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定积分换元法与分部积分法习题.doc

发布时间：   来源：文档文库   
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1．计算下列定积分：⑴sin(x

3
dx；3
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式



sin(x
3


dx3

sin(x
3d(x
33cos(3
]3

cos(x
3

3


[cos(

3

[cos(
3


cos
3

]0。

【解法二】应用定积分换元法





令x


u，则dxdu，当x从单调变化到33

4
时，u从
2
3
单调变化到4，
3
23


4
于是有


1
3
sin(x


dx3

23
sinudu

cosu23

3
[cos
43

cos]


3

[cos
3


(cos]0。
3




dx


⑵
2
(115x3；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1
dx1

1
(115x3d(11



5x
15
1
(11
5x


212


2
(115x3
5
2
2




1210(1151


1[
12
(1152



]11
(
2
1
1016




51。
512

【解法二】应用定积分换元法
令115xu，则dx




1
du，当x从2单调变化到1时，u从1单调变化到
5











16，于是有
1
dx1

16
udu

3
1

1
u
2161
11
(
1

51512
。
2

(115x3
5
1
52

10162
⑶2sin
0
cos3d；
-莱布尼兹公式

【解法一】应用牛顿






20
sincos

3
d

2
0
3
cosdcos





14

cos

4

20




14
[cos42



4
cos

0]

1






[04

1]1。
4







【解法二】应用定积分换元法


令cos


u，则sind



du，当


从0单调变化到时，u从1单调变化




2




到0，于是有




2
0
sincos

3
d


01
udu

3
udu1u400
4
3





1
1
1。










4



⑷
0
(1sin3d；



3
【解】被积式为(1sind，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于
1是
独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对



sin3d的积分，这是正、余弦的奇数
次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：
sind

dcos，余下的sin21cos2，这样得到的(1cos2dcos便为变
量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种：


【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式



(1sin3d
0
1d
0
sin2sind
0
0
(1cos2dcos
0



1cos303
cos30(coscos01(cos3
3
1
4。(11(11
33(cos









【解法二】应用定积分换元法

令cosu，则sind



du，当从0单调变化到





时，u从1单调变化


到



1，于是有

(1sin3d
0
1d
0
sin2sind
0
0
(1cos2dcos
0







1
1
(1u2du





(u

1

u1
31






3




(1
1
13
(11
43
。







令2u



2







⑸2cos2udu；
6
【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：
cos2

u
1cosu，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：cos2u
1cos2u，使之
22
2
可以换元成为基本可积形式：

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

2
cos2udu
21
cos2udu1(2du12cos2ud2u
6
6
226
26
1
1

(u2
sin2u2
1
[(1

(sinsin]
2
6
26
2
262
3
1(3
。
23
4






【解法二】应用定积分换元法
x，则du
1
dx，当u从单调变化到

时，x从单调变化到
，
2
623
于是有
2
cos2udu
21
cos2udu1(2du12cos2ud2u6
6
22626

1(u

21
[(
1cosxdx
1
sinx]
6
23
2
26
23
1[
1
(sin
sin]1(
3
。
232
323
4

2
⑹
2x
2
dx；
0
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是
2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令
x2sinu，当x从0单调



变化到


2时，u从0


20
单调变化到，且


2x2

2
22sin2u2cosu，
2




dx2cosudu，使得

1
2


0
2xdx
2
2cosu2cosudu

2
cos2u2

0

du




2
0
du
2
0
cos2uduu02


12cos2ud2u20
0
2
。
u02


1
12
0sin2u
2
1
(sin
22
1x2x
2

⑺1

2
dx
；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是中的三角变换法：

2，应该应用第二类换元法


为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令









xsinu，当x从


1
单调
2
变化到1时，u从单调变化到



112

，且
1x2

1sin2u

cosu
，dx
cosudu，



4


2
2


x2


sin2u


sin2u
使得



1x2dx


cosucosudu



2
cot2udu


2
(csc2u1du



x2

2sinu4

4

4


a


(
cotuu2
4
[(cot

cot(
2424




]1。
4
⑻0x2a2

x2dx（a0）；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是中的三角变换法：

2，应该应用第二类换元法
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，

应令xasinu，当x从0单调变
化到a时，u从0单调变化到

，且x2
a2x2a2sin2ua2sin2usin2uacosu，
2
dxacosudu，使得















2xx2


a4
x2a2x2dx
2
a2sin2uacosuacosudua2sin22udu
0





0
4
0
a
4
21
cos4u
a4
(u1
sin4u20
4
0
2du8

4a4
[
1
(sin20]
1a4。824

16
⑼3
dx


；
1
x21x2
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令
xtanu，当x从1单调变化到3时，u从
单调变化到
，且

