2019 年四川省成都市邛崃市中考数学二诊试卷

一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 实数 7 的相反数是（ ）

A． B．﹣ C．﹣7 D．7 2．二次根式中 x 的取值范围是（ ）

A．x≥0 B．3 C．x≥3 D．x≤﹣3 3．计算 3ab2﹣4ab2 的结果是（ ）

A．﹣ab2 B．ab2 C．7ab2 D．﹣1

4. 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长 55 千米，设计时速 100 千米/小时，工程项目总投资额 1269 亿元， 用科学记数法表示 1269 亿元为（ ）

A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011

5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则 sinB 的值等于（ ）

A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中．点 P（1，﹣2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）

A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1） 7．图中三视图对应的正三棱柱是（ ）

A. B．

C． D．

8. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了 30 名同学，结果如下表：

则这 30 名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）

A．15、15 B．20、17.5 C．20、20 D．20、15

9. 在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，下列说法错误的是（ ）

A．AB∥DC B．OC＝OB C．AC⊥BD D．OA＝OC

10. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC 交于点 P，OP＝4，则⊙O 的半径为（

）

A．8 B．12 C．8 D．12

二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡上）

11．（4 分）分解因式：3a2+a＝ ．

12．（4 分）二次函数 y＝2x2﹣12x+13 的最小值是 ．

13．（4 分）如图，将矩形 ABCD 沿 BD 翻折，点 C 落在 P 点处，连结 AP．若∠ABP＝26°，那么∠ APB＝ ．

14．（4 分）已知点 A 为双曲线 y＝ 图象上的点，点 O 为坐标原点，过 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连

接 OA，若△AOB 的面积为 6，则 k＝ ．

三、解答题（本大题 6 小题，共 54 分）

15．（12 分）（1）计算：（﹣2）﹣2﹣ sin45°．

（2）解方程组：．

16．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD 的高 DH．

17．（8 分）某市开展一项全民健身跑步运动，线路需经 A、B、C、D 四地，如图，其中 A、B、C 三地在同一直线上，D 地在 A 地北偏东 30°方向，在 C 地北偏西 45°方向上，C 地在 A 地北偏东 75°方向上，且 BC＝CD＝10km，问：沿上述线路从 A 地到 D 地的路程大约是多少？

（结果保留 1 位小数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，，

）

18．（8 分）现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1） 写出 a、b、c、d 的值并补全频数分布直方图；

（2） 本市约有 58000 名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过 12000 步（包含 12000 步） 的教师有多少名？

（3） 若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的频率．

19．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，长方形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x

轴、y 轴上，点 B 的坐标为（2，3），双曲线 y＝（x＞0）的图象经过线段 BC 的中点 D．

（1） 求双曲线的解析式；

（2） 若点 P（x，y）在分比例函数的图象上运动（不与点 D 重合），过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q， 记△CPQ 的面积为 S，求 S 关于 x 的解析式，并写出 x 的取值范围．

20．（10 分）如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 H，连接 BC，过上一点 E 作 EF∥BC

交 BA 的延长线于点 F，CE 交 AB 于点 G，∠FEG＝∠FGE，CD 延长线交 EF 于点 K．

（1） 求证：EK 是⊙O 的切线；

（2） 求证：；

（3） 若 ， ， 求 DK 的 值 ．

四、填空（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）

21．（4 分）已知一元二次方程 x2﹣4x﹣3＝0 的两根为 m，n，则 m2﹣mn+n2＝ ．

22．（4 分）2019 年 2 月上旬某市空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）如下表所示，空气质量指数不大于 100 表示空气质量优良

如图小王 2 月上旬到该市度假一次，那么他在该市度假 3 天空气质量都是优良的概率是 ．

23．（4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，以 CD 为直径的半圆 O 与 AB 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

24．（4 分）如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC＝4，BC＝6，P 是 BC 边上的一动点（P 不与点 B、C 重合），连接 AP，∠B＝∠APE，边 PE 与 AC 交于点 D，当△APD 为等腰三角形时，则 PB 之长为 ．

