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2013年中考数学试卷（解析）

发布时间：2016-05-13 23:07:57 来源：文档文库

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2013年中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．（4分）（2013•福州）2的倒数是（　　）

　 A． B． ﹣ C． 2 D． ﹣2

2．（4分）（2013•福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

　 A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°

3．（4分）（2013•福州）2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深空，7 000 000用科学记数法表示为（　　）

　 A． 7×105 B． 7×106 C． 70×106 D． 7×107

4．（4分）（2013•福州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）

　 A． B． C． D．

5．（4分）（2013•福州）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）

　 A． x2+3=0 B． x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0

6．（4分）（2013•福州）不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（　　）

　 A． B． C． D．

7．（4分）（2013•福州）下列运算正确的是（　　）

　 A． a•a2=a3 B．（a2）3=a5 C． D． a3÷a3=a

8．（4分）（2013•福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（　　）

　 A． 2.5cm B． 3.0cm C． 3.5cm D． 4.0cm

9．（4分）（2013•福州）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（　　）

　 A． 3个 B．不足3个 C． 4个 D． 5个或5个以上

10．（4分）（2013•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（　　）

　 A． a＞0 B． a＜0 C． b=0 D． ab＜0

二、填空题（共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）

11．（4分）（2006•丽水）计算：=　_________　．

12．（4分）（2013•福州）矩形的外角和等于　_________　度．

13．（4分）（2013•福州）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：

年龄 13 14 15

人数 4 7 4

则该校女子排球队队员的平均年龄是　_________　岁．

14．（4分）（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a﹣b=5，则（a+b）3•（a﹣b）3的值是　_________　．

15．（4分）（2013•福州）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是　_________　．

三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

16．（14分）（2013•福州）（1）计算：；

（2）化简：（a+3）2+a（4﹣a）

17．（16分）（2013•福州）（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；

（2）列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

18．（10分）（2013•福州）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：

身高情况分组表（单位：cm）

组别身高

A x＜155

B 155≤x＜160

C 160≤x＜165

D 165≤x＜170

E x≥170

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）样本中，男生的身高众数在　_________　组，中位数在　_________　组；

（2）样本中，女生身高在E组的人数有　_________　人；

（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？

19．（12分）（2013•福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．

（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　_________　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　_________　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　_________　度；

（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．

20．（12分）（2013•福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求的长．

21．（12分）（2013•福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；

（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

22．（14分）（2013•福州）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1，1）时，a=　_________　；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是　_________　

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．

2013年中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．（4分）（2013•福州）2的倒数是（　　）

　 A． B． ﹣ C． 2 D． ﹣2

考点：倒数．729812

分析：根据倒数的概念求解．

解答：解：2的倒数是．

故选A．

点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．

倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（4分）（2013•福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

　 A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°

考点：余角和补角．729812

分析：根据互余两角之和为90°即可求解．

解答：解：∵OA⊥OB，∠1=40°，

∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°．

故选C．

点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．

3．（4分）（2013•福州）2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深空，7 000 000用科学记数法表示为（　　）

　 A． 7×105 B． 7×106 C． 70×106 D． 7×107

考点：科学记数法—表示较大的数．729812

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7 000 000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

解答：解：7 000 000=7×106．

故选B．

点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

4．（4分）（2013•福州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点：简单几何体的三视图．729812

分析：俯视图是从上面看所得到的视图，结合选项进行判断即可．

解答：解：A、俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；

B、俯视图是一个圆，故本选项错误；

C、俯视图是一个圆，故本选项错误；

D、俯视图是一个正方形，故本选项正确；

故选D．

点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义．

5．（4分）（2013•福州）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）

　 A． x2+3=0 B． x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0

考点：根的判别式．729812

专题：计算题．

分析：根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接得到，则可对D进行判断．

解答：解：A、△=0﹣4×3=﹣12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；

B、△=4﹣4×0=4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、x2+2x+1=0，△=4﹣4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；

