第二讲 培优竞赛一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

第一讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

培优竞赛辅导

知识点:

1、一元二次方程的根的判别式

一元二次方程根的判别式为：△= ，

当时，方程有两个 的实数根；当时，方程有两个 的实数根；

当时，方程 实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；

方程有两个实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

2、一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程方程的两个根为 即x1=，x2=，那么： ， ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是．

特别地：

1　如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。

2　以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

3　在一元二次方程中，有一根为0，则 ；

有一根为1，则 ；有一根为，则 ；

若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。

常用公式:（1）

（2）；

（3）①方程有两正根，则； ②方程有两负根，则 ；

③方程有一正一负两根，则； ④方程一根大于，另一根小于，则

典型例题：

例1:如果关于x的一元二次方程kx2－x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0

例2:

例题3:已知关于x的方程mx2—(2m+1)x+2=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有实数根；
（2）若原方程有两个实数根x1和x2，当时,求m的值

（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于1，另一个根小于1 ？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【拓展练习】:

1、若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）

A． m＜ B。m＞－ C．m＜，且m≠0 D 。m＞－，且m≠0

2、若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A． B． C． D．大小关系不能确定

3、甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和-10，则原方程为（ ）A．x2-9x+14=0 B．x2+9x-14=0 C．x2-9x+10=0 D．x2+9x+14=0

4、已知方程的两个根的平方和为6，则k的值为（ ）

A、； B、； C、； D、k值不存在。

5、已知实数x满足，那么的值为

  A．1或－2     　　　B．－1或2   　　　　   C．1   　　     D．－2

6、设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ，= ．

7、若实数满足，则= 。

8、已知，，，则 。

9、设a、b、c是实数，且a2-bc-8a+7=0，b2+c2+bc-6a+6=0，则a的取值范围是______．

10、定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为

“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结

论正确的是（　　） A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c

11、已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．

12、关于x的方程至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.

培优竞赛例题精讲

例1：如果x的一元二次方程有两个相等的实数根，

证明：

例2：已知二次方程有两个异号的实数根和，且，试判断二次方程根的情况。

例3：已知实数满足求证：中有且只有一个不小于

例4：（全国竞赛）已知整数是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程求的值及此直角三角形的三边长。

变式：(江苏竞赛)已知关于的方程的根是整数，求实数的值。

培优竞赛同步检测 1、已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是 ．

2、已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是 ．

3、已知、是方程的两个根，则的值为 ．

4、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是

5、方程的两根是m,n求作一个新的一元二次方程 ，使其两根分别等于m,n的倒数的平方。

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是( ) A． B． C．5 D．2

7、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( ) A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1

8、已知关于的方程．（1）当是为何值时，此方程有实数根；

(2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值．

9、(1)教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－, x1·x2=.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知x1、x2为方程x2-2x-1=0的两根，则：x1+x2=____，x1·x2=____，那么x12+x22=( x1+x2)2-2 x1·x2=____．

请你完成以上的填空,并解决以下问题:

已知m,n满足,求m-n的值;

(2)阅读材料：已知，且．求的值．

解：由可知．∴．∴.

又且，即．∴是方程的两根．

∴．∴=1．

（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．

已知，且．求的值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/85581336a1c7aa00b42acb24.html