25．（4 分）如图，点 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，点 P 从点 B 出发沿 BE→ED→DC 运动到点C 停止，点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止，它们运动的速度都是 1cm/s．点 P、Q 同时开始运动，设运动时间为 t（s），△BPQ 的面积为 y（cm2），已知 y 与 t 之间的函数图象如图 2 所示，给出下列结论：①当 0＜t≤10 时，△BPQ 是等腰三角形；②S△ABE＝24cm2；③当 14＜t＜22 时，y＝100﹣6t；④在运动过程中，使得△ABP 是等腰三角形的 P 点一共 3 个；⑤当△BPQ 与△ BEA 相似时，t＝14.5，其中正确结论的序号是 ．

五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

）

26．（8 分）某健身馆普通票价为 40 元/张，6﹣9 月为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价 1200 元/张，每次凭卡不再收费．

②银卡售价 300 元/张，每次凭卡另收 10 元．

普通票正常出售，两种优惠卡仅限 6﹣9 月使用，不限次数．设健身 x 次时，所需总费用为 y 元．

（1） 分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；

（2） 在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出 A、B、C 的坐标；

（3） 请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

27．（10 分）在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，将△COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为 θ（0°＜θ＜90°），连接 AC1、BD1，AC1 与 BD1 交于点 P

（1） 如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，求证：∠AC1O＝∠BD1O

（2） 如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，AC＝6，BD＝8，设 AC1＝kBD1．判断 AC1 与 BD1 的位置关系，说明理由，并求出 k 的值

（3） 如图 3，若四边形 ABCD 是平行四边形，AC＝6，BD＝12，连接 DD1，设 AC1＝kBD1．求 AC

+（kDD1）2 的值．

28．（12 分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣7，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，顶点坐标为 M．

（1） 求抛物线的表达式和顶点 M 的坐标；

（2） 如图 1，点 E（x，y）为抛物线上一点，点 E 不与点 M 重合，当﹣7＜x＜﹣2 时，过点 E 作 EF∥x 轴，交抛物线的对称轴于点 F，作 EH⊥x 轴与点 H，得到矩形 EHDF，求矩形 EHDF 的周长的最大值；

（3） 如图 2，点 P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使以点 P、A、C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2019 年四川省成都市邛崃市中考数学二诊试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：7 的相反数是﹣7， 故选：C．

【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2. 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围．

【解答】解：由题意知 x﹣3≥0， 解得：x≥3，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

3. 【分析】利用合并同类项的法则解答．

【解答】解：原式＝（3﹣4）ab2＝﹣ab2 故选：A．

【点评】考查了合并同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

4. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．

【解答】解：1269 亿＝126 900 000 000＝1.269×1011，

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|

＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

5. 【分析】根据勾股定理，可得 AB 的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．

【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得

AB＝ ＝5．

sinB＝ ＝， 故选：C．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

6. 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．

【解答】解：点 P（1，﹣2）关于 x 轴的对称点的坐标是（1，2）， 故选：A．

【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

7. 【分析】利用俯视图可淘汰 C、D 选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰 B，从而判断 A 选项正确．

【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方， 于是可判定 A 选项正确．

故选：A．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．

8. 【分析】利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于随机调查了 20 名同学，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第 15 个与第 16 个数的平均数．

【解答】解：∵童老师随机调查了 30 名同学，

∴x＝30﹣2﹣5﹣8﹣6＝9，

∵20 出现了 9 次，它的次数最多，

∴众数为 20．

∵随机调查了 30 名同学，

∴根据表格数据可以知道中位数＝（15+20）÷2＝17.5，即中位数为 17.5． 故选：B．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生

往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求， 如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

