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第二章 矩阵及其运算

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2.1 基本内容 2.2 典型例题分析

第二章 矩阵及其运算

2.1 基本内容

2.1.1 矩阵的概念

（1）定义
由mn个元素aiji1,2,,m;j1,2,,n排成的m行，n列的矩阵元素表
a11a21Aam1a12a1na22a2nam2amn 称为维是mn的矩阵，简记为Aaijmn。
注1 本书中我们讨论的主要是实矩阵，即A的元素aij为实数的情形。
注2 当mn时，称A为n阶方阵。
注3 称Amn与Bmn为同维（阶）矩阵，如果两个同维矩阵A与B的对应元素相等，则A＝B。

（2）特殊矩阵

零矩阵：元素全为零的矩阵，记作0 行矩阵：Aa1,a2,,an
a1a2列矩阵：A
ana110三角阵：A0a12a1na22a2n称为上三角，满足aij0ij 0amna11a21 Bam1


0a2200am2amn称为下三角，满足aij0ij 1
a1100a22对角阵：A0000amndiaga,a,a

1122nnkk 数量阵：diagk,k,kk11，常记作I或I，有时也记作E或E。 单位阵：diag1,1,1nn1对称阵：AAT
反对称阵：AAT
注1 行（列）矩阵通常称为行（列）向量。并习惯用小写字母表示，其每一元素称为分量。分量个数称为维数。
注2 上述所列的特殊矩阵，除零矩阵、行或列矩阵外,均为方阵。 注3 对反对称阵Aaij来说，必有aii0i1,2,n。
注4 任一方阵A均可表示为一个对称阵和一个反对称阵之和，即
A12AA1AA
TT2
2.1.2 矩阵的运算

（1） 加法：设Aaijij（2） 数乘：设Aa（3） 乘法：设Aaijsmnmnms，Bbij，Bbij，k为数，则kAkaijsnmn，则ABaijbijmn
，则ABcijmn
mn，其中
j1,2,n
Cijak1ikbkjai1b1jai2b2jaisbsji1,2,m;a21a1注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。 a11a21（4） 转置：设Aam1a12a1na22a2nam2amna11a12，则a1na22am2a2namn称为A的转置，记作AT
或A。
（5）运算规律：
下表给出了矩阵与数的运算规律之比较。

2
运算 加法 数乘 数
a+b=b+a (a+b+c=a+(b+c a+0=a
乘 法
a*1=a 1*a=a (abc=a(bc 矩阵
A+B=B+A (A+B+C=A+(B+C A+0=A （ab）A=a(bA=b(aA (a+bA=aA+bA a(A+B=aA+aB A*I=A I*A=A (ABC=A(BC 说明
能够相加的矩阵 必须是同维矩阵 a,b是数
A，B是同维矩阵 要注意I的维数
A(b+c=ab+ac (b+cd=bd+cd Ab=ba k0若,且akbk或（kakb, 则a=b A的列数须等于B的行数
B的列数须等于D的行数
A(B+C=AB+AC B与C须同维，A的列(B+CD=BD+CD 数须等于B的行数，B的列数须等于D的行数
一般ABBA 例如1011,0020
110但不能相乘200若消去律一般不成立，但当K（或L）可逆时，K0(或L0且KAKB A＝B必成立
(或ALBL,一般ABaaaklkl AAAkklkl
abkab
kk一般ABAkBk
A必须是方阵，且k，l为非负整数
当A，B为同阶方阵，且AB＝BA，k为非负整数时，有ABk转置

AB
kkATTAATTTTABTkATBT
kAA， B为同维矩阵， k为数
A的列数须等于B的行数
ABTBA
2.1.3矩阵的初等变换与初等矩阵
（1）矩阵A的初等变换有如下三类：
第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记为rijcij。 第二类：以非零常数k乘A的i行（列），记作ri(kcik。
第三类：将A的第i行(列的k倍加到第j行（列）上去，记作rijkcijk。 （2）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵

