中考数学复习题及答案
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式和直线AB的解析式即可；
（2）可得E（m，），C（m，﹣m+4）．表示出EC的长，根据EC＝CD可得出关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（3）在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．证明△M′OD′∽△D′OB，即可求解．
【解答】解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E（m，），C（m，﹣m+4）．
∴EC＝＝
．
∵点C是DE的中点，
∴．
解得：m＝2，m＝4（舍去）．
∴ED＝OB＝4，
∴四边形ODEB为矩形．
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上 取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．
∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，
∴OD′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′＝∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴．
∴．
∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+
D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝
＝
．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d48f0d126cdb6f1aff00bed5b9f3f90f76c64dec.html
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