9. 【分析】根据菱形的性质即可判断．

【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC， 故 A，C，D 正确，

故选：B．

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

10. 【分析】连接 OA，OC，由同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍可得∠AOC＝120°，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝30°，由直角三角形的性质可求 AO 的长．

【解答】解：连接 OA，OC

∵∠B＝60°，∠AOC＝2∠B

∴∠AOC＝120°

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∵OP⊥AC，且∠OAC＝30°

∴AO＝2OP＝2×4 ＝8 故选：C．

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，熟练运用圆的有关知识是本题的关键．

二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡上）

11. 【分析】观察发现有公因式 a，直接提取可得．

【解答】解：3a2+a＝a（3a+1）．

【点评】本题考查了提公因式法分解因式，是基础题，提取公因式 a 即可．

12. 【分析】把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．

【解答】解：y＝2x2﹣12x+13＝2（x﹣3）2﹣5， 当 x＝3 时，函数值 y 有最小值，最小值为﹣5， 故答案为﹣5．

【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．

13. 【分析】根据轴对称的性质和矩形的性质可以得出 AB＝DP，AP∥BD，进而得出∠APB 的度数

．

【解答】解：∵△BDC 与△BDE 关于 BD 对称，

∴△BDC≌△BDP，

∴BP＝BC，DP＝DC，∠DBP＝∠DBC．

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AB＝CD＝DP，AD＝BC＝BP，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠PBD＝∠ADB，

∴BF＝DF，

∴BP﹣BF＝AD﹣DF，

∴AF＝PF，

∴∠FAP＝∠FPA，

∵∠AFP＝∠BFD，

∴2∠PAF＝2∠ADB，

∴∠PAF＝∠ADB，

∴AP∥BD，

∴∠APB＝∠PBD，

∵∠ABP＝26°，

∴∠CBD＝∠DBP＝ （90°﹣26°）＝32°， 则∠APB＝32°．

故答案为：32°．

【点评】本题考查了矩形的性质的运用、轴对称的性质的运用、平行线的性质的运用、等腰三角形的性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．

14. 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可以设点 A 的坐标为（x，）；然后根据三角形

的面积公式知 S△AOB＝|x|•||＝6，据此可以求得 k 的值．

【解答】解：∵点 A 为双曲线 y＝图象上的点，

∴设点 A 的坐标为（x，）； 又∵△AOB 的面积为 6，

∴S△AOB＝ |x|•||＝6，即|k|＝12， 解得，k＝12 或 k＝﹣12；

故答案是：12 或﹣12．

【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义．过双曲线上的任意一点向 x 轴作垂线，与坐

标轴围成的三角形的面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

三、解答题（本大题 6 小题，共 54 分）

15. 【分析】（1）根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值定义，把原式转化为实数的运算，计算求值即可，

（2）利用加减消元法解之即可．

【解答】解：（1）（﹣2）﹣2﹣ sin45°

＝（﹣8）+9﹣2×

＝﹣8+9﹣2

＝﹣1，

（2 ，

②×2﹣①得：

y＝﹣5，

把 y＝﹣5 代入②得： x﹣15＝8，

解得：x＝23，

∴原方程组的解为：．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）正确掌握负整数指数幂的计算，特殊角的三角函数值，实数的运算顺序，（2） 正确掌握解二元一次方程组的方法．

16. 【分析】首先求出 AB，再利用 AB•DH＝AC•BD，即可解决问题．

【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，DH⊥AB，

∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，

∴在 Rt△AOB 中，AB＝，

∴AB•DH＝ AC•BD，

∴10•DH＝ ×16×12，

∴DH＝9.6．

【点评】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

17. 【分析】过 D 作 DM⊥AC 于 M，根据题意得到△BCD 为等边三角形，根据余弦的定义计算， 得到答案．

【解答】解：过 D 作 DM⊥AC 于 M， 则∠DAM＝45°，∠DCM＝60°，

∴△BCD 为等边三角形，

∴BD＝BC＝CD＝10，

∵DM⊥AC，

∴CM＝BM＝5，

∴AM＝DM＝CD•cos∠DCM＝10×sin60°≈8.5，

∴AM+MC+CD＝8.5+5+10＝23.5

答：从 A 地到 D 地的路程大约是 23.5km．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

18. 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得答案；

（2） 用样本中超过 12000 步（包含 12000 步）的频率之和乘以总人数 58000 可得答案；

（3） 画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）a＝50×0.16＝8，b＝50×0.24＝12，c＝10÷50＝0.2，d＝2÷50＝0.04， 补全直方图如下：

