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哈师大附中2018 年高三第三次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则
=（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：首先将分式不等式转化为整式不等式，之后按照一元二次不等式的解法求得结果，注意分母不等于零的条件，之后按照交集的求解方法求得结果.
详解：解不等式，可得
，
所以集合，又
，
利用交集中元素的特征，求得，故选D.
.....................
2. 已知复数，则复数
的模为（ ）
A. 5 B. C.
D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据复数的运算法则先将复数化简，这里注意的一是乘方运算，二是除法运算，三是乘法运算，之后借助于复数模的定义求得结果.
详解：由题意知
，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，在解题的过程中，要明确复数的运算法则，将复数化简，之后应用复数模的定义求得结果.
3. 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，
若已知,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（ ）
A. 0.85 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.15
【答案】D
【解析】分析：首先利用正态分布的性质，可以确定其概率密度曲线关于直线对称，从而得知
，再根据
，可以确定
，最后利用概率的性质求得结果.
详解：根据题意，结合正态分布的性质，可知，
从而求得，故选D.
点睛：该题考查的是有关正态分布的概率问题的求解问题，在解题的过程中，需要明确概率密度曲线的轴对称性，再结合其总体为1，所以对称轴两边各占0.5，再减去已知的，剩下的就是要求的.
4. 已知等比数列的前
项和为
,若
，则
=（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 1
【答案】A
【解析】分析：首先根据数列的前项和的特征，将
之间的关系，可以转化为
详解：根据，可以求得
与
的倍数关系，根据等比数列的性质，求得
，从而求得
的值.
，即
，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，最后要求的结果是第四项，而已知数列的首项，所以可以得知下一步的任务应该去求有关公比所满足的条件，根据题中所给的式子，从而求得，而根据
，从而求得最后的结果.
5. 已知，则
=（ )
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到，之后将其平方，求得
，利用正弦的倍角公式求得结果.
详解：因为，所以
，
将式子两边平方得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是三角函数求值问题，在解题的过程中，需要应用余弦的差角公式将其拆开，化简，得到，根据结论同角的正余弦值的和、差、积是知一求二的，途径就是平方，之后借助于平方关系，进而求得
.
6. 非零向量满足;
,则
与
夹角的大小为（ ）
A. 135° B. 120° C. 60° D. 45°
【答案】A
【解析】分析：首先根据向量的数量积等于零，将其展开，得到与
的关系，再根据向量的模相等，可以求得
与
的关系，两式联立可以求得
，再根据两个向量夹角余弦值的公式
，求得其夹角的余弦值为
，结合角的范围，确定出角的大小.
详解：因为，即
，
因为，可得
，
整理可得，所以有
，
设与
的夹角为
，
则有
，
又因为，所以
，故选A.
点睛：该题考查的是有关向量所成角的余弦值，方法就是应用公式求解：向量的数量积比上模的乘积即为结果，在求解的过程中，需要去判断式子中所涉及到的量的关系，应用题中的条件，求得两个向量的模之间的关系，从而最后求得结果.
7. 下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，分析还原几何体，如果是特殊的几何体，那就直接应用体积公式求得结果，如果是不规则的几何体，需要对几何体进行加工，采用割补法，将其转化为特殊的几何体来完成，最后代入体积公式，求得结果.
详解：根据题中所给的几何体的三视图，可知其可以由正方体切割而成，
最后切割的结果为底面是完整的，其余两个顶点分别是正对内侧的两条竖直方向的棱中点和端点，
在求其体积时，过底面的对角线竖直方向切开，切为一个四棱锥和一个三棱锥，
最后求得体积，故选B.
点睛：该题考查的是根据三视图研究几何体的特征的问题，这类问题解决的通法就是还原几何体，之后应用体积公式进行求解即可得结果，并且大多数几何体都可以放到正方体中来研究，即题中所涉及的几何体是由正方体切割而成的，用减法算也可以，如果直接求，就需要切割为一个四棱锥和一个三棱锥来完成.
8. 已知实数满足
,则函数
存在极值的概率为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：首先分析三次函数无极值的条件，即为导数大于等于零恒成立，找出对应的范围，注意到题中所给的的范围，从而可以确定该题为几何概型，利用定积分求得阴影的面积，之后应用概率公式求得结果，注意此时我们所求的是无极值的概率，而题中要求的是有极值的概率，还需要做减法运算.
详解：函数的导数
，
若函数无极值，则恒成立，
即，即
，
作出不等式对应的平面区域如图所示：
则阴影部分的面积为，
则由几何概型的概率公式，
可得函数无极值的概率为
，
所以函数有极值的概率为
，故选A.