3
rijrij(kri(kIRij，IRi(k，IRij(k cijcij(kci(kIcij，Ici(k，IRij(k
（4） 初等变换与初等矩阵之间的关系
（5） 初等矩阵左（右）乘A，相当与对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如：
rijcijABRijAB，ABACijB。
注1 若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称B与A等价，此时必有等式
RsR1AC1CtB成立，其中RsR1和C1Ct均为初等矩阵。
Ir0注2 任一矩阵A经有限次初等变换后均可化为形如的矩阵，其中r为A的秩，称00Ir0矩阵为A的标准型。
00
2.1.4 可逆矩阵的定义

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB＝BA＝I，则称A为可逆矩阵，称B为Ａ的你矩阵。
注1 可逆矩阵必是方阵。
注2 A若为可逆，其逆必唯一，故A的呢矩阵记作A1，即有
AAAAI
注3 可逆矩阵又称为非退化阵或非奇异阵或满秩阵，不可逆阵又称为退化阵或奇异阵或降秩阵。

2.1.5 可逆矩阵的性质

11（1）若A可逆，则AT，A1均可逆，且A11A，(A1k1T1A1T
1（2）若A可逆，数k0，则kA可逆，且(kAA1
1（3） 若A，B是同阶可逆阵，则AB可逆，且ABBA1
注 若A，B为同阶的可逆矩阵，则A＋B不一定可逆。

2.1.6 可逆矩阵的判别方法

（1） 利用定义：若AB＝BA＝I，则必有A可逆，且A1B。 （2） 利用行列式：若A0，则A可逆。
（3） 利用性质（3）：将矩阵分解成可逆矩阵的乘积。
（4） 利用矩阵的秩：A为n阶方阵，若rAn，则A可逆。
（5） 利用线性方程组：若nn方程组Axb有唯一解，则A可逆。
（6） 利用向量组的线性无关性：若方阵A的行（或列）向量线性无关，则A可逆。 （7） 利用初等矩阵：若A可分解为有限个初等矩阵之积，则A可逆。 （8） 利用特征值：证明数零不是A的特征值，则A可逆。 （9） 利用反证法：这是常用方法。

4
注1 方法（1）在具体使用时，实际上只需验证AB＝I或BA＝I，即两者只要有一个成立时，就必有A1B，当然此时A，B必须是同阶矩阵。
注2初等矩阵都是可逆阵，且其逆也是初等矩阵（Rij1Rij,Ri1kRi11，因此，对任一矩阵A，必存在可逆阵P，Q，,RijkRijk）kIr0使PAQ，这称为A的标准分解。
00注3方法（7）说明可逆阵必与单位阵等价，这一结论也是我们利用初等变换求逆矩阵的理论依据。

2.1.7 逆矩阵的计算方法

（1） 利用初等变换
A列I行－1 A|II|A 或－1IA－1注 A|I行I|A只能用行初等变换 A列I I－1只能用列初等变换
A（2） 利用伴随阵
A1A*A

注 在具体计算时这一公式适用于较低阶的矩阵 （3） 利用分块矩阵
（4） 凑法：当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出AB＝I的形式，从而可得A1B，这一方法适用于抽象矩阵求逆。

2.1.8 分块矩阵的定义于运算

（1） 定义
用若干条纵线和横线把一个矩阵分成若干个小块。每一小块称为矩阵的一个子块和子矩阵，则一这些子块为元素的原矩阵称为分块矩阵。 （2） 运算
（3） 进行分块矩阵的加、减、乘法和转置运算，可降子矩阵当作通常矩阵的元素看待。
注1 同维矩阵，只有用同样的分块方法时，才能进行分块相加。
注2 分块乘法只有当左边矩阵分法于右边矩阵的行分法一致时才能进行。 注3分块转置除了行列互换外，每一子块也需转置，即若
A11A12A1rA21A22A2r AAAAs2srs1则