（2）估计日行步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有 58000×（0.2+0.06+0.04）＝17400（ 人）；

（3）设步数为 16000≤x＜20000 的 3 名教师分别为 A、B、C，步数为 20000≤x＜24000 的 2 名教师分别为 X、Y，

画树状图如下：

由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率为＝．

【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．

19. 【分析】（1）首先根据题意求出 C 点的坐标，然后根据中点坐标公式求出 D 点坐标，由反比

例函数 y＝（x＞0）的图象经过线段 BC 的中点 D，D 点坐标代入解析式求出 k 即可；

（2）分两步进行解答，①当 P 在直线 BC 的上方时，即 0＜x＜1，如图 1，根据 S△CPQ＝CQ•PQ

列出 S 关于 x 的解析式，②当 P 在直线 BC 的下方时，即 x＞1，如图 2，依然根据 S△CPQ＝PQ

• CQ 列出 S 关于 x 的解析式．

【解答】解：（1）∵长方形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（2，3），

∴C（0，3），

∵D 是 BC 的中点，

∴D（1，3），

∵反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 D，

∴k＝4，

∴双曲线的解析式为 y＝；

（2）当 P 在直线 BC 的上方时，即 0＜x＜1，

如图 1，∵点 P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，

∴y＝，

∴S△PCQ＝ CQ•PQ＝ x•（﹣3）＝﹣x（0＜x＜1），

当 P 在直线 BC 的下方时，即 x＞1，如图 2，同理求出 S△PCQ＝PQ•CQ＝ x•（3﹣）＝ x﹣

2（x＞1），

综上 S＝ ．

【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答（2）问的函数解析式需要分段求，此题难度不大．

20. 【分析】（1）欲证明 EK 是⊙O 的切线，只要证明 OE⊥EF 即可．

（2） 想办法证明△BGE∽△BEF，即可解决问题．

（3） 设 OB＝r，在 Rt△OBH 中，利用勾股定理求出 r，证明∠K＝∠BCH，可得， 由此构建方程即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接 OE，

∴CO＝OE，∠OCE＝∠OEC

∵∠FEG＝∠FGE＝∠CGH，

∴∠FEG＝∠CGH，

∵CH⊥AB，

∴∠CGH+∠GCH＝90°，

∴∠OEC+∠FEC＝90°，

∴OE⊥EF，

即 EK 是⊙O 的切线．

（2） 证明，在△ABE 和△GBE 中，

∵CH⊥AB，

∴，

∴∠CEB＝∠CBA， 又∵BC∥EF，

∴∠CBA＝∠F，

∴∠CEB＝∠F，

∵∠FBE＝∠FBE，

∴△BGE∽△BEF，

∴，

（3） 连接 OB，

设 OB＝r

∵BC∥EF，∠F＝∠CBH，

∴，

∵ ，，

∴，，

在 Rt△HOB 中，（r﹣CH）2+HB2＝r2，

∴，

在△OEK 中，∵CB∥EK

∴∠K＝∠BCH，

∴ ，

word/media/image85.gif∴，

【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

四、填空（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）

21. 【分析】由 m 与 n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出 m+n 与 mn 的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．

【解答】解：∵m，n 是一元二次方程 x2﹣4x﹣3＝0 的两个根，

∴m+n＝4，mn＝﹣3，

则 m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝16+9＝25． 故答案为：25．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