4

3






dxsec2udusec2uducosudu1dsinux21x2
tan2u1tan2utan2usecusin2usin2u

dx
1





使得
3
3

1
x21x24
sin2udsinu

这时，再令sinu
t，当u从单调变化到时，t从2单调变化到
3，



432
2


3
1
3

2
311
2
又得
dsinu
2(
22
2
2
。


4
sin2u
2
2
t2
dt
t
2
3
2

3
1


⑽
2xx2
dx；

0




【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是
2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，
需要先将其转
化为标准形：
1
(12xx21
(x12，
现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令




x1sinu，当x从0单调变化到1时，x1从1单调变化到0，从而u对应从

单调
2
变化到0，

而且

2xx2
2xx

1sin2u
0
cos2ucosu，dxcosudu，于是
cosudu




10

2
dx
cosu



02
1cos2u
2]}

du
12
。
(u
12
sin2u
02
2










12
{[0


(2


]


12
[sin0sin(








4




⑾
4

dxx
；


1


1

【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，法中的直接变换法：
应该应用第二类换元


【解法一】令
xu，当x从1单调变化到4时，u从1单调变化到2，且由此得xu2，
11u
2
dx

2udu，1

，于是


























1xdxx






41
2udu2
2
(11du1u


2(uln1u12




1

1
1u
(ln3


1
2[(21ln2]



3
2(1ln
22
2(1ln。
3


【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令变化到4时，u从2单调变化到3，且由此得x










1
xu，当x从1单调
1，1
1xu



(u12，dx



2(u1du，



于是


4
dx

3
2(u1u
du

2(1
2
3
1u
du



2(ulnu



32








1
1


x


2












2[(32(ln3ln2]


