专题02 多题一解之两平面向量垂直篇（解析版）

专题02 多题一解之两平面向量垂直篇

【知识储备】

1、 两向量夹角的定义：已知两个非零向量a和b，作O＝a，O＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；

向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量数量积：a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，

记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则有：

点拨：、都是等量关系，为建立方程提供了依据，因此常以该知识点为平台考查求值问题，特别是数量积的坐标表示为向量与解析几何相结合提供了强有力的依据，另外两向量垂直还有相应的等价说法，如直角三角形、两直线垂直、直径所对的圆周角为，在处理这些问题时都可以转化为数量积为零来处理。

【走进高考】

1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

【答案】（1）；（2），a的取值范围为.

【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.

（2）由题意可知，满足条件的点存在．因为P为C上一点，且，，

所以，，，

即，① ，② ，③

由②③及得，又由①知，故．

由②③得，所以，从而故.

当，时，存在满足条件的点P．所以，的取值范围为．

【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.

2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

【答案】（1）见详解；（2）或.

【解析】（1）设，则．由于，所以切线DA的斜率为，

故．整理得 设，同理可得．

故直线AB的方程为． 所以直线AB过定点．

（2）由（1）得直线AB的方程为．由，可得．

于是. 设M为线段AB的中点，则．

由于，而，与向量平行，

．解得t=0或．

当=0时，=2，所求圆的方程为；

当时，，所求圆的方程为．

【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.

3．(2018全国卷Ⅲ)已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则______．

【答案】2

【解析】由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，由，消去得，即，设，，

则，．由，消去得，

即，则，，由，得

，

将，与，代入，得．

4．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．

(1)证明：坐标原点在圆上；

(2)设圆过点，求直线与圆的方程．

【解析】（1）设，，：由可得，则

又，，故=4，，所以．

即角AOB= ，故坐标原点在圆上．

（2）由（1）可得，

故圆心的坐标为，圆的半径

由于圆过点，因此，故

即由（1）可得，．

所以，解得或．

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，

圆 的方程为

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，

圆的方程为．

5．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于

两点，且，则该椭圆的离心率是 ．

【答案】

【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．

【典例分析】

以两向量垂直为依据考查求值问题：

【例】（2014重庆）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．

【答案】0或6

【解析】圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3．因为，所以圆心到曲线的距离为，即，所以或6．

【练习】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求的值．

【解析】（I）曲线与轴的交点为，与轴的交点为

（故可设C的圆心为，则有解得．

则圆C的半径为所以圆C的方程为

（II）设，，其坐标满足方程组：

消去，得到方程由已知可得，判别式

从而①，由于，可得

又所以 ②

由①，②得，满足故

以两向量垂直为依据解决线过定点问题：

【例】（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且 QUOTE ．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．

【解析】（1）设，，则，，．

由得 ，．因为在上，所以．

因此点的轨迹方程为．

（2）由题意知．设，，则，，

， ，，

由得，又由（1）知，故．

所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，

所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 

两向量垂直联想到直角三角形：

例、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥。若△PF1F2的面积为9，则b＝_____________。

【答案】3

【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，

所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3。

【练习】双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，且||＝8，·＝0，则双曲线的渐近线方程是(　　)

A．y＝±2x　 B．y＝±2x C．y＝±5x　 D．y＝±x

【答案】B

【解析】由已知得a＝1，||＝8，由双曲线定义可知||＝6。由·＝0，得|F1F2|＝10，即c＝5。

则渐近线方程为y＝±2x，故选B。

两向量垂直联想到两直线垂直：

例、已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，M为平面内一点，||＝1，且

·＝0，则||的最小值为_____________。

【答案】。

【解析】由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，因为·＝0且P在椭圆上运动，所以PM⊥AM，即PM为圆A的切线，连接PA(如图)，则||＝＝，所以当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝。

【练习】已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)

A．　 B．　 C．　 D．

【答案】D

【解析】因为双曲线的右焦点坐标为F(2,0)，当x＝2时，4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1，3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以在Rt△APF中，S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝。故选D。

由两直线垂直联想到两向量垂直：

例、设双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点。若A1B⊥A2C，则该双曲线渐近线的斜率为_____________。

【答案】±1

【解析】由题易知A1(－a,0)，A2(a,0)，不妨令B，C。因为A1B⊥A2C，所以，

即c2－a2＝，得a＝1。因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，所以渐近线的斜率为±1。

【练习】设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于两点，与轴相交于点，若，则椭圆的离心率等于________．

【答案】

【解析】由题意可得，，由题意可知点为的中点，所以点的坐标为，所以由得，

整理得，解得．

【练习】设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

【解析】（Ⅰ）设，由，即，

可得，又，所以，因此，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.

