_1.png D、word/media/image191_1.png

12.（2016秋美兰区校级期中）若word/media/image192.wmf，word/media/image193_1.png，则word/media/image194_1.png等于（ ）

A、word/media/image195_1.png B、word/media/image196_1.png C、word/media/image197_1.png D、word/media/image198.wmf

13.（2016秋简阳市期中）如果多项式word/media/image199.wmf可分解为word/media/image200_1.png，则word/media/image201_1.png为（ ）

A、word/media/image202_1.png B、word/media/image203_1.png C、word/media/image204_1.png D、word/media/image205_1.png

14.（2016春深圳期中）若word/media/image206_1.png，word/media/image207_1.png，则word/media/image208_1.png的值为（ ）

A、word/media/image209_1.png B、word/media/image210_1.png C、word/media/image211_1.png D、word/media/image212_1.png

15.（2016春港南区期中）设word/media/image213_1.png，word/media/image214_1.png，则word/media/image215_1.png与word/media/image216_1.png的关系是（ ）

A、word/media/image217_1.png B、word/media/image218_1.png C、word/media/image219.wmf D、互为相反数

16.（2016春锡山区校级月考）计算：word/media/image220.wmf的结果是（ ）

A、word/media/image221_1.png B、word/media/image222_1.png C、word/media/image223_1.png D、word/media/image224_1.png

17.（2016春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（ ）

A、word/media/image225_1.png B、word/media/image226_1.png

C、word/media/image227_1.png D、word/media/image228_1.png

18.（2015春杭州期末）多项式word/media/image229_1.png可以因式分解成word/media/image230.wmf，则word/media/image231_1.png的值是（ ）

A、word/media/image232_1.png B、word/media/image233_1.png C、word/media/image234_1.png D、word/media/image235_1.png

19.（2015春莲湖区校级月考）把多项式word/media/image236_1.png分解因式的结果是（ ）

A、word/media/image237_1.png B、word/media/image238_1.png

C、word/media/image239_1.png D、word/media/image240.wmf

2、填空题

1.（2016潍坊模拟）分解因式：word/media/image241.wmf= 。

2.（2017潍坊）因式分解：word/media/image242_1.png= 。

3.（2017崇安区一模）分解因式word/media/image243_1.png的结果是 。

4.（2016秋内江期末）因式分解：word/media/image244_1.png= 。

5.（2016滨海县二模）分解因式：word/media/image245_1.png= 。

6.（2017春醴陵市期末）因式分解：word/media/image246_1.png= 。

7.（2017春碑林区校级期中）分解因式word/media/image247.wmf= 。

8.（2016陕西校级三模）分解因式:word/media/image248.wmf= 。

9.（2017沂源县一模）因式分解word/media/image249_1.png的结果为 。

10.（2016春寿光市期末）计算：word/media/image250_1.png= 。

11.（2015秋孟津县期末）简便计算：word/media/image251_1.png= 。

12.（2017春宜兴市期中）把多项式word/media/image252_1.png提出一个公因式word/media/image253_1.png后，另一个因式是 。

13.（2016安徽模拟）已知长和宽分别为word/media/image254_1.png的长方形，其面积等于15，周长等于16，则word/media/image255_1.png= 。

14.（2016北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 。

16.（2015秋黄山期末）若word/media/image256_1.png，word/media/image257_1.png，则word/media/image258.wmf的值为 。

17.（2016秋望谟县期末）已知word/media/image259_1.png，word/media/image260_1.png，则word/media/image261_1.png的值为 。

18.（2017春临泽县校级期中）若word/media/image262_1.png，word/media/image263_1.png，则word/media/image264_1.png的值为 。

19.（2017秋越秀区期末）化简：word/media/image265_1.png= 。

三、解答题。

1.（2015春乐平市期末）若word/media/image266_1.png，word/media/image267_1.png。求word/media/image268.wmf的值。

2. 用提公因式法将下列各式分解因式：

（1）word/media/image269.wmf （2）word/media/image270_1.png

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