绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学
一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设A.0 B.2. A. C. C.1 D.已知集合 B. D.，则
，则
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记为等差数列的前项和，若，，则
A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切1 / 10
线方程为 A.6.在A.C.
7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点到在左的路径 B.中，为 C.边上的中线， D.为
A
的中点，则
B. D.
B 视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从中，最短路径的长度为 A.
8.设抛物线点，则
的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两 B. C.3 D.2 A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数围是 A. B. C. D.
，若存在2个零点，则的取值范10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为，则
2 / 10
A B A. B. C. D.C
11.已知双曲线渐近线的交点分别为A. B.3 C.，。若为坐标原点，为的右焦点，过
的直线与的两条为直角三角形，则 D.4 所成的角都相等，则截此正方体所得12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面截面面积的最大值为
A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若满足约束条件，则的最大值为 . 14.记为数列的前项和，若，则 . 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案） 16.已知函数，则的最小值是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17--21题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
在平面四边形中,
求
若3 / 10 ，求；（1）.（2）
18.（12分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，.;所成角的正弦值. 使点到达点的位置，且 （1）证明： （2）求与平面
19.（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的 坐标为 （1）当与轴垂直时，求直线 （2）设为坐标原点，证明：
.的方程；.
20.（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
作为的（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的值。已知每件产品的检验费用为2元。若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
，求4 / 10
21.（12分） 已知函数（1）讨论的单调性；
.（2）若
存在两个极值点，证明：. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建的极坐标方程为.的直角坐标方程；的方程。 立极坐标系，曲线 （1）求 （2）若与有且仅有三个公共点，求
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知 （1）当 （2）若
时不等式时，求不等式.的解集；成立，求的取值范围5 / 10
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题 1．C 7．B
二、填空题 13．
三、解答题 17．解：
（1）在由题设知，由题设知， 所以. 中，由正弦定理得所以. . .
14．
15． 16．
2．B 8．D
3．A 9．C
4 