九年级数学三角形内切圆

初三数学直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲

一. 本周教学内容：

直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆

［学习目标］

1. 直线为，⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d。

（1）直线与⊙O相离无公共点；

（2）直线与⊙O相切，唯一公共点；

（3）直线与⊙O相交，两公共点。

注意：①由直线与圆的位置关系数量关系

反之，数量关系位置关系；

②直线与圆的位置关系，d，r数量关系，公共点个数三者互相转化。

2. 重要公式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，则：

即：AC·BC＝AB·CD（是求斜边上高的常用方法）

3. 切线的判定方法

①定义法（不常用），即：唯一公共点；

②数量关系推理法，即；

③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

4. 切线的性质：

①与判定均为互逆定理；

②其中性质定理及推论要熟练掌握。

实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。

5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。

关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。

与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。

例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 相切

C. 相离 D. 位置不定

解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，

∴，

∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，

∴PQ⊥OP。

即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。

∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：

（1）相离；（2）相切；（3）相交。

点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。

解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，

，

∴

（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；

（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；

（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。

例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。

求证：AF＝DF；

证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC。

∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE

∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，

∴∠ADE＝∠DAE，

∴EA＝ED

∵DE是半圆C的直径，

∴∠DFE＝90°

∴AF＝DF

例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。

点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

证明：连结OD。

∵AD∥OC，

∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD

∴∠COB＝∠COD

∵CO为公用边，OD＝OB

∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC

∵BC是切线，AB是直径，

∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，

∴CD是⊙O的切线。

点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。

∵AB＝AC，O为BC的中点，

∴∠BAO＝∠CAO

又∵AB切⊙O于D点，

∴OD⊥AB，又OE⊥AC，

∴OE＝OD，

∴AC与⊙O相切。

点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。

例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。

点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

证明：连结OD，则OD⊥CE。

∴∠EDA＋∠ODA＝90°

∵OA⊥OB

∴∠A＋∠P＝90°，

又∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA

∵∠EDA＝∠CDP，

∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD

点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

例7. 在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。

点悟：已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线。

解：在△ABC中，∠A＝70°，

∵O是△ABC的内心

∴

。

∴

∴

例8. △ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABC的内切圆的半径长。

解析：过点A作AD⊥BC于D，则AD为∠ABC的平分线。

设I为△ABC的内心，内切圆⊙I分别切三边于D、E、F，则I在AD上，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，

∴AD＝4

连结IE，则IE⊥AC，设⊙I半径为x，

即

解得

例9. 任意△ABC中内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，求证：△DEF是锐角三角形。

证明：如图所示，连结FI、EI，

∵⊙I与AB、AC切于点F、E

∴∠IFA＝∠IEA＝90°

∴

∴

∵，

∴

∴∠EDF为锐角。

同理可证∠DFE、∠DEF都是锐角。

∴△DEF是锐角三角形。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题：

1. 已知⊙O的半径，直线l与圆O的距离，则直线l与圆的位置关系（ ）

A. 相交 B. 相切

C. 相离 D. 位置不确定

2. 已知⊙O的半径，直线l和点O距离为d，如果直线与⊙O有公共点，那么（ ）

A. B.

C. D.

3. AB是⊙O的切线，下列条件能判定AB⊥CD的是（ ）

A. AB与⊙O相切于直线CD上的点C

B. CD经过圆心O

C. CD是直线

D. AB与⊙O切于C，CD过圆心O

4. 已知AB是⊙O的直径，CB与⊙O切于点B，AC＝2AB，则（ ）

A. ∠ACB＝60° B. ∠ACB＝30°

C. ∠ACB＝45° D. ∠BAC＝30°

5. 等边三角形外接圆半径、内切圆半径及三角形高的比是（ ）

A. 2：1：3 B. 3：2：4

C. 3：2：3 D. 1：2：3

二、填空题：

6. 已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到直线l的距离为5.5cm，那么直线l与⊙O有__________个公共点。

7. 过圆上一点可作圆的__________条切线，过圆外一点，可作圆的__________条切线，过__________点，不存在圆的切线。

8. 在⊙O中，AD是直径，AB是弦，过点D作切线交AB的延长线于C，如果AB＝BC，则∠ADB＝__________。

9. 在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则此三角形的内切圆的半径__________。

10. I为△ABC的内心，∠A＝60°，则∠BIC＝__________。

三、解答题：

11. 已知等边△ABC的边长为2，以A为圆心，以r为半径作圆，当r为何值时⊙A与BC相交？

12. 如图，已知AD为⊙O的直径，BC与⊙O相切于点D，AB、AC分别交⊙O于E、F，求证：AE·AB＝AF·AC。

13. 如图，在⊙O上，以O'为圆心的圆交⊙O于A、B，⊙O的弦OC交⊙O'于D，求证：D为△ABC的内心。

[参考答案]

一、选择题：

1. A 2. B 3. D 4. B 5. A

二、填空题：

6. 两 7. 1，2，圆内

8. 45° 9. 2 10. 120°

三、解答题：

11. 作△ABC的高AD，求出

∴当时，⊙A与BC相交

12. 证明：连结EF、ED

13. 连结O'A，O'B，AD

⊙O中，

∴点D为△ABC的内心。

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