[成才之路]2014-2015高中数学人教A版选修2-1：综合素质检测2章来源：学优高考网154624

第二章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是(　　)

A．2　　　　　　　 B．2

C. D．1

[答案]　D

[解析]　由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.

2．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为(　　)

A．10 B．20

C．2 D．4

[答案]　D

[解析]　由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，

∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.

由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16

a2＝25＋16＝41，∴a＝，∴L＝4，故选D.

3．椭圆＋＝1的一个焦点为(0,1)，则m＝(　　)

A．1 B．

C．－2或1 D．－2或1或

[答案]　C

[解析]　∵焦点在y轴上，∴3－m>m2.

由3－m－m2＝1得m＝1或－2，∴选C.

4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±2x

C．y＝±x D．y＝±x

[答案]　C

[解析]　∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝，故渐近线方程为y＝±x.

5．(2013·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)

A．1 B．

C．2 D．3

[答案]　C

[解析]　∵e＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A＝(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.

6．已知a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2(　　)

A．大于0且小于1 B．大于1

C．小于0 D．等于1

[答案]　C

[解析]　∵lge1＋lge2＝lg＋lg

＝lg＝lg1＝0，∴lge1＋lge2<0.

7．(2014·长春市期末调研)经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为(　　)

A．2 B．

C. D．

[答案]　A

[解析]　由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，

∴＝tan60°＝，∴b＝a，代入a2＋b2＝c2中得4a2＝c2，∴e2＝4，∵e>1，∴e＝2，故选A.

8．(2014·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1 B．－＝1

C.－＝1 D．－＝1

[答案]　A

[解析]　由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，a2＝5，b2＝20，

∴双曲线标准方程为－＝1，选A.

9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

[答案]　C

[解析]　由已知F(p,0)，A(0,2)，M(，y0)，

∵AF⊥AM，∴kAF·kAM＝－1，

即×＝－1，

∴y－8y0＋16＝0，∴y0＝4，∴M(，4)，

∵|MF|＝5，∴5＝，

∴(p－)2＝9.

∴－＝3或－＝－3，

∴9p2－36p－64＝0， ①

或9p2＋36p－64＝0，

由①得∴p＝－(舍)，p＝.

由②得p＝(p＝－舍)，

∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.

10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2、P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为(　　)

A. B．

C. D．

[答案]　C

[解析]　由题意，设|PF2|＝x，∵∠PF1F2＝30°，

∴|PF1|＝2x，∵PF2⊥F1F2，∴|F1F2|＝x，

∴由椭圆的定义知2a＝3x，又∵2c＝x，

∴离心率为e＝＝＝＝，故选C.

11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)

A．y2＝x B．y2＝x

C．x2＝－y D．x2＝－y

[答案]　C

[解析]　如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p×40,2p＝，所以抛物线的方程应为y2＝x，所给选项中没有y2＝x，但方程x2＝－y中的“2p”的值为，所以选项C符合题意．

12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1 B．＋＝1

C.＋＝1 D．＋＝1

[答案]　D

[解析]　设A点坐标的(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，

∴两式相减得，＝，

即＝，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴k＝＝，

又∵k＝＝，∴＝，

又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，

∴b2＝9，a2＝18，

即标准方程为＋＝1，故选D.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使∠F1PF2＝90°的点P有________个．

[答案]　0

[解析]　设a>b>0，c＝，以O为圆心，以c为半径画圆；当c<b时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c＝b时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c>b时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a2＝4，b2＝3，∴c＝1，b＝，因此这样的点P不存在．

14．(2014·湖北部分重点中学高二期中)过抛物线x2＝y的焦点作直线交抛物线于A、B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为________．

[答案]　32

[解析]　分别过A、B、F、M作准线的垂线，垂足依次为A1、B1、F1、M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，

又|MM1|＝yM＋＝2＋＝.

∴|AB|＝.

15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.

[答案]　

[解析]　本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题．

在△ABF中，由余弦定理得，

cos∠ABF＝，∴|BF|2－16|BF|＋64＝0，∴|BF|＝8，设右焦点为F1，

因为直线过原点，∴|BF1|＝|AF|＝6，

∴2a＝|BF|＋|BF1|＝14，∴a＝7，

∵O为Rt△ABF斜边AB的中点，

∴|OF|＝|AB|＝5，∴c＝5，∴e＝.

16．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆；

②若1<t<4，则曲线C为椭圆；

③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.

其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．

[答案]　③④

[解析]　显然当t＝时，曲线为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当1<t<4，且t≠时，方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线；而当1<t<时，4－t>t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|.

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．

[解析]　(1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝，

设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组

消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，

即＝|x2－x1|.

则＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝－＝，

解得b＝.

18．(本小题满分12分)(2014·银川九中一模)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．

(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．

[解析]　设所求圆的半径为r，则圆的方程为(x－2)2＋y2＝r2.

依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，

则解得

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，

所以直线l′的方程为y＝－x－m.

由得x2＋4x＋4m＝0.

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

19．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.

[解析]　(1)由题意知双曲线的方程是标准方程．

∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.

把点(4，－)代入双曲线方程得，λ＝6.

∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)双曲线的焦点为F1(－2，0)、F2(2，0)．

∵M点在双曲线上，∴32－m2＝6，m2＝3.

∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝0.

20．(本小题满分12分)(2014·安徽文，21)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

[解析]　(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，

又∵△ABF2的周长为16，

∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.

∴|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，

由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k，

在△ABF2中，由余弦定理得，

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，

∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，

∴a＝3k，

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，

∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2

∴F2A⊥AB，F2A⊥AF1，

∴△AF1F2是等腰直角三角形，

从而c＝a，所以椭圆离心率为e＝＝.

21．(本小题满分12分)(2014·重庆万州分水中学期中)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

[解析]　(1)∵e＝＝，∴＝＝1－＝，∴a＝2b，

再由a＋b＝3得a＝2，b＝1，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则BP方程为y＝k(x－2)(k≠0且k≠±)，①

将①代入＋y2＝1，解得P(，－)，

又直线AD的方程为y＝x＋1，②

①与②联立解得M(，)，

由D(0,1)，P(，－)，N(x,0)三点共线可得N(，0)，所以MN的斜率为m＝，则2m－k＝－k＝(定值)．

22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

[解析]　(1)设椭圆的方程

＋＝1(a>b>0)，

∵F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，

∴∴∵a2＝b2＋c2，

∴b2＝12，故椭圆方程为＋＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程y＝x＋t.由消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.

∵直线l与椭圆有公共点，

∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.

另一方面，由直线OA与l的距离等于4，

可得，＝4，∴t＝±2.

由于±2∉[－4，4]，

故符合题意的直线l不存在．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9c7bbcebb94ae45c3b3567ec102de2bd9605dea1.html