高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点

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全书内容可粗分为以下三大部分：

第一部分 函数极限与连续（包括级数）

第二部分 导数及其应用（包括多元函数）

第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）

第一部分 函数极限与连续

一、关于函数概念及特性的常见考试题型：

1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

二、 极限与连续

常见考试题型：

1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。

4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。

6、零点定理。

每年必有的考点

第三部分 导数微分及其应用

常见考试题型：

1、导数的几何意义；

2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；

4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；

5、求闭区间上连续函数的最值；

6、实际问题求最值。

每年必有的考点

第四部分 积分计算及应用

考试常见题型

1、不定积分的概念与计算；

2、定积分的计算；

3、定积分计算平面图形的面积；

4、定积分计算旋转体的体积；

5、无穷限反常积分

6、二重积分

7、微分方程

最近几年考题中，积分计算的题目较多， 而且也有一定的难度。

第一部分 函数极限与连续

一、关于函数概念及特性的常见考试题型：

1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

例1..函数y=2e4a5971b4d61477db41bfe294ac8766.png的定义域是___________. 2007.7

知识点：定义域

约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。

解 要使根式函数有意义必须满足bf07af7fce2673cffd7959b2059080ab.png，

要使bf07af7fce2673cffd7959b2059080ab.png成立， 只有595b8651eefac370926ccf9e4edc7f86.png，即5ced45d090c91b3772036c475f2ff5b3.png.

注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。

基本初等函数的性质与图形如下表所示(b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png表周期)：

63168f532dc0ab018246635fc5855141.png

例2 求函数47db65cf0dfa3e3f14bee9a27842d43f.png的值域 2007.4

解：由d7c841b1e4fabdc2f69b88371c5e68a6.png可知6fda4a82f5ea77e24e76d7acf9b525d9.png，所以83e645b7872378d09c54a914abf00424.png，故47db65cf0dfa3e3f14bee9a27842d43f.png的值域为f4e33f3a71c859214edc8440b1c98acb.png

例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）

A．f (x)=a36e27e13b697bd9cb1e568b83db1c56.png [0，1] B．f (x)=a36e27e13b697bd9cb1e568b83db1c56.png （-1，0）

C．f (x)=ex (-∞，+∞) D．f (x)=lnx (0，+∞)

知识点：函数的有界性

注：函数的有界性是指值域的有界性。

解：A147c19db142aa0b3ee18f1bd78a61f8d.png，故f (x)=a36e27e13b697bd9cb1e568b83db1c56.png在[0，1]上为有界函数。

B． 4126f017bc4c1c0971ef1102f888111f.png故f (x)=a36e27e13b697bd9cb1e568b83db1c56.png在（-1，0）上为无界函数。

CD结合函数图像判断。

例4、设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在13809d0769c9660fff401300bbe2c0bb.png上的任意函数，证明：

（1）、f0e2cf7b98f2302f3ac655052ce0b221.png是偶函数

（2）、5b4eb89af1cd0aae24d046296664ca8c.png是奇函数

知识点：奇偶性

若对于任何9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，恒有cf63df52ff11aba66ee8106b6af91282.png成立，则称5ab50cadbd5dd7e7163efb9b6b777670.png是奇函数。若对于任何9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，恒有8687c89644dcd63c0bc1b2c1519733e9.png成立，则称50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是偶函数．

奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称

分析：因为e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：

（1）2deac02bacbfe5264e4fb0490f11b3d7.png

（2）ac52ffbba8e119b96b956b3c7ff2da4f.png

只证（1）：cc43f7041d80d84f2b30ebeabd304a72.png 偶函数。

例5、求函数3bddaab629c61ebc6689d1a8daafaa51.png的反函数. 07.10

知识点：反函数

求反函数的步骤是：先从函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png中解出dc3915b896516e6125d3ef897ef82eca.png，再置换9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png与415290769594460e2e485922904f345d.png，就得反

函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png。

解：由296a8bc82b6751e0e1458f32fee64560.png ，可得a1d3ac46969fe0598a5e452ad108400f.png，所以f0c5f7748864ffa416d8dd19bc384644.png，上式中9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png与415290769594460e2e485922904f345d.png的记号互换，即得反函数为

1d4e83fb27861cdf1b64ce58ab8eab57.png

例6．1. 设f (x)=x3-x，286a946f8cf380a6d51c3c6ce573d296.png，则f [ba987c0960bebca1e2f75a9a1547f364.png]=( )

A.-2 B.3733d2d6e746936dffaf75fc1299dd3b.png C.0 D.d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png

2. 已知f(x+1)=x2，则f(x)=________.2009.10

知识点 ：复合函数

解：1. be39c5b2e2f270361e39cb90276177e6.png

c8cc8fe3c0c54172eefc624f2e90f1b7.png

答案：C

2. 令3d5b550cc8dbcd39aed6e042b8aa055a.png 则c00f33a885f5de115156065913ae3f7a.png，故由e69d41da138df3df403b0a0e05007c38.png可得a3b121be7090ac8a21a7c8b2e0f00930.png，即210a2bab9dd51ad1ec157b1c8d5eccb9.png.

二、 极限与连续

常见考试题型：

1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。

4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。

6、零点定理。

典型例题

求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等

例7．求52ea52bdea77555e66aff028600a310a.png．

知识点： 若函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处连续，d8f4118e4fce69e5d4ff53209e91914a.png

解 因为

ee802c59217b8fd92fd6f448921a70f7.png．

故 b5eea5e256eeba3fa5642cb5d78a55d9.png

例8、ea3fe50283eb3f2cd80c7972acacea1a.png

解 ： a5aad2c6678d9bf80c5c7322dca80481.png

知识点：一般地，设fd5be8599973f8a361df83017a9b6fc4.png，则

d680941f057a341d9c19e5dbe28ec830.png663d37a0ebb3baf742240fdbfb224ba6.png43fb53f81b9c7b0c26e4067038903f6e.png