9. 执行下面的程序框图，若输入的值分别为1,2,输出的
值为4,则
的取值范围为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：首先分析框图，明确程序框图所解决的问题是什么，确定为对数列求和之后，看看是什么样的数列，还有就是再看看对应的和都是多少，再去分析循环的次数，必须保证循环几次就不能往后走了，同时得需要保证能运行到此处，从而就能够确定出对应参数的取值范围.
详解：根据题中所给的程序框图，
可以判断出，根据判断框里的条件，
就要求，
从而求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关程序框图中有关参数范围的问题，在求解的过程中，要时刻关注着循环的次数，要做到不多不少，再结合对应数列的和的问题求得结果.
10. 已知点 ，
分别是双曲线
：
（
，
）的左、右焦点，
为坐标原点，点
在双曲线
的右支上，
，
的面积为
，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线
的方程为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据题的条件，可以断定对应的焦点三角形为直角三角形，之后利用焦点三角形的面积公式求得的值，再结合条件双曲线的两条渐近线垂直，得到其为等轴双曲线，从而求得双曲线的方程.
详解：根据题中条件，可以断定
，
根据焦点三角形面积公式可得，可以确定
，
又因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，可知该双曲线是等轴双曲线，
所以双曲线的方程为，故选B.
点睛：该题考查的是有关双曲线的方程的求解问题，该题涉及到的知识点有直角三角形的外心在斜边中点、焦点三角形的面积公式、渐近线垂直的条件等，根据这些条件，可以确定出双曲线方程中所涉及到的有关量，从而求导结果.
11. 棱长为2的正方体中，
为棱
中点，过点
，且与平面
平行的正方体的截面面积为（ ）
A. 5 B. C.
D. 6
【答案】C
【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.
详解：取BC中点M，取中点N，则四边形
即为所求的截面，
根据正方体的性质，可以求得，
根据各边长，可以断定四边形为菱形，
所以其面积，故选C.
点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果.
12. 已知函数，函数
有四个不同的零点，从小到大依次为
则
的取值范围为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析，将函数的大致图像画出来，可以判断出函数有四个零点时对应参数的范围，并且可以断定有两个正根，两个负根，以及两个负根和为定值，从而确定出其积的取值范围，两个正根可以解方程，之后用两根和来断定，最后根据题的条件，确定出其取值范围.
详解：根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，
可知要使函数有四个不同的零点，则有
，
并且有，且
，
从而可以确定，
令，则有
，
从而有，所以有
，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点由函数图像的对称性，对勾函数图像的走向，函数零点个数向向函数图像交点个数靠拢，总之要想最对改题目，必须将基础知识抓牢.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 过抛物线的焦点
的直线与抛物线
交于
两点，若弦
中点到
轴的距离为5,则
= __________．
【答案】12.
【解析】分析：首先利用题的条件求得弦的中点到抛物线的准线的距离，之后分别从弦的端点向抛物线的准线作垂线，利用梯形的中位线等于上下底边和的一半，再结合抛物线的定义求得焦点弦长.
详解：根据题意可知，抛物线的准线方程为
，
从而可以确定弦的中点到抛物线的准线的距离等于，
此时分别从两点向准线作垂线，垂足为
，
根据梯形中位线的性质，可知，
根据抛物线的定义，可知，故答案是12.
点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，在求解的过程中，要求我们时刻关注抛物线的定义，从而求得结果，这里需要借助于梯形的中位线的长度公式，再者就是到坐标轴的距离转化为到准线的距离这是关键的一步.
14. 设满足约束条件
,则
的最小值为__________．
【答案】-2.
【解析】分析：首先根据约束条件画出可行域，根据截距型目标函数变形为，根据
的几何意义，可知直线越往上，
就越小，从而确定出在直线过哪个点时截距最大，从而确定出最优解是谁，联立求得结果，代入求得目标函数的最小值.
详解：根据约束条件画出相应的可行域，可知其为一个封闭的三角形区域，
由，可得
，
根据的几何意义，
可以确定其在直线和直线
的交点处取得最小值，
由解得
，
代入求得，从而确定出最小值为
.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意解题步骤，首先要画出可行域，之后是根据目标函数的形式，来断定其为哪种类型，式子的形式有整式型、分式型和平方和型，对应着截距、斜率和距离，根据不同的形式，找出最优解的位置，代入求得结果.
15. .已知数列满足
.记
，则数列
的前
项和
=__________．
【答案】.