1






2(1ln。
2

3







dx



⑿3
4
1x1
；



【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，

应该应用第二类换元
法中的直接变换法：




【解法一】令


1xu，当x从单调变化到
4
3
1时，u从


1
2

单调变化到



0，且由此得

1
x1u2，dx


2udu，


1
34


11x12u

1，于是u122(1
0


dx






01
1
du
1x


1
2
u1ln
duu1
1
2(ulnu


102




2(
1
2
1
2
ln1


12ln2。






【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，










即令1x


1u，当x从单
4
2(u1du，

3
调变化到1时，u从


1单调变化到1，且由此得x2
1(u12，dx



1

1
1u
1
34
，于是







1x



1

dx1x1
2[(



112
2(u1u

du
22(1
1
1u
du


2(ulnu12
1
1

1



(1ln2


1ln1]
2


12ln2。


⒀


xdx

；






1
54x
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，法中的直接变换法：

应该应用第二类换元

令54xu，当x从1
单调变化到
1时，u从3单调变化到，于是
1，且由此得
x

1(u24
11
5，dx

1
udu，

2
xdx54x
1
154x
1
u
udu



11
112
(u
3
u4
5
12
18
1
(u

2
5du


3
1131
5u3(u
83




2
[(133
83

5(13]1。
6
1
ex
⒁
1x

2
dx；








111
ex11
xxx
【解】由于2dxe2dx，为含复合函数e的积分，且微分部份2dx仅与复合函数exxx
1
之中间变量


1
x
的微分

1
2dx相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：






1







x

1
2
x1











【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

2
1

1
e
x
2dx
ed
1x

1
2
e1
x
(e

12
ee


e。


x







【解法二】应用定积分的换元法
令
1
1

1


121
，且由此得


xu，当x从1单调变化到2时，u从1单调变化到2
于是

2


1
x2dxdu，



1





1



1







1t
2
e
x
x


2dx

e
x
1x
2dx

2
edu


u
e


u
1
2
(e


2
ee


1




e。




1











⒂te2dt；
0
1










2

2



【解】为含复合函数



e
t
2的积分，且微分部份




tdt与复合函数




e2之中间变量
t
t22
的微分

tdt仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

1
t
2
1
t
2
te2dt

e2d(
t

2

t
2
0

0
2
e2
10
1
(e2


0
1
e1
。




e
【解法二】应用定积分的换元法



令

1
t22
2
t
2
u，当x从0单调变化到1时，u从0单调变化到

1
12

，且由此得

tdtdu，


0


1
于是



tedt
0


2
0
edu1edue
2
uuu0
1e
0
2
e


2


11。
e





⒃
e
2




dx

；


















1
x1lnx

【解】为含复合函数的积分，且微分部份
dx
x
与复合函数
1之中间变量1lnx的微1lnx




分dx相等，可以应用第一换元积分法：

e
2
1
x
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

dxx1lnx
e
2
1

1
1d(1lnx21lnx1e21lnx
2(1lne2


1ln12(12102(31。
【解法二】应用定积分的换元法

1

令1
lnxu，当x从1单调变化到e2时，u从1单调变化到
3，且由此得
dxdu，于是

⒄

0

e
2

dxx1lnx
；


3
1u
du2u


31
2(31。


11


(x2dx


2

【解】为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分：


x2
2x2

0
(x2dx2
10(2x2

2
x22x2
2121
x22x22x20
2

dx











dx
1

0
2

dx




2
x2

0
2
2x222x2
10d(x22x2
2

x2

1
d(x11
1



2
x
2
2x2

2
(x12



0ln(x22x202arctan(x12
21(ln2ln2arctan1arctan(12


(4
2

4


。


2




⒅
dxx1(x13
；
0

【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，


应该应用第二类换元
法中的直接变换法：

x
令x1u，当

u
3，且由此得
xu
2
1，
从0单调变化到2时，从1单调变化到




dx2udu


2

0

，
1x1dx
1
，于是
(x13uu3
3
12udu2
3
1du2arctanu1
3
x1(x1

3
1
uu

3

1
1u
2




2


3


cosxdx；

2(arctan3arctan1


2(3

4

。
6
⒆


cosx2
【解】由于cosxcos3x



cosx(1cos2x
3

cosxsin2x
3
cosxsinx，
3




所以

2


0




2
cosxcosxdx

cosxcosxdx




2


0
cosxcosxdx

2










0





20

















cosx(
2


sinxdx

cosxsinxdx
























0





20










cosxdcosx
2


cosxdcosx






于是有
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式


2



2
cosx
cosxdx
3

0


(cosxdcosx
2
1
2





20

(cosxdcosx
12








23

(cosx
32

02
23
3
22(cosx0













2


(10(014。
333



2





【解法二】应用定积分的换元法


令cosx


u，当x从单调变化到0时，u从0单调变化到1，当x从0单
2

3
0

调变化到


时，u从1单调变化到0，且由此得sinxdxdu，于是

2


2

2

201




cosxcosxdx

cosx(sinxdx

1
cosxsinxdx

2







10


udu
01
1
udu
u2duu2du
0
1




0







2


u2

3
3
cos2xdx。
0
1100
du
2

3


312u0
22


43
。
33




⒇1


【解】由于

1cos2x
2cos2x
2cosx，2cosxdx
0

所以
0



1cos2xdx

2[2cosxdx
0

cosxdx]
2
2[2cosxdx
0


(cosxdx]
2
2[sinx02sinx


]
2




2[(sin

0(sin2


sin]
2
2[1(1]