例9 ea017c2015c96e87a19a7d9a3a366271.png ___________. 2007.7

解： f6259cae25fcb4db4b16de62ee49f641.png

例10 （1）、bff4273acfa7829c403dc9a16baa96a1.png 2008.1 (2) dfe4e1780732c3d43ecb43f0f5c288e6.png 2009.1

知识点：重要极限：b9079840ea57ca51861fdae048a6f984.png

20785f03032a2285ebebad24f47ac43b.png，

03ced3c9b7133f21b8f3779e4ee99178.png

解: (1) 542935f84395811b7be83e47309f6310.png

因为 53f435cb1fa74a4e7a83f8f8e1f8eb2d.png，d57f147f13db5bcb1bc61afebafc5caf.png。

(2) 求 dfe4e1780732c3d43ecb43f0f5c288e6.png 2009.1

解：b5e1ea4bc1818c2f4010cbdf432c0331.png

9fbbc451f1bdde9a5b9fbd2adeee4a91.png

例11. 6307ee3e0c85a775b4927fea160dc107.png

知识点：重要极限 ca006354ddaa7c280cb130a276236ef9.png

解：d0cf8bc02fadd0bb8b954e90c74d6591.png

e3a82ee8af3421d00ea2bce3ca0e2ef1.png

403cda5d4377e073fc39ebbe0d0b6710.png

e6a0e844871b3b3b2471542a69ef16f3.png

e46a18a594e37fb83d4cc704aea404e5.png

(4) 0b3c6f99c8fc8c36c5009b8522354849.png

例12．求极限（1）12520a3be3272d7ca21bce355f7fd1e6.png （2）38d97e90a0a00666349c4955469f7489.png

知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。

7d7b214583fe9a1013f487a0422ac9fb.png为无穷小， 且cf9669b87c7119cca025e2214c339c47.png， 则476217c62d6ca8e5e313041647c1484c.png

解：(1)因为9018deafeb5cd1a4f0d12696ebf262c5.png, 21e928710a8bd91bc7b61ffc98d704c6.png

所以 5a43dd12ba32df455c2352c4669c33a0.png

（2）因为3eeb16e8b1a1b0abde8f380e6920dbfd.png， f3d561f966ece7eb0004d224cee93bab.png，146b4757c4aedbaca2244790407848e7.png，9ef7b225ccd66c70eaafa87494653833.png

所以 38d97e90a0a00666349c4955469f7489.pngf7f8ccbce6b0afaea13c49f8dc0115f7.png．

注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．

记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小

1、b96cca50c57d3500a8dc0a10e1ff07d7.png 导出 37d316b99e1420dd1f352408732b9a48.png时，91c352395fda93824f207f6068e3315c.png

2、40b4ab2749074da5638b96263ca5db73.png 导出 37d316b99e1420dd1f352408732b9a48.png时，e356c339770d1640196e2e1f535b3417.png

3、c1bf5ecb818a4598ad70be7c715120d5.png， 导出 37d316b99e1420dd1f352408732b9a48.png时，1f48845d6ae5cd9c309d17547872cdf7.png

4、e8194ff3a7739a9fcddb7f3d1210bd19.png， 导出 37d316b99e1420dd1f352408732b9a48.png时，959db48a316574807fae25f914d62ff4.png

5、9ef7b225ccd66c70eaafa87494653833.png， 导出 37d316b99e1420dd1f352408732b9a48.png时，3882c24e31cbb1578e785f186337e9c7.png

6、741fcd6e33cb84155342f28bf8ab0c8c.png， 导出 37d316b99e1420dd1f352408732b9a48.png时，4225ae7b264e0870bfd29b2e96b5e607.png

例13：(1) 6ca7e89d239fcb0907a2979c554fe440.png 09.7 (2) 003eb0f475f75fb89a22d82997f8cade.png 09.4

(3) 878bbfc6092acf597c023a0f4c189109.png 07.4 （4）80ed5638c95b14f4d973692c2da3b632.png

知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 dd1c87064f7509e0f69f195fca132333.png、ecc045f9ab1f4dfc0007a7a04cefa5b8.png．其它类型的未定式 ccfc1d050b3ac73c300e73726ada369e.png，bca2deee8dfec71b0f7b6e6e52084c61.png ，1298e599633af123031069e169541b6a.png 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则

解：(1) 6ca7e89d239fcb0907a2979c554fe440.png 13e11ad5e41473c26d7ad7e308b57e8e.png

432f82edac16801503161acd0c73277e.png

（2） 003eb0f475f75fb89a22d82997f8cade.png 4f2ee004a0c738d0101296a642a81705.png

e7f4091112140676c00d29f238d4be75.png

(3) 878bbfc6092acf597c023a0f4c189109.png 843600af4fdb9912ab16f96fa6c6f9ce.png

ea7d5e2674175a9cca106886c0f82e4a.png 3951a30561dc8d203e2dfeff46632b86.png

(4) f11ce1572660326d57b29c94c000a222.png

fc2db2657f9df01367da728d22a8492b.png

例14．求极限（1）fb6ac0fb063f127303cc30f9910793d2.png. 2009.10 (2) 09d4b276cb7166178711bd1af76c7a89.png 2007.1

知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合

解：

（1）fb6ac0fb063f127303cc30f9910793d2.png 13e11ad5e41473c26d7ad7e308b57e8e.png

59be6e47f13a839009eb12e8a0602b53.png

(2) a3786829988a5180b6edb30b26808310.png 13e11ad5e41473c26d7ad7e308b57e8e.png

53d4dd8f2720b64ebac1db8da4402324.png5dfd3dd9eec0451faefc77b48db5cce8.png

例15 .设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则74861a9cba261fbb77b796cbe0f65ae4.png（　　　）2007.4

A.0 B.93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png C.1 D.2

知识点： 变上限函数求导求极限

解： 94134a52a94c675d45baf839c933655b.png3ad641eba834b29c1495aa5fbc1d9325.png=

例16．设函数f(x)=6866135ade1cb3319fcbbb060131a415.png在x=0点连续，则k=（　　　）2009.4

知识点：函数连续 若d8f4118e4fce69e5d4ff53209e91914a.png，则称函数2a775720013b90949953db1f0b8c8beb.png在点a4dbe85be3748dd293626e82fa781093.png处连续。

