北师大版九下数学《第3章 圆》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
2．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
4．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
5．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B．
C．
D．
8．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外
9．下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．直径是同一圆中最长的弦
10．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B．
C．2 D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 ．（只考虑小于90°的角度）
12．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为 ．
13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 ．
14．如图，⊙O中，已知弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，则∠AOC＝ 度．
15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是 ．
三．解答题（共6小题）
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
17．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
19．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．
20．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．
21．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
北师大版九下数学《第3章 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
【分析】根据圆的有关概念、确定圆的条件及三角形与其外心和内心之间的关系解得即可．
【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故错误；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
C、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故错误；
D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握．
2．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB、CD的弦心距OE、OF，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论．
【解答】解：如图，AE＝AB＝
×24＝12，
CF＝CD＝
×10＝5，
OE＝＝
＝5，
OF＝＝
＝12，
①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；
②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．
所以距离为7或17．
故选：C．
【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论．
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝
×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝
＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．
4．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
【分析】根据圆心角定理进行判断即可．
【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D＝∠P＝30°，∠ABD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠P＝30°，
∴∠D＝∠P＝30°．
∵AD是⊙O的直径，AD＝4，
∴∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
【分析】由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠BAD＝100°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝80°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝100°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
8．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外
【分析】本题先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．
当d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上；
当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P的坐标为（3，4），
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离＝＝5，
∴点P在⊙O上，故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外．
9．下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．直径是同一圆中最长的弦
【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难道不大．
10．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B．
C．2 D．
【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 70° ．（只考虑小于90°的角度）
【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．
【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB＝90°，∠PAB＝20°，因而∠PBA＝90°﹣20°＝70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．
故答案为：70°；
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
12．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为 15°或105° ．
【分析】分类讨论：当AC与AB在点A的两旁．由OA＝OC＝1，AC＝1，得到△OAC为等边三角形，则∠OAC＝60°，又由OA＝OB＝1，AB＝，得到△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，所以∠BAC＝45°+60°＝105°；当AC与AB在点A的同旁．有∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
【解答】解：如图1，当AC与AB在点A的两旁．
连OC，OA，OB，如图，
在△OAC中，
∵OA＝OC＝1，AC＝1，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°；
在△OAB中，
∵OA＝OB＝1，AB＝，即12+12＝（
）2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝45°+60°＝105°；
如图2，当AC与AB在点A的同旁．
同（1）一样，可求得∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
综上所述：∠BAC的度数为：105°或15°．
故答案为：105°或15°．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．
13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 （1，1） ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心D（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂直于弦（非直径）的直径平分弦是解答此题的关键．
14．如图，⊙O中，已知弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，则∠AOC＝ 144 度．
【分析】在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【解答】解：∵弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，
∴弧ABC：弧AmC＝6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4＝144°．
【点评】本题利用了在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度求解．
15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是 35° ．
【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C＝90°，继而求得∠B的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵D是的中点，
∴∠DAC＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连结OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴AC弧＝BD弧，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
17．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．
【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF，
∵AE＝2，EB＝6，
∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，
∴OA＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1，
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝
，
则CD＝2DF＝2．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
【解答】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
19．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】由圆周角定理，易得：∠ACB＝∠AOB，∠CAB＝
∠BOC；已知∠AOB＝2∠BOC，联立三式可求得所证的结论．
【解答】解：∠ACB＝2∠BAC．
证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝
∠BOC；
又∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠ACB＝2∠BAC．
【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，根据已知得出：∠ACB＝∠AOB，∠CAB＝
∠BOC是解题关键．
20．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．
【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC＝6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC＝＝8（cm），
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
∴＝
，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD＝AB•cos45°＝10×＝5
（cm）．
【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
【分析】首先利用等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB，再利用圆周角定理求出∠DAE与∠DAC相等．
【解答】解：∠DAE与∠DAC相等，
理由：∵DB＝DC，
∠DBC＝∠DCB，
∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠DBC＝∠EAD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠DAC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得出∠DBC＝∠EAD是解题关键．
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