22。

2．利用函数的奇偶性计算下列定积分：⑴

x4sinxdx；
x4sinx是奇函数，即知
x4sinxdx

【解】由于函数y
0。
⑵24cos4d；
2


【解】由于函数f(
4cos4是偶函数，且有cos2222cos2


4cos

4

4(
1
12cos2cos22
12cos2

32
即得
2
1



1cos4
2
cos4

2
2
4cosd


4
24cosd



4
22(
0

3
2
0

2cos2
1
cos4d


2
0

2
2




2(
3
2

sin2
1
8
sin4



(sin2

2[(223
。

12
3
0(sin0
1
0]
8
2
(arcsinx1x2

2
⑶1
2
dx；




【解】由于函数


y


(arcsinx2


1212

1x2




是偶函数，所以



















1






2











(arcsinx2
1x





1

2(arcsinx2

2







2

dx20






1x

2

dx20(arcsinxdarcsinx



















23






(arcsinx

132
0
2

2


13
[(arcsin32





0]
2



3

3



(36


。


324

xarcsinx
dx。⑷1
1x22
1


【解】由于函数yxarcsinx是偶函数，所以



1





2







1

1x2





1
xarcsinxxarcsinx22
dx2dx1
22xx1120

2arcsinxd1x


0
2










1










2[1x2arcsinx02





1
120
1x2darcsinx]