分段函数在分段点点a4dbe85be3748dd293626e82fa781093.png处连续ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png2a775720013b90949953db1f0b8c8beb.png在点a4dbe85be3748dd293626e82fa781093.png处既左连续又右连续。

解：因为2a775720013b90949953db1f0b8c8beb.png在点0处连续，

所以e20929e9c0bf83278dc77d7ed63118f6.png

例17．函数aac1afc0815a90d7424d712df7092c83.png 的间断点的个数为 【 】

(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

知识点： 判断初等函数的间断点

如果50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png不连续，则称0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的间断点．

● 若下列三种情况之一成立，则0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png是word/media/image213_1.png的间断点：

i．0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png无定义 (0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png是无定义的孤立点)

ii．f75c582e7d499146ee86c935abd74ec8.png不存在

iii．0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png有定义，f75c582e7d499146ee86c935abd74ec8.png存在，但55c1ebbdea7ce4fc9aa71449ce50c6b2.png．

● 若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点．

● 若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点．

解：将函数的分母做因式分解，则有b559ad971efa4c8c429cec2d04b5fb7f.png．分母的零

点就是函数的间断点．可以看到分母的零点为aca17c4e70250e9ff84f0ed17f37ff64.png，应选择C．

注： 对函数做因式分解是判断函数零点的常用方法．

例18．求曲线0f6570c2d587ef321fb2fbd0f29d56e7.png的水平渐近线和竖直渐近线.2009.10

word/media/image225.emf

解： 因为 a60c73e425ee051c34d245f520d016e5.png，3cf99a0ef31a135bf39dd9c352f088b6.png

所以fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png为曲线0f6570c2d587ef321fb2fbd0f29d56e7.png的水平渐近线，

e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png为曲线0f6570c2d587ef321fb2fbd0f29d56e7.png的水平竖直渐近线。

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例word/media/image230.emf

三、闭区间上连续函数的性质：

例20．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png（0，1），使f(8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png)=1-8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png.2008.7

知识点 零点定理 若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在闭区间b57515f693b44e149c68c64696ea7be4.png连续，且a3b611f53399fb0aefb1b8b57fad05ff.png，则至少有

一点408bb9cb644a49e81e7d89c04388c844.png，使a4f76a8f1fdbf9471f0ed443be725b28.png

证明：.令8272817716f01818abf7189c3876a4e0.png，则d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.png在闭区间443363e68f8e25d5279fead3f6a75553.png连续，d007081056083b1cd19804a339bb3fb3.png，

d4289ce2bdda3d10e121bfa9bcca7e3e.png，则由零点定理至少有一点957100820111cbe2e197bbca7cd8fbb6.png，使23bf946c65cefc77f85f3a9f25110ed3.png即d4314f1748693f377fe4a21ea83d7bac.png。

第二部分 导数微分及其应用

常见考试题型：

1、导数的几何意义；

2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；

4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；

5、求闭区间上连续函数的最值；

19 求级数46cf325f51f80882235fcf6b5015ae53.png的和5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png

6、实际问题求最值。

一、有关定义的题型

例21设f ′(0)=1，求70bcaad8d80ae520acb91cbfb17b5f56.png 2008.10

知识点：导数的定义

1b7a090466a06330ff080c9a9e36fedd.png

解: e5fe3ddebedb5af5f4198e15677bcf43.png

8231c01b49e382ac40e812545353e011.pngbefa5f35a5ac605f823bb7d160c1a683.png

例22．设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png=ec1f66fb90e4e5ce67986b172448028a.png, 讨论该函数在a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处的连续性与可导性

知识点：

1、函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处连续ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处连续既左连续又右连续.

2、函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处可导ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png左导数0ea08a7413c29261519abed5944ee7b1.png和右导数f3f44b7072b72b802bba71472fe99550.png都存在且相等

3、分段函数在分段点的左右导数可用导数的左右极限来得到。

解：因为 29ce70dbcc35af5e5b91e2d93ab620ee.png

所以 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处连续

因为1249194ff015d32408d94f3f51a16c49.png

700ef83faea84b93cf7e40e88f1e17de.png

4015a5256cb2b770316e5236d05adf75.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处不可导

总之，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处连续不可导

例23 .设8f59855451da9e936453f2b9f8ce61b3.png，则ff3bb014972fe45aabc745cd0793723f.png=。2007.4

解：9e5c64033d440edd314b90d2c8c06aca.png

7df18f2292e26752a9eb5ed725601b3c.png

例24．求曲线b995486c76929fab5b5d223168502e76.png上点（0，1）处的切线是.

知识点：导数的几何意义，339f6c34ba971092fc8d8a89c625e70a.png在几何上表示曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点e0521709b2387dd140efe7797866c0c7.png处的切线的斜率．

解：因为9c2683be79318e3a76f576a3bc124c52.png所以曲线b995486c76929fab5b5d223168502e76.png在点（0，1）处的切线方程的斜率为06c87c33c8ad0a78c44780751fb48f07.png,

则曲线b995486c76929fab5b5d223168502e76.png在点（0，1）处的切线方程为ee85b762c66358cca30719c3a69d6625.png, 即45046de61b285009b23590450000d87f.png

例25设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png处可导，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png处（C.）2005年4月

A.极限不一定存在 B.不一定连续

C.可微 D.不一定可微

知识点：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png可导ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png可微

50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png可导c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png连续

例26、若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处自变量增量618df7d6bc27f95f7fa4fe46a518c42c.png=0.25，对应函数增量8495fb59fa3f1f056fc9c53390271059.png的线性主部为2，求函数在该点的导数值339f6c34ba971092fc8d8a89c625e70a.png 2006年1月

