广东省深圳市助力教育2017-2018学年高一数学必修2专题练习：空间几何体的表面积与体积（word解析版）

空间几何体的表面积与体积

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的(　　)

A. word/media/image1.gif B. word/media/image2.gif C. word/media/image3.gif D. word/media/image4.gif

答案:B

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(　　)

A.8+2word/media/image6.gif B.11+2word/media/image6.gif

C.14+2word/media/image6.gif D.15

答案:B

3.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　)

A.4word/media/image6.gif B.8 C.8word/media/image6.gif D.8word/media/image7.gif

解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则

S球=4πR2=4π,∴R=1.

又∵正方体内接于球,∴word/media/image7.gifx=2R=2,

∴x=word/media/image8.gif,∴S正=6x2=6×word/media/image9.gif=8.

答案:B

4.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为word/media/image6.gif,则此球的体积为(　　)

A. word/media/image10.gifπ B.4word/media/image7.gifπ

C.4word/media/image10.gifπ D.6word/media/image7.gifπ

解析:

答案B

5.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1∶3 B.1∶1 C.2∶1 D.3∶1

解析:V1∶V2=(Sh)∶word/media/image12.gif=3∶1.

答案:D

6.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于(　　)

A.6 B.6π

C.3word/media/image14.gifπ D.6word/media/image14.gifπ

解析:圆台的两底面半径分别是1,2,高为2,

则母线长为word/media/image15.gif,

则其侧面积等于π(1+2)×word/media/image14.gif=3word/media/image14.gifπ.

答案:C

7.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　)

A. word/media/image16.gif B. word/media/image17.gif C. word/media/image18.gif D. word/media/image19.gif

解析:设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=word/media/image20.gif,所以圆柱的底面积为word/media/image21.gif,侧面积为a2,全面积与侧面积的比是word/media/image22.gif.

答案:D

8.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为(　　)

A. word/media/image23.gif a3 B. word/media/image24.gif a3

C. word/media/image25.gif a3 D. word/media/image26.gif a3

解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=word/media/image27.gifa,故V=word/media/image28.gifa3.

答案:C

9.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为(　　)

A. word/media/image29.gif B. word/media/image30.gif C.8word/media/image6.gifπ D. word/media/image31.gif

解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=word/media/image32.gif,球的体积为word/media/image33.gifπR3=word/media/image31.gif.

答案:D

10.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为word/media/image1.gif.则该几何体的俯视图可以是(　　)

答案:C

11.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(　　)

A.9π

B.10π

C.11π

D.12π

答案:D

12.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(　　)

A.1+word/media/image7.gif B.1+2word/media/image6.gif C.2+word/media/image7.gif D.2word/media/image6.gif

解析:

由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=word/media/image6.gif.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=word/media/image6.gif,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=word/media/image39.gif,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+word/media/image7.gif.

答案:C

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　　. 

解析:S柱=2×πword/media/image40.gif+2π·word/media/image41.gif·a=word/media/image42.gifπa2,

S锥=πword/media/image40.gif+π·word/media/image41.gif·a=word/media/image43.gifπa2.∴S柱∶S锥=2∶1.

答案:2∶1

14.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　. 

解析:

作经过球心的截面(如图),

O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,

则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,

V=word/media/image46.gif (32+word/media/image47.gif+42)×7=word/media/image48.gif.

答案: word/media/image48.gif

15.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为　　　　　. 

解析:

由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,

则word/media/image50.gif

解得word/media/image51.gif

故它的体积为word/media/image2.gif×π×12×word/media/image52.gif.

答案: word/media/image53.gif

16.

如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是　　　　　. 

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2word/media/image7.gif,求该三棱锥的表面积.

解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,

3S△VBC+S△ABC=3word/media/image59.gif+3word/media/image7.gif=3(word/media/image60.gif).

18.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积.

解:

19.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.

解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,

∴V圆锥=word/media/image2.gifπr2h.

球的半径为r,

∴V球=word/media/image33.gifπr3.

又h=2r,

∴V圆锥∶V球∶V圆柱=word/media/image63.gif∶(πr2h)= word/media/image64.gif∶(2πr3)=1∶2∶3.

20.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为word/media/image7.gif的圆柱,求圆柱的表面积.

解:

21.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.

解:

如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.

∵OE=2 cm,∠OPE=30°,

∴PE=2OE=4 cm.

因此S侧=4×word/media/image1.gifPE×BC=4×word/media/image1.gif×4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).

22.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3word/media/image6.gif的正方形,且各侧棱长均为2word/media/image7.gif.求该四棱锥外接球的表面积.

解:

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/87054d57580102020740be1e650e52ea5418ce6a.html