5
ATTA11TA12TA1rTTA21As1TTA22As2 TTA2rAsr
2.1.9 利用分块矩阵求逆矩阵

（1） 对分块对角阵
A1A2A As 1As若Aii1,2,,s可逆，则A可逆且
A1－1－1A2A－1（2） 对
AA1A2 As1As 若Aii1,2,,s可逆，则A可逆且
－1A＝－1A11As－1（3） 对
0BDBAA或
0CDC其中B为mm可逆阵，C为nn可逆阵，则A可逆，且
－1B－1A＝0－B－1DC－1B或A－1＝－1－1C－CDB－1－1 －1C0注 当矩阵的零元素较多时，可考虑分块，时告诫矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算，这是简化矩阵运算的一个途径。


6
2.1.10 用列（行）方块易推得的一些结论

（1） 将A按列分块
a11a21Aam1a12a1na22a2nam2amn1,2,,n 其中j是A的第j列，则
Aejjj1,2,n
其中ej为单位阵In的第j列。 （2） 将A按行分块
T1AT2 Tm其中Ti为A的第i行，则
eTTiAii1,2,,m
注 由（1），（2）可得到
eTiAejaij
（3） 将A1列分块
A11,2,,n
则A1的计算也可转化为方程组Aieii1,2,,n的求解问题。
（4） 关于正交阵

定义：若AATI，即ATA1，称A为正交阵。
结论：将A列分块 A1,2,,n，则由AATI可得
Ti0ijj1ij 同理，由AATI可的A的行向量组具有同样的结论。

2.2 典型例题分析

1） 矩阵乘法 例1 设A21，B＝3124262，求AB，BA，A 解 AB＝2131004262＝00

7 返回


BA＝312110＝2426205 100 0121202＝A＝42420注1 ABBA，交换律不满足。
注2 A0,B0，可有AB0,A20。 注3 ABA2,A0，但AB，消去律不满足。 例2 已知A＝101，求与A可交换的一切矩阵。 1解 解法一 若B与A可交换，则由AB＝BA知，B必为二阶方阵。 b11 设B＝b211 AB＝011b12，则 b22b11b21b12b11b12＝b22b211b11＝1b21b12b22
b22b11b121 BA＝b21b220根据AB＝BA，有
b11b12
b21b22b11b12b21b22b12b11b22b11b12b21b21b22
解得b210,b11b22，由此可得到与A可交换得任一矩阵是
b11b12B＝
0b11其中b11,b12为任意实数。
解法二 将A分解为
1A＝01100＝＋101010＝I＋00001 0由于单位阵I与任何矩阵都可交换，故问题变为求与b11＝b21b12 b221设其为B＝C可交换得矩阵，0CB＝001b110b21b12b21＝b22010＝00b22 0b11 b21b11BC＝b21b120b220
8
由于CB＝BC得b210,b11b22,b12任意，故与A可交换的矩阵为
b11B＝0b12 b11其中b11,b12为任意实数。
11例3 已知是n维列向量，A＝I,0,,0,22BA。
解 显然A、B均为n阶方阵，有矩阵运算规律可得
TT，B＝I2T，求AB与AB＝[IT][I2T]=I2TTTT2TTI12TT
1111111由于＝，所以AB＝I。 ,0,,0,,0,,0,2442222由于A，B是同阶方阵，故由AB＝I，可得必有BA＝I。 注1 对n维列向量来说，TTT与T由很大不同，由此也说明多任一矩阵A,AA与AA是未必相同的，应看仔细，不能混为一谈。
注2 对矩阵运算，应尽量先由运算规则进行符号运算，至最后结果再将具体数字代入算得结果。
例4 已知＝1,2,3
112＝21332TT11，＝1,,，A＝T，求An。
23132知 31TT解 由T＝1,11T,1,2,3＝3，A＝23T＝1,2,31,,23T11＝＝TTTTTTTn1n个1n132321n1个1323112132A＝
n