D、x1=﹣3，x2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．

故选C．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

6．（4分）（2013•福州）不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．729812

专题：计算题．

分析：求出不等式的解集，即可作出判断．

解答：解：1+x＜0，

解得：x＜﹣1，

表示在数轴上，如图所示：

故选A

点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

7．（4分）（2013•福州）下列运算正确的是（　　）

　 A． a•a2=a3 B．（a2）3=a5 C． D． a3÷a3=a

考点：分式的乘除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．729812

专题：计算题．

分析： A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；

B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

C、原式分子分母分别乘方得到结果，即可作出判断；

D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．

解答：解：A、a•a2=a3，本选项正确；

B、（a2）3=a6，本选项错误；

C、（）2=，本选项错误；

D、a3÷a3=1，本选项错误，

故选A

点评：此题考查了分式的乘除法，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．（4分）（2013•福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（　　）

　 A． 2.5cm B． 3.0cm C． 3.5cm D． 4.0cm

考点：平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．729812

分析：首先根据题意画出图形，知四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的对角线相等，即AD=BC．再利用刻度尺进行测量即可．

解答：解：如图所示，连接BD、BC、AD．

∵AC=BD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC．

测量可得BC=AD=3.0cm，

故选：B．

点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形．

9．（4分）（2013•福州）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（　　）

　 A． 3个 B．不足3个 C． 4个 D． 5个或5个以上

考点：可能性的大小．729812

分析：根据取到白球的可能性交大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．

解答：解：∵袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，

∴袋中的白球数量大于红球数量，

即袋中白球的个数可能是5个或5个以上．

故选D．

点评：本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．

10．（4分）（2013•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（　　）

　 A． a＞0 B． a＜0 C． b=0 D． ab＜0

考点：一次函数图象上点的坐标特征．729812

分析：根据函数的图象可知：y随x的增大而增大，y+b＜y，x+a＜x得出b＜0，a＜0，即可推出答案．

解答：解：∵根据函数的图象可知：y随x的增大而增大，

∴y+b＜y，x+a＜x，

∴b＜0，a＜0，

∴选项A、C、D都不对，只有选项B正确，

故选B．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力．

二、填空题（共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）

11．（4分）（2006•丽水）计算：=　　．

考点：分式的加减法．729812

专题：计算题．

分析：因为分式的分母相同，所以分母不变，分子相减即可得出答案．

解答：解：原式==．故答案为．

点评：本题比较容易，考查分式的减法运算．

12．（4分）（2013•福州）矩形的外角和等于　360　度．

考点：多边形内角与外角．729812

分析：根据多边形的外角和定理解答即可．

解答：解：矩形的外角和等于360度．

故答案为：360．

点评：本题考查了多边形的外角和，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

13．（4分）（2013•福州）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：

年龄 13 14 15

人数 4 7 4

则该校女子排球队队员的平均年龄是　14　岁．

考点：加权平均数．729812

分析：根据加权平均数的计算公式把所有人的年龄数加起来，再除以总人数即可．

解答：解：根据题意得：

（13×4+14×7+15×4）÷15=14（岁），

故答案为：14．

点评：此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题．

14．（4分）（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a﹣b=5，则（a+b）3•（a﹣b）3的值是　1000　．

考点：幂的乘方与积的乘方．729812

专题：计算题．

分析：所求式子利用积的乘方逆运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．

解答：解：∵a+b=2，a﹣b=5，

∴原式=[（a+b）（a﹣b）]3=103=1000．

故答案为：1000

点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．（4分）（2013•福州）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是　2　．