2[1
1
arcsin


1


0



4dt


2
dx]2[3x02]13。
0
266


1
2

3．证明：


1x
dt


x
1
（x


0）。
















1t2


1
1t2

【证明】作倒数变换t




1，当t从x单调变化到1时，u从单调变化到1，ux1
2(1u

1




且有1
1t21






u
2
u
2

1

，dt



1
u

2
du





















于是有
dt
1

1
u2
1
1

1

du
1du

1du
11
1



x
1t2

22
x1uu
1

2
x1u

1u2

x

1
2dt，
1

1t
证毕。

4．证明：
0
sinnxdx22sinnxdx。
0




【证明】由于
0


sinnxdx



2
sinnxdx


sinnxdx，
2
0






其中，对于


sinnxdx，作如下的处理：
2



作变换x


u，当x从单调变化到
2
usinnu，dx
0
时，u从单调变化到0，
2


xdx，


且有sinnxsinn(

du，sinudu
n

于是，



sinxdx
n
2
sinudu

n

20

2

sin
n


2
0

从而得
0


sinnxdx

2
0
sinnxdx
2
sinnxdx22sinnxdx。证毕。
0

5．设f(t为连续函数，证明：⑴当f(t是偶函数时，



(x
x0
f(tdt为奇函数；







x

【证明】当f(t是偶函数时，有f(t


x
f(t，

x

使得
(x0f(tdt
x0
t


u


0f(ud(u


0f(udu

x
(x，

可知此时(x


f(tdt为奇函数，证毕。

x




⑵当f(t是奇函数时，
(x
0f(tdt
为偶函数。
【证明】当f(t是奇函数时，有f(t


x
f(t，

x


使得
(x0f(tdtt
x0
u


0f(ud(u


0f(udu


(x，
可知此时(x


f(tdt为偶函数，证毕。




6．设f(x是以T为周期的连续函数，证明：对任意的常数



aTa
a，有


f(xdx


。
f(xdx
0
T
【证明】题设f(x是以T为周期的连续函数，可知成立


f(xTf(x，
aTT
由于


aTa
f(xdx

0
f(xdx

T0T0
f(xdxf(xdx

f(xdx


aa0

f(xdx
aTT
f(xdx




aTT


其中，对于
令xu

f(xdx，作如下的处理：





T，当x从T单调变化到aT时，u从0单调变化到a，
aTT








a0







使得


f(xdx


xuT
a
f(uTd(uT














aTa






f(udu
0
a

f(xdx，0
aT



T0

于是有证毕。

f(xdx

f(xdx


f(xdx


a
f(xdx

f(xdx，


000












7．计算下列定积分：
1
x

⑴0xedx；















【解】被积函数属分部积分第一类，应选【解法一】套用分部积分公式，



ex为先积分部份，

x



1


1

x

x

1001

1

x


1
x
1



0xe

dx0xd(e
1
x1

0
xe
1
(edx
0

1
e

0

0
e

dx


ee
e

(ee12e

。

【解法二】应用列表法
符号

求导积分



1
x10
0xe
x
exexex

⑵xlnxdx
1

e
可得
；
dx(xexex10(1e1e1(0e0


e012e1。

【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选

x为先积分部份，


e1
xlnxdx
e

1
lnxdx
122

12


122
2
(elne0
2
）e1
xlnx

2
e1
e

1


1e21x21e
4

21e2
1
x

1x
dx

12
xdlnx2
e
1212
e
1
2
xdx
1(e24


2


11(e21。4



（含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法）
xarctanxdx；
0
1
⑶






【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选
10

x为先积分部份，
1
0

xarctanxdx
10

arctanxdx

2

1
2
1
arctan12
1
1
0
2
1
x
2
11x2darctanx1xarctanx
0221111
(12dx2dx
1x1820x
2


8
⑷2xsin2xdx；
0
(xarctanx
2
1
1
0
(1
82

41。42


【解】被积函数属分部积分第一类，应选


sin2x为先积分部份，

【解法一】套用分部积分公式，

2
0
xsin2xdx

2
xd(cos2x
20

1
1
2xcos2x0

20
0
2
1cos2xdx
20
。


(12
cos2xdx

1(cos22
2
1
(1sin2x0244


1
(sin

0

44
【解法二】应用列表法
4


符号

求导

积分


x1

sin2x1214
cos




cos2xsin2x




0


可得

2
0
xsin2xdx(xcos2x
2
1(2
dx；


11
sin2x0

2
1(22
0
1
(sin

sin0



⑸

4
1

lnx
x

(00
24
1
4

4
。
4
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，应选

4
1
为先积分部份，

x
41
lnxx
dx

41
lnxd2x


2xlnx1
4
2


xdlnx
1



















2xlnx


41

1
2xdx2xlnx1
x
4
4
1


2

4
1x
1
dx


2xlnx14
2[4(ln4


4x14
2


2x(lnx214


1(ln12]