知识点：微分

7d2aebd95cd0f506e33705402fd56968.png

解： 因为 04fee901f96b835ee4f848826ccef0aa.png

所以 b6e584f1edd896fdbc6069f43c1d3229.png

二、有关导数计算的题型

基本求导公式

fbd247c162cb35d5eeef6c2b3f8dd5de.png 094ba6ecba24cce79acc66eb6ae314b5.png

导数的四则运算

若函数a6dc34c49a16bf78e21557b4509a32a8.png，605b651de2f450b1de6ed20343e4106e.png都在点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png处可导，则有

(ⅰ)52abae773b5b04e46b4a969cc148ea70.png；

(ⅱ)7b3c9390ba90c1065fb3de6e88946a26.png；

(ⅲ)56238d2f90c577f4706c6456b1998699.png， c49b0bffd50e1f30811fd4feb87d61d1.png．

复合函数的导数

设函数26d63478e01213a317db1123c14d2759.png及f1ea68a4a1e70e96ada7592ef8752c30.png可以复合成函数1215ca9019441386428817187813188f.png，若f1ea68a4a1e70e96ada7592ef8752c30.png 在点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png可导，且26d63478e01213a317db1123c14d2759.png在相应的点f1ea68a4a1e70e96ada7592ef8752c30.png可导，则复合函数6058b69c0e5218a93d7040bcf5212bad.png在点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png处可导，

且37a844c8b54ff74dff1bfb9ceebd0286.png，或 987ac78376e7912674894276476856e2.png，

初等函数的求导问题全部解决

例27、求下列函数的导数。

1) y=852975d664e3a376d37337d8f7284d55.png .2009.1 f29369072b4cb2bc7af59e06ddbcb5dc.png

导数的四则运算 , 复合函数的导数

复合函数求导：逐层求导， 外层求导，内层不动。

解：7f8624f1a82a63e5a0965894c6812dce.png

2）e5efe7cdac48b6fa27b776ca6f9bfa6b.png

7409a2ba4ae12d49afc19485016d2e81.png00be5492e83b94671ca864065dbb932a.png

644abe2b1f20acc5ea15f4a9332d2d1f.png4f08c9d5f634f407d3b93afe56e085d2.png

fc641eefe11cbca66105076fa46a79f2.png

例28、 求下列函数的微分 c7c8d89b4c326be7d7845ff3a526ec93.png 49e59312373f89f0133f6239f77cc272.png

知识点:求微分24e012f437836de6898984a0b896cfb5.png

解：（1）因为 0406ec66f27cc91c2446e9a87e40be49.png

add7d067f3980443024ec48992b5da72.png 所以 647fe9cec60cf67ef82518c93f5a3b52.png

（2）设：9b2d2896ffd9f49d2370f600453c880a.png，则; 26d63478e01213a317db1123c14d2759.png，故

6b6e4de8c0e0b79effedaa9035a8423f.png

所以 e8cb59ef6fd45f68416c6b88a1b37e81.png

例29、求下列函数的导数

（1）设e4c841c5b4f278977b4dad2493ef3091.png 2005.1

（2）133a18226e680fc6ba5a0885be0d62a4.png 2007.

知识点：当幂指函数求导，或当函数是多个因式相乘时，采用对数求导法

解 8c095f6e0addbcf47346e8e27e2e345f.png 两边取对数：eb0323dae50a088f0ee578ce029a0b27.png

两边关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png求导：56a2c1a919cba74d3f6c1f848a406ad9.png

e860273342eb463117dc14925b6a9235.png d96666ab555c70a8cc3529974e094d35.png

e4b00b4a65a415cf9ebaa9f83719c071.png因为

bf4c0ea1963aa3d677aaa04775ee8a0c.png

63f736058eeef5a03b6f533ca0a2f7e3.png

6ce2563c04889c2ecc167593393d9ffa.png

例30、设e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png, 求0d171d6a16ab48052105c6921f8e78d4.png 2004.10

知识点： 高阶导数 ，熟记下列高阶导数公式

1d97951cb1075e81df09f95281714e68.png 891868f668fd410e89a400b9f51de736.png 383efe91df28437c05d88474a2e1a417.png

e7d55cbf84d21202c696e9ffe539a921.png 8e36d13dc74c9aa36ce735c783654b09.png

解：de2b730b3a372cd420d4b682d699077b.png,

ce1cd4e55da9b4f5eeb6ee82541aad4f.png

所以 5e2546f27ec10eddb641829d05734f2a.png

例31 求516b701981ad61e7b9ad0d4724c90cf7.png在点f2eebf7cf2f3026c12947c9af3f60b35.png处的偏导数。

知识点：偏导数计算

e53afa4b3ec510f35401872a3e6baf51.png 98a4b14c97a3e0808654e6c65f0b685f.png

解法： 7bff76a173cf7828dc3d9065d2b8ce47.png, b4ed87c6453868bb9347f232f0fddf00.png

则 0d3853302a6b32e30abee4038b5a86f2.png , 400d610f3f47ce5454857bbeb33d978a.png

例32、求函数06f6460635ffbf6d175289c3e6389361.png)当8b02cf3a30a3b860e01173806ec8cfb0.png时的全微分. 2005年1月

知识点：全微分8f01e910ba61dab3f83850b73e11ccbe.png

解：360b816f7f3685e9c3a7dbeaab51943f.png 0db9d5863466dc0a669c3d42e70dfb49.png

335b1819481b29dc0386fcd0d10660fe.png

d9850e7629a1c96d23ade07ff287e552.png72fb8f6971c2627fa4c45b66dc684f5f.png

所以 92fa1d4ceae2884b2a06a32bd69ca0d1.png

注意：如果求非具体点的全微分，只需求出偏导函数，带入全微分公式即可：

例33、34cc5963101d491957d6420de53c41cd.pngy, 求3b474c3dfaf79eff67f7f07230e87224.png 2009.7

解：e936e36fad013e0683d1c1386d577c71.png，5f693654acd214e9df892379551de790.png

例34 设方程8a74056b9d034df2651a11dd28e003eb.png确定隐函数a61b59954872c131ecf4544c55ac5148.png,求7663c78b6cce0ae39fe7d93135652969.png 2005.10