【解析】分析：首先从题中所给的递推公式推出数列成等差数列，利用等差数列的通项公式求得
，代入题中的条件，可以求得
，可以发现
是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，用错位相减法求和即可得结果.
详解：由得
，
所以数列是以
为首项，以
为公差的等差数列，
所以，即
，
记，则
（1），式子两边都乘以2得
（2），两式相减得：
所以，故答案为
.
点睛：该题考查的是有关数列求和的问题，涉及的知识点有由倒数型的递推公式通过构造等差数列求得通项公式，以及错位相减法求和，在操作的过程中，需要时刻保持头脑清醒，再者就是在求和时，涉及到等比数列求和时，一定要分清项数.
16. 已知定义在上的函数
满足:①
在
上为增函数;若
时，
成立，则实数
的取值范围为__________．
【答案】.
【解析】分析：首先根据，得到函数
的图像关于直线
对称，再由其在
上为增函数，推出其在
上是减函数，得到函数随着自变量的变化，函数值的变化趋势，从而利用
，得到
，化简求值即可得结果.
详解：根据题意，可知函数的图像关于直线
对称，
因为其在上为增函数，则在
上是减函数，
并且距离自变量离1越近，则函数值越小，
由可得，
，化简得
，
因为，所以
，
所以该不等式可以化为，
即不等式组在
上恒成立，
从而有，解得
，故答案为
.
点睛：该题是对有关函数的性质的综合考查，涉及的知识点有函数图像的对称性，函数图像的单调性，函数值的大小与自变量的大小的关系，绝对值不等式的解法，以及不等式在某个区间上恒成立的问题，注意对不等式的转化，找到相应的不等式组，从而可以求得结果.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数
,直线
是函数
图像的一条对称轴。
(I)求函数的解析式及单调递增区间;
(Ⅱ)在中，已知
,求
边长
【答案】(1) .
(2)b=4.
【解析】分析：第一问利用向量的数量积坐标公式，求得函数解析式，并利用辅助角公式化简，之后借助于是函数
图像的一条对称轴，得到
所满足的关系式，结合题中所给的
的取值范围，最后确定出
的值，从而确定出函数解析式，借助于正弦型函数的单调区间的求法求得结果；第二问涉及到解三角形问题，可以用正弦定理求，也可以用余弦定理求解.
详解：（1）
是函数
图像的一条对称轴
，
的增区间为：
（2）
（方法一）
在中，由余弦定理：
（方法二）由（1）知
在中，由正弦定理：
点睛：该题考查的是有关三角问题，在求解的过程中，函数的解析式是以向量的数量积给出的，所以要熟悉向量数量积的坐标运算式，之后需要用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的解题思路解题，对于第二问，在求解的过程中，可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，都需要将用到的条件理全.
18. 哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数(满分150分),每个班级20名同学,现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示:
(I)根据基叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数,并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；
(Ⅱ)根据基叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)
(Ⅲ)若规定分数在的成绩为良好，分数在
的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样,共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率.
【答案】(1)见解析.
(2) 乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；
甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度.
(3) .
【解析】分析：第一问首先要明确中位数的概念，按照所给的茎叶图，按大小排序，找到第10个数与第11个数，之后取两数的平均数，即为所求结果，再按照茎叶图中所给的数据，取判断落在相应范围内的数据的频率，补全直方图即可，第二问平均水平通过平均分比较，分散程度通过方差比较即可，第三问通过题中所给的条件，将对应的基本事件以及满足条件的基本事件找对，就能正确求得对应事件的概率.
详解：（1）甲班数学分数的中位数：
乙班数学分数的中位数：
（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；
甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度.
（3）有频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，
若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，
设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A
则
所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为.
点睛：该题考查的是有关概率统计的问题，在求解的过程中，需要注意中位数的概念，要明白直方图的意义，会看茎叶图，平均水平是由平均值的大小衡量的，分散程度是由方差来衡量的，还有随机事件发生的概率应该会求，再者就是会应用相应的组合数找出对应事件的个数.
19. 已知等腰直角分别为
的中点，将
沿
折到
的位置,
,取线段
的中点为
.
(I)求证://平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值
【答案】(1)见解析.
（2）.
【解析】分析：第一问首先思考三角形翻折到什么程度，之后借助三角形的中位线找到平行线，之后利用线面平行的判定定理得到线面平行，证得结果；第二问利用图中特殊的线，建立相应的空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用法向量所成角的余弦值来确定二面角的余弦值.
