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函数的对称性与周期性

发布时间：2018-10-21 10:54:01 来源：文档文库

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高一数学知识点补充-----函数的对称性与周期性

一、对称性（轴对称、中心对称）类型：函数自身的对称性探究

命题1、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。

特别地，（1）若f (x) = f (－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。

（2）若f (a +x) = f (a－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x = a对称

命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。

特别地，（1）若f (x) + f (－x) = 0，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。

（2）若 f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数y=f(x)的图象关于点 (a ,b)成中心对称图形。

二、周期性

1.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则称T为这个函数的一个周期

2.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么

3. 关于函数的周期性的几个重要性质：

（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么

（2）,则的周期T=2a

（3）或或, 则的周期T=2a

三、例题讲解

[例1]若，则的周期T= 6a，请推导。

[例2] 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5 ) =______

[例3] 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.

[例4] 设函数的定义域为R，且满足，则图象关于__________对称。的图象关于__________对称。

[例5] 已知函数满足，则图象关于________对称。

[例6] 已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为___________

[例7]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；

当－1≤x<3时，f(x)＝x. 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝______.

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