知识点：隐含数求导

二元方程7e48660eec05d185568a01bb8b06270d.png确定一个一元的隐函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png,且9dd609a91ea23ee430456edbaa58d52d.png

F(x, y, z) = 0确定二元函数z =z (x, y)，且：91e2c3a2f9a788d276cfdfc6e50dc092.png，c30679f8bff30934f59a83a00bbace13.png

解：令d3007d1641836a5a8193ebff18257689.png

原方程即为 0a2c525d5b24f8c9df36d81bb90ba9da.png

7891cab88f80a11f6c93110e7415211d.png，915ae9d6eb72d877ac3d76c9e82f83fc.png

b4edd195c36d276dc470ea2e7481f7c9.png

注：使用公式时，将方程表示为0a2c525d5b24f8c9df36d81bb90ba9da.png 或7e48660eec05d185568a01bb8b06270d.png

三、导数应用

1、导数和微分在经济分析中的应用

边际函数：在经济学中，一个经济函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的导数d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png称为该函数的边际函数．

弹性函数: 经济函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png弹性函数2198816122b82a4fa453e4b670938730.png如下定义：

f24cb9dc70d1d963de8ea7b089508e89.png

注意：1）7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png点可导，在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png点的弹性就存在。

2）614c0c99e7a470975682a0f95eee2b60.png= a0128b621246a992e2c739b80a57b553.png

例35 1．已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（　　　）2007.1

A．30-2x2 B．30-x2

C．30x-2x2 D．30x-x2

知识点：7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png表示某产品产量， 115c74c95514384f04034d95891db144.png分别表示成本函数、收益函数和利润函数，则

边际成本 MC =ceccc2e5b4bae2420778cd91633b9c45.png

边际收益 MR =ac14f9010d3f2695cb4fd97e2a8c078f.png

边际利润 ML =2dea1bf039945e61af79e143b81c6a42.png

显然：99433b67d854a9d6ea0422ff839e26f5.png= MR—MC

解：因为ff518fa7393bee17935795aee3cfb0a5.png，答案为f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png.

供给价格弹性与需求价格弹性

1、设 d0145c2cb67d98d4c9f81f419699721d.png是市场对某一种商品的供给函数，其中83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png为商品价格，5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png 为市场供给量，则：

e64ef11f5ff2f2bab1ff86666c28eb61.png ------- 供给价格弹性

2、设 532d1ceab128c450cfdfc60b90b6baa1.png是市场对某一种商品的需求函数，其中83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png为商品价格，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png 为市场需求量，则：

0a8ab4a6add30da7eb6ce3c1727c1e07.png ------ 需求价格弹性

注意，当97d91091d73d8e2a23b61160cf85d617.png时37f2f69bc4bf5154ca0ba3f18cc330e2.png，所以 bdf97e4b3e0d5ddf9286ab7a1e229696.png

负号保证：4f1da001653d3c098627c3a0bd31a952.png， 需求价格弹性总是正数。

例36.设某商品的需求函数为1a5913e91a67e7d7665e71f37aab95a3.png，其中p表示商品价格，D为需求量，a、b为正常数，则需求量对价格的弹性da67dd5238e161807a0af66c66e3ab88.png（　　　）2005.10

A.5f35fd152f3f7d7b7a064e3ce157fc3d.png B. fcfb3e1b684b8421cc7f68b35992eca8.png

C. 39c16528fc83280dde49dae0998f0987.png D. a749b82f5a8573245c63b45e8170a7c4.png

解：92a4d6e3b1d2ce83c2da8893567aed12.png

2、导数在研究函数形态方面的应用

理论基础：微分中值定理

函数的凹凸性，单调性， 极值最值

例37 函数b20de35a3f82711951323ab815b8ba73.png在区间b839c0a45fd15dac69be08a4dbb0b7e3.png是否满足罗尔定理的条件，若满足，求出使2ab013ebaad2ea6cfb333f1b507ab2bc.png的点8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png．

知识点：、罗尔定理 若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足：

(1) 在闭区间2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png连续；(2) 在开区间2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png可导 (3) df9beb7de674bda549e40e845121af0c.png，

则在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png内至少存在一点8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png，使2ab013ebaad2ea6cfb333f1b507ab2bc.png

拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足：

(1) 在闭区间2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png连续；(2) 在开区间2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png可导

则在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png内至少存在一点8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png，使e05b757d2a7db72082cf4e3d403c19f8.png

解： 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b839c0a45fd15dac69be08a4dbb0b7e3.png连续且可导，又bb1fa404670bd33ff2a20ca2abbdd13a.png．

故50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b839c0a45fd15dac69be08a4dbb0b7e3.png满足罗尔定理的条件．由于f3c05f05d1c459c50353ff9182d2af2f.png．

令06605d0b94674429f3ab62bec2350d50.png，得566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png，即点bc96982f3b6425aa6df139668318d7fb.png．

例38 .函数7d3a6717bcaaf821ffb7ef798bc1fe90.png在区间(-1,1)内（　　　）2005年1月

A.单调减小 B.单调增加

C.不增不减 D.有增有减

知识点： 设函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上连续， 在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png上可导，

(1)、若在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png内8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png， 则7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上单调增加；

(2)、若在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png内99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png， 则7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上单调减少。

解：因为343f3d36b49941b1a595764f973b8d15.png

所以应该选A

例39. 试确定函数44df1bf7409851c0c4abf7e263c4869d.png的单调区间。

知识点： 求单调区间

　　一阶导数为零（驻点）或不存在的点可能恰好是单调区间的分界点，

这些分界点将函数的定义域分划成若干个部分单调区间。

解：函数的定义域为ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png， 且

50cd6b1d4a1a8afa5ee4716e448f7772.png

当fe129990a05749bdd06816e24d611667.png时， 6ed1043ca54925dbe0b6537c79a38ae1.png， 故函数在b6467aa5bacf90f23a6abd3cbb9905a3.png上单调减少；

当03a701ad75b944b688fc49694f7dc8a1.png时， 8fe83a8d09ecd1eb1f68f914ede82ccc.png， 故函数在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上单调增加。

故b6467aa5bacf90f23a6abd3cbb9905a3.png为单调递增区间，b921db311612fd3665c51872c7a83455.png为单调增区间。

例40．求曲线1c6d1182e30189b6483b64c8d1b3469c.png的凹凸区间和拐点.

