模拟中刚性问题的若干解答

发布时间：2012-02-28 10:17:34 来源：文档文库

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模拟中刚性问题的若干解答

Matlab计算中的刚性问题：

什么是刚性问题？

在用微分方程描述的一个变化过程中，若往往又包含着多个相互作用但变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性”。描述这类过程的微分方程初值问题称为“刚性问题”。例如，宇航飞行器自动控制系统一般包含两个相互作用但效应速度相差十分悬殊的子系统，一个是控制飞行器质心运动的系统，当飞行器速度较大时，质心运动惯性较大，因而相对来说变化缓慢；另一个是控制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，相对来说变化很快，因而整个系统就是一个刚性系统。

matlab常用来进行微分运算，如果问题是设计以上所描述的情况。就同一定义为刚性问题

chemkin计算中的刚性问题：

推动“刚性问题”的研究

——评介《刚性微分方程算法理论》陈一心

　　如果说，在80年代以前，刚性问题的研究领域基本上是外国人的一统天下，那么，在80年代以后，这块领域也成了中国数学家拼搏的前沿阵地。

　　微分方程是解决科学技术与工程计算问题的重要工具，在大到航空、航天、原子弹爆炸，小到核子反应、细胞分裂等领域里都有着极为广泛的应用。但即使一个问题可用微分方程描述，解开此微分方程也往往不是易事。例如，属于“刚性问题”的一类微分方程就不太好对付。

　　什么是刚性问题？

　　在用微分方程描述的一个变化过程中，若往往又包含着多个相互作用但变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性”。描述这类过程的微分方程初值问题称为“刚性问题”。例如，宇航飞行器自动控制系统一般包含两个相互作用但效应速度相差十分悬殊的子系统，一个是控制飞行器质心运动的系统，当飞行器速度较大时，质心运动惯性较大，因而相对来说变化缓慢；另一个是控制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，相对来说变化很快，因而整个系统就是一个刚性系统。又如，由三种物质A、B、C参加的一个化学反应，其反应过程如下：

　　A0．004B（慢）

　　B＋B3×l07C＋B（很快）

　　B＋C104A＋C（快）

　　由于各子过程的化学反应速度相差十分悬殊，这一化学反应也是具有刚性的。诸如此类的例子还有很多，用来描述这些过程的微分方程初值问题都是刚性问题。

　　随着现代科学技术特别是高新技术的发展我们所遇到的刚性问题越来越多。

　　刚性问题解答的难度就在于其快变子系统的干扰，当我们试图在慢变区间上求解刚性问题时，尽管快变分量的值已衰减到微不足道，但这种快速变化的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度，给整个计算带来很大的实质性的困难。

　　对于这类现代数学研究的前沿疑难问题，国外数学界很早就展开了进攻，并取得了较好的战果。例如，在本世纪60年代，围绕刚性微分方程算法的线性稳定性，国外数学家就引入了A－稳定、A（α）－稳定及Stiff稳定等概念及理论，推进了线性刚性问题的研究，但这些理论毕竟是属于线性理论的范畴，对于非线性刚性问题算法的稳定性分析不能奏效。为了填补这一片巨大的理论空白，70年代，国外学者又建立了“非线性稳定性分析”、龙格———库塔方法的B－稳定及代数稳定理论、龙格———库塔方法的B－收敛理论，B－稳定与B－收敛理论又统称为B－理论。B－理论的创立是近20年来常微分方程数值解法研究领域中的巨大成就之一，是刚性问题算法理论的突破性进展，标志着刚性问题研究从线性向非线性情形的深入发展。但是，B－理论也并非尽善尽美，与定量收敛分析的理想目标仍相距甚远。于是，人们对龙格———库塔法的B－理论展开了新一轮的探索。

　　如果说，在80年代以前，刚性问题的研究领域基本上是外国人的一统天下，那么，在80年代以后，这块领域也成了中国数学家拼搏的前沿阵地。随着科学春天的到来，我国一大批数学工作者进攻刚性问题，湘潭大学的李寿佛教授，便是其中的佼佼者，他是我国第一个对非线性刚性微分方程算法问题进行系统研究的专家，是我国该领域研究的学术带头人之一，在该领域里硕果累累。

　　1997年元月，李寿佛教授的专著《刚性微分方程算法理论》一书在湖南科学技术出版社出版，该书成为我国学者第一部系统论述刚性问题的专著。

　　细细研读此书，我们看到：

　　一、作者建立了新的B－理论

　　前文已述，由国外学者建立的B－理论，虽然将刚性问题研究从线性推进到非线性情形，但仍非尽善尽美，其局限性较大，如仅限于R－K方法，仅限于有限维欧氏空间，仅限于使用单边李普希茨常数，等等，作者于1988年就希尔伯特空间中刚性问题的一般多值方法建立了新的B－理论；1990年又将新理论进一步发展到巴拿赫空间及其非线性方法。这就从根本上克服了原来B－理论的一系列严重缺陷，彻底打破了上述多重局限，把研究推进到无穷维空间及非线性一般多值方法的浩瀚海洋。国外计算数学权威曾把一般多值方法比作海洋，R－K算法比作小岛，他们早就呼吁为整个海洋建立B－理论，作者率先实现了国外专家一直未能实现的这一目标。

　　二、建立了弱代数稳定理论

　　1988年，作者首先就一般多值方法建立了（k，p，q）－稳定理论及弱代数稳定准则，从实质上改进和扩张了Burrage和Butcher的著名代数稳定理论，为建立新的B－理论奠定了牢固基础。

　　三、开辟了巴拿赫空间中稳定性分析的统一途径

　　四、获得了希尔伯特空间隐多级多值高阶导数方法的可行性条件

　　五、构造了一系列新的高效算法

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　　《刚性微分方程算法理论》中的新鲜成果还可列出许多来，在这部专著问世之前，其中的一部分内容便以论文的形式公诸于国内外数学界，翻开该书的参考文献，可以看出，作者在《中国科学》、《Math．Comput》、《科学通报》、《J．Comput．Appl．Math》、《计算数学》及《JCM》等国内外著名刊物上发表该领域的系统性论文50多篇，他还多次在国际会议上作学术报告。据统计，作者已经发表的50多篇论文中，已见于美国Math．Rev的18篇，已见于德国Zbl．Math的17篇；被国际著名刊物引用，并收入国际权威检索刊物SCI的9篇。

　　对于《刚性微分方程算法理论》中所包含的成果，中国科学院院士石钟慈教授、中国科学院院士林群教授及其他国内外专家作出了很高的评价：（李寿佛教授的研究成果）“突破了现有理论的局限，为寻找更有效的新算法提供了有力数学工具，该项工作具有国际水平”；（该书）“统一了国际上已有的许多成果，为非线性刚性问题研究提供了最一般的理论框架，为进一步的研究工作开创了途径”，“……从以上描述足可看到本书在国际上应占有的席位”；（该书）“获得了一系列富有创造性更具普适性的理论结果和优秀算法，具有重大的影响及深远的理论和实用价值，是国内外一流水平成果，与当前国内外同类研究成果相比更广、更深，为非线性刚性问题数值方法研究开创了崭新局面。该项成果达到了国际先进水平”。