例5 设P＝31，Λ＝2002－3n，Q＝，A＝PΛQ，计算QP及A。 －1－122－32解 QP＝－121310＝＝I 201
9
1＝0nnIn2k n1n2k10nA＝PQPQPQPQnPQPQPQPQPQ
PQPQn2kI7n2k14n2k127n2k111111111，求An。 例6 已知A11111111解：（递推法） 442因为AAA4＝4I，所以A3A2A22A，于是 4当n为偶数时 AAn2n22I2n22I
n当n为奇数时 AnAn1A(2n1IA2n1A 34例7 A0034解：A00430043000022002200，求A4。 02000B3＝1B，其中1B2004242B，2320 2于是A4B1402502424B，而＝25I，故B125I5I. 14B2025041010102010102442，所以 2，故B2264111121212122B222A4540000540022460000 042
10
1例8 设A0001010，求An。 11A0001000001000010IB 0k解 解法一
由于I与B可交换，故
AnCk0nknInkB
010n0 1又InkI,B20，从而Bk0Ank2,3,,所以
nCnI011n1CnIBInB00注 这种做法一般来说是将A写成A＝B+C,然后用二次式展开，但注意前提条件是BC＝CB且Cm0（m很小）。
解法二
12因为AAA0001021320，AAA01010001001031430，AAA01001040 1观察这些规律，可推得
Ann0 1此结论正确与否，还需用数学归纳法证明，为此，假设n＝k时成立
10kkA010
001当n＝k＋1时
Ak11kAA00010k10010010110010010k10 1故n＝k＋1时结论也成立，于是上述结果正确。
解法三 （利用分块矩阵）
将A列分块A＝[1,2,3]e1,e2,e1e3，其中eii1,2,3为I3的第i列，则由Aeii，得
A2Ae1,e2,e1e3Ae1,Ae2,Ae1Ae31,2,13e1,e2,2e1e3

11
AAe1,e2,2e1e31,2,213e1,e2,3e1e3
3假设n＝k时成立 Ake1,e2,ke1e3，则当n＝k＋1时，
Ak1Ae1,e2,ke1e31,2,k13e1,e2,(k1e1e3
由数学归纳法知，对一切n有
An1e1,e2,ne1e300010n0 101000施行n次列初等变换1解法四 （利用初等矩阵）
1I0显然，A是初等矩阵，则AnI，相当于对AAAn个0（将第一列加到第三列），故
An100110010n0 1例9 设fxx33x23x2，以fA表示矩阵多项式A33A23A2I，即 132fAA3A3A2I，如果A0001，求fA。 1解 解法一 0令B0010001，则容易计算B30，由于AIB，所以 0fAIB3IB3IB2I32232I3B3BB3I6B3B3I3B2I 3I解法二
32由于A3A3AI＝AI30001003010所以 03fAAI3I3I
0例10 （1）设A0020003,求A1。 0
12
0 （2）设A0A3A1000A2，其中Aii1,2,3是可逆方阵，求A1。 0002030001010000解 （1） 解法一
020AI003400（初等变换法）
1004r13010000104r23040200030100011001r141r221r31300
010100012000131400所以
01200013140 0A1解法二（分块矩阵）
AB2B12B，其中100，B24，则 3A11B101B21200013140 0（2）类似于（1）的解法二
BA1,BA可分块为A其中A03A10A111，则BA201A31A101，于是 1A21B00A211A30 0例11 计算例6中矩阵A的逆矩阵A。

13
解 解法一（利用定义）
442由例6知，A414I，从而AAI，由逆矩阵定义知
4411AA
4T解法二 （利用正交阵）
显然，A1,2,3,4的列向量满足i交阵，从而B1BT，故
A1j04ijij，设B12A，则B为正2B112B112BT111T1T(AAA 2244注 本题也可用初等变换法，但运算较繁。