22. 【分析】根据表格中的数据和题意可以求得 3 天空气质量都是优良的概率．

【解答】解：由表格可得，

所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6

，7，8），（7，8，9），（8，9，10），

∴小王在该市度假 3 天空气质量都是优良的概率是， 故答案为：．

【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

23. 【分析】如图，连接 OE，利用切线的性质得 OD＝4，OE⊥AB，易得四边形 OEAD 为正方形， 先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OEAD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 AE、AD 所围成的面积， 然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．

【解答】解：连接 OE，如图，

∵以 CD 为直径的半圆 O 与 AB 相切于点 E，

∴OD＝4，OE⊥BC，

易得四边形 OEAD 为正方形，

∴由弧 DE、线段 AE、AD 所围成的面积＝，

∴阴影部分的面积：，

故答案为：4π．

【点评】本题是求图形的面积，考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．求图形的面积时，往往需要把不易求图形的面积转化为容易求面积的图形进行计算，学会这种转化思想很重要．

24. 【分析】需要分类讨论：①当 AP＝PD 时，易得△ABP≌△PCD．②当 AD＝PD 时，△ABC∽△ DAP，结合相似三角形的对应边成比例求得答案．③当 AD＝AP 时，点 P 与点 B 重合．

【解答】解：①当 AP＝PD 时，则△ABP≌△PCD，则 PC＝AB＝4，故 PB＝2．

②当 AD＝PD 时，△ABC∽△DAP，PA＝PC，

∴＝＝，即 PC＝．

∴PB＝ ．

③当 AF＝AP 时，点 P 与点 B 重合，不合题意．

综上所述，PB 的长为 2 或． 故答案是：2 或．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质， 熟练掌握性质定理是解题的关键．

25. 【分析】①由图象可知，点 Q 到达 C 时，点 P 到 E 则 BE＝BC＝10，ED＝4，当 0＜t≤10 时，

BP 始终等于 BQ 即可得出结论；

②由△BPQ 的面积等于 40 求出 DC 的长，再由 S△ABE＝ ×AB•AE 即可得出结论；

③当 14＜t＜22 时，由 y＝•BC•PC 代入即可得出结论；

④△ABP 为等腰三角形需要分类讨论：当 AB＝AP 时，ED 上存在一个符合题意的 P 点，当 BA＝ BP 时，BE 上存在一个符合题意的 P 点，当 PA＝PB 时，点 P 在 AB 垂直平分线上，所以 BE 和 CD 上各存在一个符合题意的 P 点，即可得出结论；

⑤由当＝或＝时，△BPQ 与△BEA 相似，分别将数值代入即可得出结论．

【解答】解：①由图象可知，点 Q 到达 C 时，点 P 到 E 则 BE＝BC＝10，ED＝4，

∵它们运动的速度都是 1cm/s．点 P、Q 同时开始运动，

∴当 0＜t≤10 时，BP 始终等于 BQ，

∴△BPQ 是等腰三角形； 故①正确；

②∵ED＝4，BC＝10，

∴AE＝10﹣4＝6

t＝10 时，△BPQ 的面积等于BC•DC＝ ×10×DC＝40

∴AB＝DC＝8

∴S△ABE＝ ×AB•AE＝ ×8×6＝24； 故②正确；

③当 14＜t＜22 时，y＝•BC•PC＝ ×10×（22﹣t）＝110﹣5t

故③错误；

④△ABP 为等腰三角形需要分类讨论：

当 AB＝AP 时，ED 上存在一个符合题意的 P 点， 当 BA＝BP 时，BE 上存在一个符合题意的 P 点，

当 PA＝PB 时，点 P 在 AB 垂直平分线上，所以 BE 和 CD 上各存在一个符合题意的 P 点，

∴共有 4 个点满足题意； 故④错误；

⑤∵△BEA 为直角三角形，

∴只有点 P 在 DC 边上时，有△BPQ 与△BEA 相似， 由已知，PQ＝22﹣t，

∴当 ＝ 或 ＝ 时，△BPQ 与△BEA 相似，

分别将数值代入 ＝ 或 ＝

解得：t＝（不合题意舍去）或 t＝14.5； 故⑤正确；

综上所述，正确的结论的序号是①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定以及三角形面积公式、应用了分类讨论和数形结合的数学思想，有一定难度，读懂函数图象是解题关键．

