零的故事
发布时间：2011-04-30 来源：文档文库
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零的故事谈到数学，大家一定会想到数字。试想，要是不会数「数」与加减法，我们甚至不能进行日常采买。因此，因此我们在学校要学算术；不懂算术的人，就像不会读写一样是个文盲。这也就是为什么一般人心目中的刻板印象，都认为数学就是算术，在研究数字。查尔斯．席夫在《零的故事》一书中提到：「在古文明时期，光是会数数就是一项了不起的本事。在埃及的死亡之书中记载，运送亡魂到阴间的摆渡人阿圭恩(Aqen拒绝让任何不会数自己指头的人上船。亡魂必须要能一面背诵计数的韵诗，一面数他的指头摆渡人才会放行。」
没有数字怎么算？
在文字产生前数目都是以实物来记录的，如小石子、树枝、竹片或贝壳等等。斯里兰卡的Vedda族人，要计算椰子的数目，他会收集一堆树枝，每一根树枝代表一个椰子，利用树枝代表椰子的“个数”。
一九三○年代晚期，考古学家卡尔‧艾伯索伦(Karl Absolom在捷克发现一根三万年前的狼骨，上面有一系列的刻痕。卡尔给了这位狼骨雕刻家一个有趣的名字「卡格」（Gog）。我们无从了解卡格使用这根骨头的目的；然而，可以肯定的是：早期的人类会数「数」。易经上记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」，「结绳而治」即是利用结绳的办法来记数；「书契」就是在物体上刻痕。南美洲古代的印加帝国（Inca，11世纪~15世纪）便广泛地利用结绳来记数，结绳方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦都有结绳记数的记载或实物标本。
从两河流域的肥沃月湾（现今叙利亚、依朗）一带出土的文物中，考古学家发现许多1~3公分大小，各种不同形状的陶制记数码（下图左）。大约在公元前6000年左右，肥沃月湾一带便普遍地用陶记数码来记数。
公元前3300年左右，商业行为开始发展。人们将记数码封在一个的陶制容器内，见上图右，做为帐簿或合约。然而，将记数码封在陶制容器中，每次算帐或确认时都得将容器打破，事后自然需要重做一个新的。那实在是一件很麻烦的事，所以就有人想到将记数码翻印在未干的容器外或在容器外面画一些特别的符号，来说明里面有多少记数码。之后，人们又了解到根本不需要在容器里面放任何东西，只要在一个泥版上画出相同的记号就可以了。
人类竟然花了那么长时间，才看出那么明显的事实，这真是令人感到不可思议。当然，我们现在认为明显的事，当时绝对一点也不明显。把数与实际物体分离，了解「数是独立于特定物体」的抽象观念，是人类思想史上的一大进展。我们每个人在学习过程中不也都经历类似的智能成长吗？
进位制
早期的人类似乎只会区分「一」与「多数」；随着语言的发展，人类开始能分辨一、二及多数。现代某些语言仍然缺乏称呼较大数目的名词。玻利维亚的西利欧那印第安人（Siriona Indians）及巴西的雅拿玛族（Yanoama）的语言中没有任何数目字是大于三的；这两个部落的人使用「许多」及「大量」描述大于三的数目，正所谓「三人成众」是也！
由于数字的可加性，数字的系统没有停留在三。过了一段时间，聪明的人们开始将一些数字符串在一起，产生新的数字。巴西的巴凯瑞族（Bacairi）及博洛洛族（Bororo）目前所使用的语言就显示出这个过程：他们的数字系统由「一」、「二」、「二加一」、「二加二」、「二加二加一」……以此类推。这些民族以二为单位计数，数学上称这个系统为「二进制」系统，其中「二」则称为进位系统的「基数」。在计算器科学中使用最基本的进位制就是二进制制（除了二进制制之外，四进位、八进位及十六进制也都是计算器科学中常使用之进位方法）。
卡格的狼骨上刻了五十五个小记号，每五个为一组排列；在第廿五个小记号之后另外有一个记号。由此看来，卡格似乎是以五为一组来计数，然后再计算组的数目。现代的数学家称这样的计数法是「五进位」计数系统。
为什么选择五呢？如果我们进一步寻求解释，你会发现这是一个主观的决定。如果卡格决定以四个为一组计数，他的数字系统照样能运行；同样的，他也可以使用十或六十来计数。分组的方法不会影响骨头上的刻痕总数，只会影响结算的方法。也就是说，不管他使用什么「基数」作运算，最后得到的结果都是一样的。古巴比伦人就是用六十进制制，希腊人、欧洲人将这系统运用于数学计算和天文学计算中，直到现在六十进制制仍被用于角度、时间等记录上。然而，卡格就是比较喜欢以五为基数计数。也许这是因为人的每只手有五根指头。
即使在南美洲的二进制系统中，语言学家也看到五进位系统的萌芽。博洛洛人使用「一只手的指头总数」代替「二加二加一」。明显地，古代的人喜欢使用身体的部位计数，例如：五（一只手）、十（双手）及二十（双手双脚）是他们最喜欢使用的基数。在英文，中十一（eleven）及十二（twelve）似乎是由「比十多一」（one over“ten”）、「比十多二」（two over “ten”）衍生出来的，而十三、十四、十五„„等等则是「三加十」、「四加十」、「五加十」的缩写。由此，语言学家下了一个结论：日耳曼语系的语言（包括英语）是以十为基本单位，因此，这些民族应该是使用十进制系统。另一方面，在法语中八十是quatre-vingt(四个廿，九十是quatre-vingt-dix（四个廿加十）；这可能代表从前住在法国这个地方的原始部落高庐人是使用廿进位系统来计数。
然而，这些系统中没有称为「零」的数字，零的观念根本不存在。你永远不需要记录零只羊，商人不会说：「我有零根香蕉。」他会告诉你：「我没有香蕉。」你不需要一个数字来表达缺乏某件东西。没有人需要使用某个符号来代表不存在。这就是为什么人类可以长久安于没有零的生活。人们根本不需要它，所以零一直没有出现。
计数法
埃及象形文字
每一个数字可能有若干写法，以下分别为 1、10、100、1000、10000、
以十为基数，100000之写法：
而以上两个图形分别表示106及107，这种记法的缺点是每一个更高的单位都须 