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定积分在生活中的应用

发布时间：2020-09-28   来源：文档文库   
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PINGDINGSHAN UNIVERSITY

院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 天 鹏






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. . . . 定积分在生活中的应用

定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述
1、定积分的定义：
设函数fx在区间a,b上有界. ①在a,b中任意插入若干个分点ax0x1n个小区间x0,x1,x1,x2,xn1xnb,把区间a,b分成,xn1,xn,且各个小区间的长度依次为x1x1x0， x2x2x1，…，xnxnxn1。
②在每个小区间xi1,xi上任取一点i，作函数fi与小区间长度xi的乘积fixi（i1,2,n， ,n）n③作出和 Sfixi。记Pmaxx1,x2,,xn作极限limfixi P0i1i1如果不论对a,b怎样分法，也不论在小区间xi1,xi上点i怎样取法，只要当P0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间a,b上的定积分（简称积分），记作afxdx，即
bfxdx=I=limfx, abnP0iii1其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。
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. . . . 2．定积分的性质
设函数fx和gx在a,b上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都可积，并且
性质1 akfxdx=kafxdx; 性质2 afxgxdx=afxdx+agxdx
fxgxdx=afxdx-agxdx. abbbbbbbb性质3 定积分对于积分区间的可加性
设fx在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有afxdx=afxdx+bfxdx。
性质 4 如果在区间a,b上fx1，则a1dx=adx=ba。 性质 5 如果在区间a,b上fx0,则afxdx0ab。
bbbbcbc性质 6 如果在[a,b]上,mf(xM,则m(baf(xdxM(ba
a性质 7（定积分中值定理）如果f(x在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少b存一点使得 f(xdxf((ba
a3．定理
定理1 微积分基本定理
如果函数fx在区间a,b上连续,则积分上限函数x=aftdt在a,b上可导,并且它的导数是 'x=定理 2 原函数存在定理
如果函数fx在区间a,b上连续,则函数x=aftdt就是fx在xxdftdtaxdx=fxaxb. a,b上的一个原函数. w. .
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. . 定理3 如果函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数, 则 afxdx=FbFa 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 二 、定积分的应用
1、定积分在几何中的应用
（1）设连续函数f(x和g(x满足条件g(xf(x，x[a,b]．求曲线（如图1） yf(x，yg(x及直线xa,xb所围成的平面图形的面积S．解法步骤： 第一步：在区间[a,b]上任取一小区间[x,xdx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以[f(xg(x]为高，以dx为底的矩形面积近似，于是dS[f(xg(x]dx．
第二步：在区间[a,b]上将dS无限求和，得到Sa[f(xg(x]dx. （2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线x(y、x(y其中(y(y与直线yc、bb图2 yd所围成的平面图形（图2）的面积为：
S[(y(y]dy
cd例1 求由曲线ysinx，ycosx及直线x0，x所围成图形的面积A．
解 （1）作出图形，如图所示． 易知，在[0,]上，曲线ysinx与ycosx的交点为(,42；2w. .
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（2）取x为积分变量，积分区间为[0,]．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；
（3）区间[0,]上这一部分的面积A1和区间[,]上这一部分的面积A244分别为
A1(cosxsinxdx， A2(sinxcosxdx，
404所以，所求图形的面积为
AA1A2=4(cosxsinxdx+(sinxcosxdx
04

sinxcosx04cosxsinx22．
4x2y2例2 求椭圆221的面积. ab解 椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即
axacost S4S14ydx 利用椭圆的参数方程 0ybsint应用定积分的换元法,dxasintdt,且当x0时,t,xa时,t0,于2是
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. . . . S4bsint(acostdt204ab2sin2tdt04ab201cos2tdt2
t14absin2t2ab2402．求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T:ax0x1xnb划分成许多基本的小块，每一块的厚度为xi(i1,2,,n，假设每一个基本的小块横切面积为A(xi(i1,2,,n，A(x为a,b上连续函数，则此小块的体积大约是A(xixi，将所有的小块加起来，令T0，我们可以得到其体积：
VlimT0A(xxiii1nbaA(xdx 。
例2 求由曲线xy4, 直线 x1,x4,y0绕x轴旋转一周而形成的立体体积. 解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替，
即体积微元为 4dV=πy2dx=π(2dx, xy
于是，体积 V=πxy=4 414(2dx
xO 1 x x+dx
4 x
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. . =16π411dx x216π1x41=12π. 3.求曲线的弧长
（1）设曲线yf(x在a,b上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x为积分变量，在a,b上任取小区间x,xdx，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即lMNds.得弧长微元为：
dsMT(dx2(dy21(y2dx,再对其积分，
则曲线的弧长为：sadsa1(y2dxa1[f(x]2dx （2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线x(t上t,一段的弧y(tbbb长.这时弧长微元为：
dsdxdy22dxdydt即dtdt22ds2t2tdt
则曲线的弧长为 sds[(t]2[(t]2dt
32例3 (1求曲线 yx2上从0到3一段弧的长度
3解 由公式 s=a1y2dx （ ab）知,弧长为
s=30b1ydx=23021xdx=(1x23330=16214=. 333(2求摆线 xa(tsint, 在0t2上的一段弧的长度（a0）．
ya(1cost解 取t为积分变量，积分区间为[0,2]．由摆线的参数方程，得
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. . . . xa(1cost，yasint，
x2y2a2(1cost2a2sin2t a2(1cost2a|sint|．
2于是，由公式（16-13），在0t2上的一段弧的长度为s202ttt2a|sin|dt2asindt 4acos8a 0202222、定积分在经济中的应用
（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量
根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分：
R(bR(aR(xdx （1）
abC(bC(aC(xdx （2）
abL(bL(aL(xdx （3）
ab例1 已知某商品边际收入为0.08x25（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x，总成本C(x，利润I(x的改变量（增量）。
解 首先求边际利润
L(xR(xC(x0.08x2550.08x20
所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：
R(300R(250300250300R(xdx300250300(0.08x25dx=150万元 dx=250万元
C(300C(250L(300L(250250C(xdx250300250L(xdx300250(0.08x20dx=100万元
（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率
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. . . . 设某经济函数的变化率为f(t，则称 [t2,t1]内的平均变化率。
t2t1f(tdtt2t1 为该经济函数在时间间隔例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：
r(t0.080.015t
求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于
0r(tdt0(0.080.015tdt0.160.01tt所以开始2年的平均利息率为
22200.160.022
r20r(tdt200.080.012 0.094
例3 某公司运行t（年）所获利润为L(t（元）利润的年变化率为
L(t3105t1（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率
解 由于
83L(tdt310385t1dt210(t15328338105
所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为
83L(tdt837.6105（元/年）
即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元。 （3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t（年）时的收入为f(t（万元），年利率为r，即贴现率是f(tert，则应用定积分计算，该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量为af(tertndt。
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. . 设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式
T0aertdtA
成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。
例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。
解 这里A1000，a200，r0.08，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为 0200e0.08tdtT2000.08te0.08T02500(1e0.08T
令 2500(1e0.08T=1000，即得该工程回收期为
T110001ln(1ln0.6 =6.39（年） 0.0825000.083、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t ( v(t ≥0 在时间区间[a,b]上的定积分，即 sv(tdt
ab
例 1、一辆汽车的速度一时间曲线所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：
3t,0t10,v(t30,10t40
1.5t90,40t60.如图

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

s3tdt[30dt(1.5t90dt
0104010406033240t2|1030t|(t90t|60010401350(m 24答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . w. .
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. . . . 总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃. w. .
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8bae5db0a8ea998fcc22bcd126fff705cd175c55.html

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