知识点：曲线的凹凸区间和拐点

d74006b227b6b660e0dab36c84e1a458.png时，曲线为凹的，09f13659b7387f5eca75554df8c552d0.png，曲线为凸的。

确定曲线拐点的方法：

1、求出27779111218f22cacf9001c4affd147f.png在区间dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png上为零或不存在的点；

2、这些点将区间dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png划分成若干个部分区间，然后考察27779111218f22cacf9001c4affd147f.png在每个部分区间上的符号，确定曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的凹凸性；

3、若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。

解：f657284e8c175b110f4733ca458bc28d.png时，7a0feab2442fdc1b39cb6407b87d3610.png。

5dca3dfe27d7a6a29b30c9433d7de0be.png

例41．求函数y=x-ln(1+x)的极值.

知识点： 函数的极值，驻点（导数为0的点）

连续函数的极值点必是驻点和不可导的点

求函数的极值的步骤： 先求出驻点和不可导点（可疑的极值点），再利用第一充分条件，第二充分条件判断可疑点是否为极值点．

第一充分条件 设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png的某个邻域bd405c25421bd03bf62d7df8a50c3352.png内连续，在去心邻域e3dee37667619d854771e3c6bd6ae1e1.png内可导，

(1)、当8137f809903a0bc0c62a04bc726fd597.png

062d318f43cf64905644adff3b3e2b93.png

则0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极大值

(2)、de24f4d61c0b05e764ea833326fc0093.png

当cc7ba4822bca01e4b6984800ad16459e.png 则0bbcaf3f1a7e30c9240b9ed39ee7c78d.png为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极小值

第二充分条件

设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处具有二阶导数， 且8e5fdcb1021fa035318d167ae0ccb9a3.png， 则

(1)、当f116454807c80c23b3cdd0544e4ef894.png时， 函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处取得极大值；

(2)、当ac4f1118dc5a9303c969377a2ebdfe3c.png时， 函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处取得极小值。

解：05cf0d392f2592cbda0295b86f751077.png， 定义域：d1f4372ca07aff2ab405b5c6b38be364.png

d3df76b07ff3474ea55569b447f9da6e.png

令27b9ce7cf29756216fd36fa2c2c5e142.png时，c5a5202239662131182e606af31e099e.png，所以x=0是函数的极小值点, 而函数的极小值为0.

例42 求4c201a280a8022b0d3b120d46ff83d8e.png在区间70fd3f388413505934da60b43afc4088.png上的最大值与最小值．

知识点：闭区间上连续函数的最值。

方法： 1、先求区间内部可疑的极值点

2、计算区间端点和内部可疑极值点的函数值。

3、比较函数值大小， 确定最大值和最小值。

解 b4f60bf54dd84958850709e239b99e95.png．

令06605d0b94674429f3ab62bec2350d50.png，得驻点a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png．由于6d69cbab638c00aa6b17b78f8526420d.png，

比较可知，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在70fd3f388413505934da60b43afc4088.png上的最大值为e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png，最小值为15435bc4c27707ee83c1feb7756955ed.png。

例43．证明：当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时， 1582edc7efeb9f7bd2f94ec994cadb85.png。 2007.1

知识点：利用单调性证明不等式。。

证明：令22ecd699f75abe19f34799d460527d1f.png，

则 50fe1ff926940eabed5d220ef5c347fc.png，22ecd699f75abe19f34799d460527d1f.png单调递减，

所以当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png， 6b0e89449a9fb262f945fb35e4e3e85d.png， 即1582edc7efeb9f7bd2f94ec994cadb85.png.

例44．.已知某厂生产9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png件某产品的成本为aaf487d95d29131df77d6834b423e765.png

(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品? 2005年1

(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品?

知识点：实际问题：1）求出目标函数，写出定义域。

2）求唯一驻点。

3）由实际意义和驻点唯一直接判断最值情况。

解：(1) 平均成本函数为bd621db891b477e5b9ce5c1b4a8b9170.png 887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png

则12518bb9ff54331f28d585ddaa70b637.png，令ae977122d2b27f5faa216efccfee91ec.png得aa1afe1e55590776e1439e8394c3b6ad.png

由实际意义和驻点唯一可知，当生产1000产品时，平均成本最小。

(2) 利润函数a63a3804af89074c99bb18beaea6cf8d.png

383d476538ce0dc50d6216bc37f90d27.png令0f489ab643985bdb5c6c5076d90a5c70.png得e307aa3f66c25faaf4630294aba035eb.png

由实际意义和驻点唯一可知，当生产6000产品时，利润最大.

第三部分 积分计算及应用

考试常见题型

1、不定积分的概念与计算；

2、定积分的计算；

3、定积分计算平面图形的面积；

4、定积分计算旋转体的体积；

5、无穷限反常积分

6、二重积分

7、微分方程

一、 不定积分

例45 ．设313cdab1b28e03d6cd5906f950263717.png，则f (x)= ______________.2007.10

知识点：不定积分的概念与性质

如果00231acb52e4c37ca16db6ee29ec37ef.png或 27f3e78e60003f1cfa8065e3c1060f3b.png，函数d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.png就称为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一个原函数，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png得全体原函数为abadf272f8834064cdeb32d7b3a479c2.png

解：8983cc5ce8d8143f1f5beb26df4c20c3.png

例46972d7d16f8c37ce6103b4422afeddb6b.png

知识点：不定积分的计算：

运算性质

性质1 word/media/image552_1.png

性质2 word/media/image553_1.png ( word/media/image554.wmf为非零常数 )

基本积分表为前提

14c2db58b32e6bdec2716f4ebae8f4551.png 2 f96d1f7a89f08ea095524cbdcdc22800.png (8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数)，

