3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i
故z对应的点(－1，－3)在第三象限．
答案：C
2．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是( )
A．2＋14i B．1＋7i
C．2－14i D．－1－7i
解析：依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.
答案：D
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故
解得a＝－3，b＝－4.
答案：A
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
答案：B
5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离．
答案：C
6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数．
∴解得a＝－1.
答案：－1
7．若复数z满足z－1＝cos θ＋sin θi，则|z|的最大值为________．
解析：∵z－1＝cos θ＋sin θi，
∴z＝1＋cos θ＋sin θi.
则|z|＝ ＝≤2.
答案：2
8．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4.
答案：－4
9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，求m的值．
(2)若z为纯虚数，求m的值．
解析：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，
所以m＝1或2.
(2)若z为纯虚数，
则
解得m＝－.
故当m＝－时，z为纯虚数．
10．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
解析：(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
[B组 能力提升]
1．设f(z)＝|z|＋z－5，且z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．5＋5i B．5＋5i
C．2＋5i D．3＋11i
解析：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i
又∵f(z)＝|z|＋z－5
∴f(z1－z2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝5＋5i.
答案：A
2．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
答案：A
3．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于( )
A．10 B．25
C．100 D．200
解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，
∵||＝＝5，∴|M1M2|＝10，∴|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.
答案：C
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是________．
解析：∵，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i
∴对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i
又在平行四边形ABCD中，＝
故对应的复数为4－2i.
答案：4－2i
5．已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
解析：设复数z1，z2， z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，
在△OZ1Z中，由余弦定理得
cos∠OZ1Z＝＝－，
所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此，△OZ1Z2是正三角形，
所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cos A＋sin Ai，且满足|z＋1|＝1.
(1)求复数z；
(2)求的值．
解析：(1)∵z＝cos A＋sin Ai，
∴z＋1＝1＋cos A＋sin Ai.
∴|z＋1|＝ ＝.
又∵|z＋1|＝1，∴2＋2cos A＝1.
∴cos A＝－.∴A＝120°.
∴sin A＝.∴复数z＝－＋i.
(2)由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径)，
∴原式＝.
∵B＝180°－A－C＝60°－C，
∴原式＝
＝
＝
＝2.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c02a939c86c24028915f804d2b160b4e777f8107.html
文档为doc格式