4[ln41]4(2ln21。


⑹

34
xdx；
2sinx





















【解】被积函数属分部积分第一类，应选





1
2

sinx

为先积分部份，




【解法一】套用分部积分公式，








3
x
dx
3
4
xd(cotx




xcotx3

4
4

3
(cotxdx







2
sinx4








xcotx3
4
34
cosx

dx

xcotx3
4

sinx

1dsinx4sinx
3
34
xcotx3
4
lnsinx3
4
(xcotxlnsinx
(3

cot
3lnsin(cot
344

lnsin
4



(3
1ln3(ln23242




(
1


1




ln
2
3
(

1


1


13
2

ln。
2
433
2
2

433
【解法二】应用列表法


符号



求导

积分

1
x10

sin2xcotxlnsinx


可得3
xdx2
4sinx

(xcotx



lnsinx3

4







(

cot3
3lnsin(cot
344

lnsin
4




(


13
ln
3

(

ln4

22





3

2



(
1


1



ln
2
2
2

3
(
1


433

1
433


1
ln。
2

3
2
⑺2e2xcosxdx；
0


【解】被积函数属分部积分第一类，【解法一】套用分部积分公式，选
2
0
e2x与cosx均可选为先积分部份，e2x为先积分部份，




ecosxdx
2x
2
cosxde

1
2x

0
2
1ecosx0
2
2x2
20
12x
edcosx
2


11
(ecose0cos0
22(012
20
1
20
e2xsinxdx




2
1

sinxde

1
2x

22
124
2
1
e

2x
sinx02

1
20
e2xdsinx

4
(esine0sin0112424
即得2e2xcosxdx
0
1
e2xcosxdx




0

1e
42

12e2xcosxdx，
40
2。




移项，整理得



2
e2xcosxdx1(e
0
5















【解法二】套用分部积分公式，选
2

0
cosx为先积分部份，

e2xcosxdx
2
e2xdsinx



e2xsinx02


2
sinxde2x

0
0

(esin


02

2
0
2e2xsinxdxe

2
2e2xd(cosx
0




e[2e2x(cosx02

2
(cosxd2e2x]
0


e
2e2xcosx2
0
20
4ecosxdx
2x
e

2(ecose0cos04
2
22x
e
cosxdx
0
即得2e2xcosxdxe2
0
42e2xcosxdx，
0

移项，整理得



2
ecosxdx
2x
1
(e2。
0
5

2
⑻1xlog2xdx；

【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选



2
x为先积分部份，
21







xlog2xdx
21



log2
12xdx
2


1
2

xlog2


2



2
x1
12
2





1
dlog2xx





1(4log220
22

20
2
1x2
2

1

1
dxxln2



1
2
2ln2
2
xdx


1

11x21221
2ln224ln2





(412



3。
4ln2




⑼

xcosxdx；

2

【解】将三角函数降次后求解，

20

xcosxdx
2
2
x
0
1cos2x
2
2

dx
12
20
(xxcos2xdx

2
1(1x20

22
2
20
xcos2xdx
12
20
xcos2xdx
其中，积分

0
xcos2xdx中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选
cos2x为先积分部份，得
20
xcos2xdx
20
xd
1
sin2x
2
0


sin4
1
1xsin2x
2
2

2
02

cos2x0


0

0

1
0
1sin2xdx
2
(cos4cos0

1

44

(110，
4






从而得
e
20
xcosxdx


22
12


20
xcos2xdx
2
12

0

2
。




⑽

sin(lnxdx；


1


【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有

e1
udv的结构，直接套用分部积分公式得




sin(lnxdx



xsin(lnx1e

e
xdsin(lnx


1





esin(lne0




e
xcos(lnx1




1












esin1

e1
dxx
cos(lnxdx


e


dx



esin1[xcos(lnx1e




xdcos(lnx]

e1

1
esin1[ecos(lnecos(ln1]


x[sin(lnx]


1







e





x

esin1ecos11



sin(lnxdx


e
1


即得



e
sin(lnxdx

e1

1

e(sin1cos11


sin(lnxdx，

移项、整理得


sin(lnxdx



1
1
[e(sin1cos11]。
2

11
⑾
e1lnxdx
；


1

e1








e1


e

【解】1lnxdx
e
e

1lnxdx
e
lnxdx(lnxdx


lnxdx
e









1lnxdx
e

1

lnxdx
1
e


[xlnx11

e
1xdlnx]xlnx1
e

1



e1

xdlnx
e


(0


11
ln
1
1
x
1x
dx

elne0
e1
xdx
11

1
1
dxe

e1
dx
e1e
⑿

3xln2xe0
2
e
1
e
xe2。e
e
x
e
1ex1
e
1e
1
1
e
e(e12
dx。





【解】这是含复合函数的积分，可用第一换元积分法，
令x2得
u，当x从0单调变化到
3x
ln2xedx
2
ln2时，u从0单调变化到ln2，
1ln2uedu20
u
0
1
2
222x
ln2xedx
0

12
ln2
0

udeu













1(ueu0ln22



ln2
0

u
edu






1(ln2eln22




0




1eu0ln2
2




x1


2
8．设f(x


sint
t

ln21(eln2e0ln21(21ln21。
222


dt，求


【解】

sint
t

xf(xdx。
0
1


































dt是著名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，


因此，无法通过确定f(x





1



，


















的表达式来求解积分



xf(xdx
0






但明显可见，易于求出
f'(x：
f'(x

ddx


x2
1
2sintdtsinx2(x2'2xsinx



2
sinx2，


t
1
x2


10
x2



x


于是，可以通过分部积分法，由








xf(xdx转化出f'(x从而解决问题：























xf(x0xdf(x
220200
121112112
2[1f(10]02xf'(xdx2f(102xf'(xdx
111221221
f(1f(1xsinxdxxsinxdx
0
022x2
111122121
f(1cosx0f(1sinxdx
22202
111f(1(cos11[f(1cos11]
222
2
xsint1sint由题设，
，可得
f(x0dtf(11dt1
tt
11(cos11。最终得到xf(xdx
xf(xdx
f(xdx2




















1

1

1
21
1
1
2





0





2


















9．设f(x

x

0
f(xcosxdx，求f(x。

























【解】由于
0
f(xcosxdx为常数，可知f'(x1，










由此得

0

f(xcosxdx




0

f(xdsinx









f(xsinx0




0
sinxdf(x











f(sin




f(0sin0








0
sinxf'(xdx








00
0
0
sinxdxcosx0coscos0
x2。


2，
于是，f(xx

f(xcosxdxx(2


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/83543a6c2ec58bd63186bceb19e8b8f67c1cefb7.html

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