3c6e998e2eb9b2acab737ac124c2e047b.png (accdcf8efa19dd8a89b1e6ac5a926fbf.png)， 4 0758050580a837fc493d3ad170de8d71.png

5a581ed3427cd9ceeba195dd89a260fde.png 6 1387569b00c7532a78a19ebfb1e6433b.png

77b8b1cc3fa6f07c70f6e87987e2ad113.png， 8 ab4952eacdd56292bf7179030ace889b.png，

913eac7ea65099fe40f65ee9ae0322b9d.png， 100af432501f63a877d6fba64abdba01fd.png，

11c2ba87f78a54c495d49c71777e517808.png， 12 a07fbd1fa1761e3194acd362ae30507f.png，

13 b7bdc3ddff1d68355b870701d24009f4.png， 14 9a71d40296756bfc388faeed1a05b08d.png，

解：6c08a2900e34ee8821dcade5310a16bb.png

5a7aaf73b62d6d415b67fb98c13ca3ac.png

a31e6c7fad0172a0a10d43d0f807799d.png5741cc1a35523b3aa4af172fccf57cbb.png

4bb4196196103730b8efb31718d71ff5.png

注意：计算不定积分一定不要漏掉常数C。

例47 (1) f1321f9cac1fb3f02275b1df0f827a9d.png (2) ff6fdd903aa6ae5a5a519b8802e124c1.png (3) 3eab295c89d203868ef96d835973080e.png

（4）fa2ecfd0e965ad198e693a7920fe8cc6.png2008.10

知识点：不定积分的第一换元积分法（凑微分法）

解：(1) 36d0fc51b5d103364d771679f3d7ae19.png。

(2) 16c0ec483e4388239b933ae8d6fdada2.png。

(3) 352edfb6ad89d91a11d6f69d5bf787a0.png

b3ad449333e36f5f30d84e0ab59cf820.pngacded843bf8f0df0477ab0281efc9379.png

(4)f655191d82c12e9a7ad0fb78fdc31a2e.png+C

注意：常见的凑微分公式

85259965ee8d11655619306a97f3c2d7.png

3545d2112b19f3ef849724cf2faca78a.png；

2b987353f3ae1f8d46a8db53c9e91a9b.png；

5ab50cadbd5dd7e7163efb9b6b777670.png；

9fad92b2c71b30fa6d7a26767a31e422.png；

2e0d74e25e1bccaa86cfac04b096465a.png；

8a308cf71a0edfbb420b1ebee5a1c51d.png；

afabefd628174a15746b5009f486a2d5.png　

例48. （1）求不定积分316f763d16bf4340522ca77fd7194ede.png. （2）d76f3d1ca192788faca742634206e1e8.png 2007.4

知识点：不定积分第二换元法

解：（1）9743652a17ab57a9469536d7dca6fbea.png

e73b85a8b5274183b381ee92ec852284.png

bdca2605c276d688a57820cda3cd299a.png

71f948ada6780b0459918ab85aa2c17a.png

注意：若被积函数中含有ff09bdae06fa79737f3dc1d830625a54.png的式子，取换元c6487a384cb15145d41bbbbe852e8284.png．

（2）909b0962f16dcfc797e44bb2a32c8e73.png则 09bc624291ef6262d55a2873a4a29878.png

所以 ded58847c007c6b632872ab39d341e5f.pnge9420d5f052eea44c4778385375a5f20.png+C=01cee79e53c31f47e80c1625d12e0c4d.png

注意：当分母次数比分子次数高于1时，可以采用倒代换。

例49 求不定积分（1）62ef9c28c300f75380c5b55449341987.png 2008.1 （2）60d3516507a96611a96bdc9a36261097.png

知识点：分部积分法

word/media/image609.gif

解：（1）450884a310167b156760b9c37de48b6b.png

a09aaf8ff48968624e5122c7c0c53f79.png

（2） 8f18a1cb0ec134e13bf275be0bcb4ea6.png01774f0a01825f13b620859c8cd138d0.png

注意：不定积分的几种计算方法有时需要结合使用，而且也可以移植到定积分的计算。

二 定积分

牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 4b27502600c4cd8af315a65f902dc8af.png

例50 正弦曲线的一段y=sin x78de02868b9684a8dde15f4e121e10cb.pngπ)与x轴所围平面图形的面积为（ ）09.7

A.1　　　　　B.2　　　　　C.3 D.4

知识点：定积分的几何意义

解： 78c7aed7b7d6c6b08a85c0fa4a1f1047.png

例51 1739e2610d99454c935959db23509baa.png

知识点： 被积函数含有绝对值的定积分

解： 由定积分的区间可加性，原积分aa2d800efd4b326167a1713187bb04c9.png．

在区间ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png上，0e50de22e6bb0f27dad2b0d91a8c98e7.png，从而19e61f9ed1c5bcac405f6fbb8083aced.png；

在区间689e1b934020b6eb3917c155d94a9a0f.png上，3a05865467ad90ad212d902e1d2f657f.png，从而003605c3887ff9864046722435bfc2ce.png．

原积分935113a29553f6fda0ad483e51467524.png．

注： 对于含有绝对值的定积分，应利用积分的区间可加性脱掉绝对值号。

例52 计算定积分 （1）c5a40d6f0e0c13fe4505c05927781b65.png。 （2）6204c5e226d99e95f812b1358cab37e1.png 2008.1

知识点：定积分的换元计算换元必换限， 下限对下限， 上限对上限

解： （1） 取代换ac350b32b28c9c45f1ac201a4a983d2b.png，则136e6ad63b8ce5f7688976e1a25abf59.png，

原积分63056fe74caf658f35b824cc0962c760.png

1e8a01c508bc0cdecda45fc0d8e05b2b.png。

（2）令ab124204d136c7a623c5b0729dada3ba.png， 则 3d6b85da8ee8687abeb888fa0f28c510.png

886555959b4f7675b72f493697106810.png

例53 计算定积分2a4cb4ed9630cdc1b4c2cdd34dfa3733.png

知识点： 对称区间上定积分偶倍奇零

设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在a646e7d5b61bf80336b97d60c20adba8.png上连续，证明：