00012300，BIA1IA，求IB1。 例12 设A04500670解 （利用单位阵技巧）
IB1IAIA1100AA1IIA11IA1IAIA1IA112I0031000412IA
022013注 单位阵技巧主要是指巧妙使用下面二式
AAI,AIIAA
这一方法对未具体给出的矩阵的有关逆的推倒有较大用处。
例13 已知n阶方阵A满足A2A3IO。
1（1）求A,A2I,A4I。
112（2）AnI(n是整数）是否可逆，若可逆，求其逆。 解 这是典型的利用“凑法”的例子。
2（1）由A2A3IO，可得AA2I3I,即13AA2II，从而 13A
A113AA2I,A2I1
14
由于
A2A3IA4A2A8I5IAA4I2A4I5I22A2IA4I5I
所以，由A22A3IO，可得A2IA4I5I，即
15A2IA4II
15从而
A4I1A2A2I
注 这一方法不仅可以求出矩阵的逆，同时也可证明矩阵可逆。 （2）因为2A3IA2nA2nAn2nI3n2nIAnIA2nI32nn2I2
所以，由A22A3IO，可得AnIA2nI132nn3n1nI
当n3且n－1时，AnI可逆，且
AnI－1＝若AI,则A3I4I3－n1＋n。
A2nI
当n3时，有A3IAI0。
若AI，则A3Ix0有非零解，故A3I0，即A3I不可逆。 当n1时，有AIA3I0。
若A3I，则AI4I可逆。
若A3I，则AIx0有非零解，故AI0，即AI不可逆。 例14设A是n阶方阵，AkO(k是某个确定的正整数），求IA－1。
解 据例13的思路
kk2k1由于A0，故IAI,即IAIAAAI，故知IA可逆，且有
（IA
4）求解矩阵方程

1例15 设A，B满足ABIA2B，且A0102010，求矩阵B。 101010可逆，所以 01IAAk1
02解 ABIA2B，也即AIBAI，由于AI01
15
BAI1212AIAIAIAIAI0103010 2例16 设n阶矩阵A、B满足ABAB。
（1）证明AI可逆。 1（2）已知B2031000，求矩阵A。 2解 （1）由ABAB，即ABAB0,即AIAIBI。可得
AIBII，所以AI可逆，且
AI1（2）由AI1BI1
BI得
1AIBI10I20300001101I30121000 2注 A也可直接由ABAB求得ABBI，但运算较繁。
5）有关矩阵可逆得证明题
1
例17 已知IAB可逆，试证IBA亦可逆，且IBA11IBIAB1A。
证 本题因为已经给出了IAB，故证明只需验证即可，即验证 因为IBAIBIIBAI1ABA1BIAB1AI
IBABIABBABIABA11IBABIABIABAIBABAI
故知IBA可逆，且
IBA1IBIAB1A
注 若没有给出结论，一般证法如下： 因为IAB可逆，所以存在方阵C，使
CIABIABCI
从而
CCABCABCICABABCIC
对CABIC,有CIAB及BCABABICABABCA则
1BABCABCABA0，即IBABCAIBAI即
IBCAIBAI则IBA1IBCAIBIAB1A

16

例18 设A是n阶方阵，x是n维非零列向量，且AIxxT，证明 （1）A2A的充要条件是xTx1。
（2）xTx1时，A是不可逆矩阵。
证 （1）A2(IxxT(IxxTI2xxTxTxxxTIxTx2xxT
若A2A，则IxTx2xxTIxxT，即得到xTx1xxT0。因为x是n维非零列向量，所以n阶方阵xxTO，于是xTx10,即xTx＝1。
反之，若xTx1,则A2IxxTA。 （2）证法一（反证法）
若A可逆，因为xTx＝1，故由（1）知A2A，两边乘A1，得AI，从而xxT0，这与已知x0矛盾，故A不可逆。
证法二（利用方程组） 当xTx＝1时，考察
AxIxxTxxxxxxx0
T由x0，说明齐次线性方程组Ax0有非零解，从而A0，故A不可逆。
证法三（利用矩阵的秩）
当xTx＝1时，由（1）可得A2A，即AAI0，于是
rArAInrAAIn
由于AIxxTO，即rAI1，所以可得出rAn，即n阶方阵A不可逆。
证法四（利用行列式）
当xTx＝1时，有xxTxx，即xxTx1x， 因x0，所以数1是xxT的特征值，于是xxTI0，即有IxxT0，也即A0，故A不可逆。