考点：正多边形和圆．729812

分析：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．

解答：解：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E．

正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，

相邻的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，

△ACE边EC上的高是：，

则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．

故答案是：2．

点评：本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．

三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

16．（14分）（2013•福州）（1）计算：；

（2）化简：（a+3）2+a（4﹣a）

考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．729812

分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果；

（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．

解答：解：（1）原式=1+4﹣2=5﹣2；

（2）原式=a2+6a+9+4a﹣a2=10a+9．

点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

17．（16分）（2013•福州）（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；

（2）列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

考点：全等三角形的判定与性质；一元一次方程的应用．729812

分析：（1）求出∠CAB=∠DAB，根据SAS推出△ABC≌△ABD即可；

（2）设这个班有x名学生，根据题意得出方程3x+20=4x﹣25，求出即可．

解答：（1）证明：∵AB平分∠CAD，

∴∠CAB=∠DAB，

在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD（SAS），

∴BC=BD．

（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，

解得：x=45，

答：这个班有45名小学生．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，主要考查学生的推理能力和列方程的能力．

18．（10分）（2013•福州）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：

身高情况分组表（单位：cm）

组别身高

A x＜155

B 155≤x＜160

C 160≤x＜165

D 165≤x＜170

E x≥170

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）样本中，男生的身高众数在　B　组，中位数在　C　组；

（2）样本中，女生身高在E组的人数有　2　人；

（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？

考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；众数．729812

专题：图表型．

分析：（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；

（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；

（3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．

解答：解：∵B组的人数为12，最多，

∴众数在B组，

男生总人数为4+12+10+8+6=40，

按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，

∴中位数在C组；

（2）女生身高在E组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%，

∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，

∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人；

（3）400×+380×（25%+15%）=180+152=332（人）．

答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有332人．

故答案为（1）B，C；（2）2．

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

19．（12分）（2013•福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．

（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　2　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　y轴　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　120　度；

（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．

考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．729812

专题：计算题．

分析：（1）由点A的坐标为（﹣2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；

（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），

∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；

∴△AOC与△BOD关于y轴对称；

∵△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=∠BOD=60°，

∴∠AOD=120°，

∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．

（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，

∴OA=OD，

∵∠AOC=∠BOD=60°，

∴∠DOC=60°，

即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，

∴OE垂直平分AD，

∴∠AEO=90°．

故答案为2；y轴；120．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质．

20．（12分）（2013•福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求的长．

考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形．729812

分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；

（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；

其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON==；

最后，由弧长公式l=计算的长．

解答：（1）证明：如图，

∵ME=1，AM=2，AE=，

∴ME2+AE2=AM2=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．

又∵MN∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．

又∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接ON．

在Rt△AEM中，sinA==，

∴∠A=30°．

∵AB⊥MN，

∴=，EN=EM=1，

∴∠BON=2∠A=60°．

在Rt△OEN中，sin∠EON=，

∴ON==，

∴的长度是：•=．

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

21．（12分）（2013•福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；

（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

考点：相似形综合题．729812

专题：综合题．

分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；

（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；

（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．

解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，

在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，

∴AE=AB•sinB=x，

∵S△APD=AD•AE=，

∴•y•x=，

则y=；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

∴∠BAP=∠CPD，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴∠B=∠C，AB=CD，

∴△ABP∽△PCD，

∴=，

∴PB•PC=AB•DC=AB2，

当y=1时，x=，即AB=，

则PB•PC=（）2=2；

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，

过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，

当PF=PH时，PF有最小值，

∵∠APD=90°，

∴PF=AD=y，

∴PH=y，

∵S△APD=•AD•PH=，

∴•y•y=，即y2=2，

∵y＞0，∴y=，

则y的最小值为．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．（14分）（2013•福州）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1，1）时，a=　﹣1　；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是　a=﹣或am+1=0　

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．

考点：二次函数综合题．729812

分析：（1）利用顶点坐标公式（﹣，）填空；

（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式y=a（x+）2﹣，则易求该抛物线的顶点坐标（﹣，﹣）；

然后，把该顶点坐标代入直线方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代数式表示b；

（3）根据题意可设可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=﹣x2+2x．所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是（2n，n），则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范围来求点An的坐标，即该正方形的边长．