详解：(1)证明：
取中点
，连接
又
四边形
为平行四边形
面
面
,面
面
面
面
面
又
两两互相垂直
如图所示,
分别以为
轴建立空间直角坐标系
则
设平面,平面
的法向量分别为
则
取
取
二面角
的平面角的余弦值为
.
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，一是空间关系的证明，利用平面几何中常见的平行线来找到面的一条直线与面外的直线平行，利用线面平行的判定定理证得结果，在书写的时候要注意定理的条件要写全，二是二面角的余弦值，利用法向量所成角的余弦值求得结果.
20. 已知椭圆的右焦点为
,点
为椭圆
上的动点，若
的最大值和最小值分别为
和
.
(I)求椭圆的方程
(Ⅱ)设不过原点的直线与椭圆
交于
两点,若直线
的斜率依次成等比数列,求
面积的最大值
【答案】(1) .
(2)1.
【解析】分析：第一问根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是和
，结合已知条件，建立关于
的方程组，从而求得
的值，借助于椭圆中
之间的关系，求得
的值，从而求得椭圆的方程；第二问设出直线的方程，将其与椭圆联立，写出两根和与两根积，根据条件，确定出斜率的值，之后将面积转化为关于b的式子，利用二次函数的最值求得结果.
详解：（I）由已知得：
椭圆方程为
（II）设（易知
存在斜率，且
），设
由条件知：
联立(1)(2)得：
点到直线
的距离
且
所以当时：
.
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在求解的过程中，需要明确椭圆上的动点到焦点的距离的最大值和最小值分别是谁从而求得有关参数的值，并且应用椭圆中三者之间的关系，求得
的值，从而确定出椭圆的方程；之后利用直线与椭圆相交问题就需要联立方程组，需要有两个交点，从而判别式大于零这个条件不能忽视，之后借用韦达定理求得两根和与两根积，结合题的条件，最后将面积转化为
的关系，借助于二次函数的最值来求的最后的结果.
21. 已知函数在点
)处的切线方程是
.
(I)求的值及函数
的最大值
(Ⅱ)若实数满足
.
()证明:
;
()若
,证明:
.
【答案】(1) ；
.
(2)见解析.
【解析】分析：第一问利用题中所给的条件，结合导数的几何意义以及切点应该在切线上，建立关于的等量关系式，解方程组求得
的值，从而确定出函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而求导函数的最大值，第二问将问题转化，利用导数，构造函数，证得结果.
详解：（Ⅰ），
由题意有，解得
．
故，
，
，
所以
在
为增函数，在
为减函数．
故有当时，
．
（Ⅱ）证明：
（ⅰ），
由（Ⅰ）知，所以
，即
.
又因为（过程略），所以
，故
.
（ⅱ）法一：
由（1）知
法二：，
构造函数，
，
因为，所以
，
即当时，
，所以
在
为增函数，
所以，即
，故
点睛：该题所考查的是有关导数的综合应用，首先是应用导数的几何意义以及切点在切线上，建立相应的等量关系式，求得参数的值，以确定函数的解析式，从而利用导数来研究函数的单调性，从而确定出函数的最值，之后在证明不等式的时候，利用导数研究函数并构造新函数求得结果.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为:
.
(I)若曲线,参数方程为:
(
为参数)，求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程
(Ⅱ)若曲线，参数方程为
(
为参数)，
,且曲线
,与曲线
交点分别为
,求
的取值范围，
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：
曲线的普通方程为：
.
(2)
【解析】分析：第一问首先应用极坐标与平面直角坐标的转换关系，求得曲线的直角坐标方程，
之后对曲线的参数方程进行消参，求得其普通方程；第二问将曲线
的参数方程代入
的方程，得到关于
的关系式，利用韦达定理求得两个和与两根积的值，之后应用参数
的几何意义以及题中所求得的范围，最后借助于对三角函数值域的求解求得结果.
详解：（1）
曲线
的直角坐标方程为：
曲线的普通方程为：
（2）将的参数方程：
代入
的方程：
得：
由的几何意义可得：
点睛：该题所考查的是有关极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的转化，直线与曲线相交时，有关线段的长度问题与直线的参数方程中参数的几何意义，以及韦达定理的应用，并且借助于三角形函数来完成，要注意关于角的范围是通过判别式大于零所求得的.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(I)若.解不等式
(Ⅱ)若不等式对任意的实数
恒成立，求
的取值范围
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：第一问先将代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b的绝对值不等式，利用平方法求得结果.
详解：（1）
所以解集为：.
(2)
所以的取值范围为：
.
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c820b45fdb38376baf1ffc4ffe4733687e21fc85.html
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