6）有关矩阵的证明题

2例19 对实对称阵A，若AO，则AO。
证 设Aaij，因为ATA，所以 nnn2a1jj1***n22jA2AATaj1** n2anjj1*2由AO得aij0(i1,2,,n于是aij0i,j1,2,n，故AO。
2nj1注 本例得一般结论是：
T 对任一mn实矩阵A,若AA0,则A0。

17
例20 设A和B均为n阶方阵，证明AB和BA的主对角线上元素这和相等。 证 设Aaij， Bbij，且记CcijAB，DdijBA，则
nnnnnnnnC＝AB的主对角线上元素之和为
nniiCi1ni1naikbkik1nnnikai1k1nikbki
而D＝BA的主对角线上元素之和为
niiDi1i1nbikakik1nai1k1bkiCi1ii
故AB与BA的主对角线上元素之和相等。
注1 称n阶方阵A对角元素之和为A的迹，记作天tr(A.本例说明，对任何两个同阶方阵A，B，有tr(AB ＝tr(BA。
注2 本例可变形成证明：对任意n阶方阵A和B都有ABBAI。
2例21 设A、B是n阶方阵，且满足A2A,B2B及 求证ABO。 （AB）AB，222证 由于（AB）AABBAB，故由已知可得
ABBAO
两边分别左乘、右乘A得
ABABAO及ABABAO
故
ABAABA,代ABBA0,可得AB0。
例22 设A为n阶可逆对称矩阵，B为n阶对称矩阵，当IAB可逆时，证明(IAB1A为对称矩阵。
证 证法一
[(IAB1A]TA[(IAB]A(IBAA1TT1A(IBA11TT1(IBAA1B1AA1(IAB1
(IAB[(IAB11证法二 由于可逆的对称矩阵的逆矩阵仍为对称矩阵，因此，只需证明
A]1A1(IABA1B
为对称矩阵即可。而由A，B均为对称矩阵可知
(A1BTAT1BTA1B
故(IAB1A亦为对称阵。
1例23设A是n阶方阵，且IA可逆，证明 （1）IA与(IA可交换相乘。
（2）若A是反对称矩阵，则(IA(IA是正交矩阵。 （3）若A是正交矩阵，则(IA(IA是反对称矩阵。 证 (1因为(IA(IA(IA(IA 所以两边分别左乘、右乘(IA，得
(IA1111(IA(IA(IA1(IA1(IA(IA(IA1

18
即
(IA1(IA(IA(IA1
故IA与(IA1可交换相乘。
（2）由AAT，得
(IA(IA1(IA(IA11T111TT(IA(IA(IA(IA(IA(IA(IA(IA(IA(IAI1
故(IA(IA1是正交矩阵。

（3）由AATATAI，得
[(IA(IA1T](IATT1(IA1T[A(AI]1A(AI(AI(A1T1T1A(AI
T(AI(AI(IA(IA故(IA(IA1是反对称矩阵。
例24 设n阶方阵A可逆，若A的第i行上每一元素乘同一常数k0后得到矩阵B。 （1） 证明B可逆，并证明B1是由A1的第i列上每一元素乘同一个常数阵。
（2） 求AB1及BA1。
解 由已知得RikAB,Rik为I的第i行乘常数k后得到的矩阵。 （1）由于Rik,A均可逆，故BRikA亦可逆，且
B11k后得到的矩ARi11k可见B1即为A1的第i列上每一元素乘同一个常数（2）AB

11111ARiACi
kk1k后得到的矩阵。
11AA1111RiRi及BAABkk11RiRik。
k返回

19

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