设，由方程组，消去，整理得．

解得，或，由题意得，从而．

由（Ⅰ）知，，设，有，.

由，得，所以，解得.

因此直线的方程为．

设，由方程组消去，解得.

在中，，即，

化简得，即，解得或．

所以，直线的斜率的取值范围为．

由直角联想到两向量垂直：

例、已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是_____________。

【答案】≤e<1。

【解析】设P(x0，y0)为椭圆上一点，则＋＝1。＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，若

∠F1PF2＝90°，则·＝x＋y－c2＝0，所以x＋b2＝c2，所以x＝。因为0≤x≤a2，所以0≤≤1。所以b2≤c2，所以a2≤2c2，所以≤e<1。

【练习】圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为．

（1）求的方程；

（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程．

【解析】（Ⅰ）设圆的半径为，点上下两段分别为，，由射影定理得，

三角形的面积

当时，取得最大，此时，∵，在双曲线上∴，∴双曲线的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点为，由此设的方程为，

其中，由在上，得，∴的方程为，

显然，不是直线，设的方程为，点，

因为以线段为直径的圆心过点，，即，

①

由得，∴②

由①②得，解得

因此直线的方程或

【跟踪练习】

1、设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k值等于(　　)

A．－ B．－ C. D.

【解析】因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A.

2、若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D．π

【解析】由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以

a·b＝3·2－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故选A.

3、已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

【解析】设P(x，y)，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，由PF1⊥PF2，得·＝0，

即(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋b2－c2＝＋b2－c2＝0，∴x2＝≥0，∴c2－b2≥0，∴2c2≥a2，∴e≥.又∵e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是.

4、已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，抛物线C2：y2＝－2ax的焦点为F，若在双曲线C1的渐近线上存在点P使得PM⊥PF，则双曲线C1离心率的取值范围是(　　)

A．(1,2)　 B． C．(1，＋∞)　 D．

【解析】在双曲线C1的渐近线上存在点P使得PM⊥PF，即以MF为直径的圆与渐近线有交点。由

M(－a，0)，F，r＝，圆心N，又点N到渐近线y＝x的距离小于等于半径，

即3b≤c，解得e∈。故选B。

5、设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________。

【解析】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以

(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0。由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0，即y2＝4x。故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x。

6、已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.

【解析】∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，

∴(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，从而λ＝－3.

7、在平面直角坐标系中，已知向量，，． 若，则的值为_________．

【答案】1

【解析】∵，∴，故，∴

8、在平面直角坐标系中，点、、．设实数满足()·=0，求的值．

【解析】由题设知：=(－2,－1)，．由()·=0，

得：，从而所以．

9、已知，，．若，求证：；

【解析】＝，＝

＝．所以，所以．

10、在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．

【答案】3

【解析】因为，所以，又点为的中点，所以，设直线的倾斜角为，直线的斜率为，则，．又，所以直线的方程为，又为直线：上在第一象限内的点，联立直线与直线的方程，得，解得，所以点的横坐标为3．

11、已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．

【答案】（1）的半径或；（2）存在，理由见解析.

【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且

关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.

（2）存在定点，使得为定值.

理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.

12、如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的斜率．

【解析】（Ⅰ）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆 的左右顶点，设的半焦距为，由及，解得，所以，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为，代入的方程中，整理得（*）

设点的坐标，由韦达定理得

又，得，从而求得，所以点的坐标为．

同理，由得点的坐标为

，，，,即

，，解得，经检验，符合题意。

13、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)由题意，得＝，得b＝c.因为＋＝1(a>b>0)，得c＝1，

所以a2＝2，所以椭圆C方程为＋y2＝1.

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0<r<1)．

当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，由

得(1＋2k2)x2＋4bkx＋2b2－2＝0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，

∴－＋b2＝0，∴3b2＝2k2＋2.此时Δ＝k2＋>0恒成立．

∵直线PQ与圆相切，∴r2＝＝，∴存在圆x2＋y2＝.

当直线PQ的斜率不存在时，也存在圆x2＋y2＝满足题意．

综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足题意．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/801ca2e20a4c2e3f5727a5e9856a561252d32186.html