五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

）

26. 【分析】（1）理解题目意思：健身馆普通票价为 40 元/张，没有其他费用了，健身的时间是 x 小时，那么普通的消费就可以列出来；而银卡售价 300 元/张，每次凭卡另收 10 元，健身的时间是 x 小时，那么银卡票消费也可以用一元一次方程列出来；

（2） 能够根据图象，用二次一方程组的知识求交点坐标，理解一次函数的特征，看图求坐标；

（3） 根据一次函数的特征来比较数的大小；当 x 的值为交点时，它们的费用是相同的；当小于交点的 x 值时，位于下面的函数图象，其 y 值最小；当大于交点的 x 值时，位于下面的函数图象， 其 y 值最小．

【解答】解：（1）根据题意可得：银卡消费：y＝10x+300 普通消费：y＝40x

（2）令 y＝10x+300 中的 x＝0，则 y＝300 故点 A 的坐标为（0，300），联立 解得： 故点 B 的坐标为（10，400）

令 y＝1200 代入 y＝10x+300，则 x＝90，故点 C 的坐标为（90，1200）

综上所述：点 A 的坐标为（0，300），点 B 的坐标为（10，400），点 C 的坐标为（90，1200）

（3）根据函数图象，可知：

当 0＜x＜10 时，选择购买普通票更合算；

当 x＝10 时，选择购买银卡、普通票的总费用相同； 当 x＞10 时，选择购买金卡更合算．

【点评】此题是一次函数的应用，渗透数形结合的思路、方程和函数的思想，重点考查对图象的特征的理解和看图分析图形的能力．

27. 【分析】（1）由正方形性质可得 AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD，由旋转的性质可得 OC＝OC1

＝OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD，可证△AOC1≌△BOD1，可得结论；

（2） 由菱形的性质和旋转的性质可得 OA＝OC1，OB＝OD1，∠C1OA＝∠D1OB，即可证△AOC1

∽△BOD1，可得 ，∠C1AO＝∠D1BO，即可得结论；

（3） 通过△AOC1∽△BOD1，可求 k 的值，由勾股定理可求 AC+（kDD1）2 的值．

【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形

∴AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

∵将△COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC＝OC1＝OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD

∴∠BOD1＝∠AOC1，且 AO＝BO，C1O＝D1O，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）

∴∠AC1O＝∠BD1O

（2） AC1＝ BD1，AC1⊥BD1，

理由如下：∵四边形 ABCD 是菱形，

∴OC＝OA＝ AC＝3，OB＝OD＝ BD＝4，AC⊥BD，

∵将△COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC＝OC1，OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD

∴OA＝OC1，OB＝OD1，∠C1OA＝∠D1OB

∴，且∠C1OA＝∠D1OB

∴△AOC1∽△BOD1，

∴，∠C1AO＝∠D1BO，

∴AC1＝ BD1，

∵∠AOB＝90°

∴∠OAB+∠ABP+∠D1BO＝90°

∴∠OAB+∠ABP+∠C1AO＝90°

∴∠APB＝90°

∴AC1⊥BD1，

（3） ∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴OC＝OA＝ AC＝3，OB＝OD＝ BD＝6，

∵将△COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC＝OC1，OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD

∴OA＝OC1，OB＝OD1，∠C1OA＝∠D1OB

∴，且∠C1OA＝∠D1OB

∴△AOC1∽△BOD1，

∴

∴k＝

∵OB＝OD1＝OD

∴△BD1D 是直角三角形，

∴BD 2+D D2＝BD2，

∴（2C1A）2+D1D2＝144

∴AC 2+（kD D）2＝36

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOC1∽△BOD1 是本题的关键．

28. 【分析】（1）因为已知抛物线与 x 轴两交点，故用交点法即能求抛物线解析式，再用配方法求

顶点．

（2） 用 x 表示 EF、EH 的长，用周长公式即能求出矩形 EHDF 周长与 x 的函数关系并求最大值．由于不确定点 E 在 F 的左侧还是右侧，故 EF 长度的表示需要分类讨论，每种情况下求得的最大值要考虑是否在对应的自变量取值范围内．

（3） 三个点均有可能为直角顶点，需要分三种情况讨论．其中以点 A 或点 C 为直角顶点时，则直线 AP 或 CP 与直线 AC 垂直，易求直线 AC 与 x 轴夹角为 45°，解析式的 k 值为 1，所以直线AP 或 CP 与 x 轴夹角也为 45°，解析式对应的 k＝﹣1，进而求得直线 AP 或 CP 解析式，再求 x＝﹣ 3 时 y 的值即求出 P；以 P 为直角顶点时，AC 为斜边，取 AC 中点 G 和设 P 点坐标，利用直角三

角形斜边上的中线等于斜边一半，列得方程，求解得 P 的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线 x 轴交于 A（﹣7，0），B（1，0）两点

∴y＝﹣（x+7）（x﹣1）＝﹣x2﹣6x+7＝﹣（x+3）2+16

∴抛物线表达式为：y＝﹣x2﹣6x+7，顶点 M 坐标（﹣3，16）．

（2） ∵点 E（x，y）为抛物线上一点，且﹣7＜x＜﹣2

∴EH＝y＝﹣x2﹣6x+7

∵对称轴为直线 x＝﹣3，EF∥x 轴

∴F（﹣3，y）

∴EF＝|﹣3﹣x|

①当﹣7＜x＜﹣3 时，E 在 F 左边，EF＝﹣3﹣x

∴C 矩形 EHDF＝2（EF+EH）＝2（﹣3﹣x﹣x2﹣6x+7）＝﹣2（x+）2+

∴当 x＝时，最大值 C＝

②当﹣3＜x＜﹣2 时，E 在 F 右边，EF＝x+3

∴C 矩形 EHDF＝2（EF+EH）＝2（x+3﹣x2﹣6x+7）＝﹣2（x+）2+

∴当 x＝时，最大值 C＝

综上所述，矩形 EHDF 周长的最大值是

（3） 存在满足条件的点 P．

①若∠PAC＝90°，则 PA⊥AC

∵点 A（﹣7，0），C（0，7）

∴直线 AC 解析式为：y＝x+7

∴直线 PA 解析式为：y＝﹣x﹣7

当 x＝﹣3 时，y＝3﹣7＝﹣4

∴P（﹣3，﹣4）

②若∠PCA＝90°，则 PC⊥AC

∴直线 PC 解析式为：y＝﹣x+7

当 x＝﹣3 时，y＝3+7＝10

∴P（﹣3，10）

③若∠APC＝90°，取 AC 中点 G，连接 PG

∴G（），PG＝ AC＝ 设 P（﹣3，m）

word/media/image122.gif∴PG2＝（﹣3+ ）2+（m﹣）2＝（）2 解得：m1＝ ，m2＝

∴P（﹣3， ） 或 （﹣3，＝ ）

综上所述，使以点 P、A、C 为顶点的三角形是直角三角形的点 P 坐标有（﹣3，﹣4），（﹣3，

10），（﹣3，），（﹣3，＝）

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，求一次函数解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间距离公式．求二次函数指定自变量范围的最大值时，要考虑最大值对应的自变量是否在规定范围内．直角三角形的存在性问题要充分利用直角三角形的特征解题，是常考题型．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c3cdf125fe4ffe4733687e21af45b307e871f9b0.html