(1) 若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为奇函数，则7130139e468487ddd9f9eb6d436d9e53.png；

(2) 若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为偶函数，则b1e8b2c7facd90512a294ff6f97e12b6.png．

解：7db149d82c1ec5ecafacbe01125a1c17.png

例54 设30a7a86f6c481eb4a8cd4dd1b1de229a.png 求5e0056783bd79d8c6d0b67c1884fd276.png 2006年1月

知识点：变上限函数。 当被积函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png连续时，变限函数

31d33f16ce82812beb68f2b92479e9fa.png可导，

且 10151145c45ca89aa21a950ab4bad382.png

解：00fbc81f067257eaa5d66f5f5ef8b2d7.png

三 反常积分

例55、下列反常积分中发散的是

A．10a8020938767c71e8555c1f58cb2181.png B. 1b0b11c6aa3d7b1b7d6ebb1a242fe56c.png C63ad17304d72bf988d0164ce5b551f42.png. D. 034b703303dafbfdbb95099bea201382.png

知识点:无穷限反常积分c5baade4e6060ff7b1667419079f6be4.png

1da3fe98681512e00ad12f4d660bdde0.png

解：510c4dcbc495487f856ec30959943f85.png

a68bbfd61749a43903c3dd53bb05cd2b.png

323d42c3396899bdd88722df3a648180.png

f0746070c4d769540c4791316d52ff23.png

应选 C

例 56 求曲线51fa22f34a80609d6140befd44bc62b6.png及直线6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png所围图形的面积A

word/media/image661.emf

word/media/image662.gif例57 .求由抛物线fb3b14b9940d674dbaae2acb7ce7bf6f.png所围成图形的面积，并求此图形绕9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴旋转一周所成立体的体积.2008.10

知识点：旋转体体积：

由连续曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png，直线 b0e8f43f9776108ea3ab4b6e75e3a462.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴所围成的曲边梯形绕9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴旋转一周所成旋转体的体积

a44a142381357529a1795050588b44c1.png。

由连续曲线f258a1ac5489efa3ce5ead0aef0c66fa.png，直线c811b4f8773daf66965dea3c5f17f24c.png与415290769594460e2e485922904f345d.png轴所围成的曲边梯形绕415290769594460e2e485922904f345d.png轴旋转一周所围成旋转体的体积

word/media/image672.gif d89219b81ecfdd7a7587712e767cdd6c.png。

解 如图， fb3b14b9940d674dbaae2acb7ce7bf6f.png所围图形位于[-1，1]之间。

word/media/image674.gif所围成图形的面积20bb5fb147bb71078e3ae907f26dd390.png

旋转体的体积

b8a9e5553aaf5b16720a0ccce4b1db51.png

word/media/image677.gif四 二重积分的计算

二重积分1cc559cdccd1c12b7f43171cf7628487.png通常都是化为二次积分来计算：

1）先对415290769594460e2e485922904f345d.png后对9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png积分 X—型区域

积分区域f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png的上边界88245e830e90d0ba97321f0c0c53e7ef.png与下边界652cfccfd742ef93474e8df1861a0dc7.pngf623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png在x轴上的投影区间为2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png（右图）．则

59faf9d055a64b45ba1ecf3bba45d587.png

2）先对9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png后对415290769594460e2e485922904f345d.png积分，y—型区域

积分区域f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png的左边界3754e074dc817b0ef39266b865b5249a.png与右边界e3a60a3ab4a8507a4808cb477ab7493f.png，

f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png在y轴上的投影为区间c31d2b7df15fa7d119c2f8d13f69e10b.png（右图）．则

72f1d4c8c0f00dbd314b98769fcd0fe4.png．

例58 计算二重积分e1f194782c6ad21e322f4e1f51d2ea33.png 其中f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png是直线411b14de8ebe60c435b0e796979ca902.png及5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png 所围的闭区域.

解法1 将D看作X–型区域, 如图(a) 所示, 则区域可以表示为

4ff0ceef5d5a4ca8e02c655af489fee7.png,

所以

f195a12199cad978ec99bda23bad12ed.pngf58895dc47da28f5d8d91109c43a3a9f.png.

word/media/image702.gif

解法2 将D看作Y–型区域, 如图(b), 则

b41288a737b38ed26eb1a30fcd604cc5.png,

所以

c657e9bebb2eb1274d1a4fcf0ecad670.png3d733119a0d71d22520d146788150da0.png.

例59 计算积分f51cd7ceb34e978d6fa1ff36db85d973.png, 其中D是由抛物线5af1bcfc73e5c8490e0237a3e1f9d933.png和直线cef38368a2b2b3f4602428ebfdedcae9.png所围成的闭区域．

解 积分区域如图所示．D看作Y–型区域, 则区域D可表示为

D：47389ce6b0126f239bab4a54a18dcc41.png, 988b833fab2185776ecd6f37c1368b08.png．

因此

19aa2ff414d6cf777bd2fb0d5315d87a.png13089a93065ad4137c6a0db56c2b6821.png

90e24069900bc78ecc1d4f453047d3c3.png

69ea9abbfc091f6e3e935da046a3f6cb.png

e46b6a535a3f105ba88afae067c1bf25.png．

五 微分方程

例60初值问题2eb38c92fa55e9ee7837e1a04e34206a.png的隐式特解为（　　　）09.10

A．x2+y2=13 B．x2+y2=6 C．x2-y2=-5 D．x2-y2=10

知识点：可分离变量微分方程。

解：分离变量得7119bca3f0ec6e7fff0d6ae4ae299826.png，

两边积分4b204eeb4aac4b98e79e480285602bd9.png

得 6a2c1a63cb98ac627edc54de59dc83c9.png 即199f5ab0d03cbee19e9aaa194adbfcf8.png， c7a062f96e109f667627d843f8147291.png

带入初始条件cfd27d7bc4806efe88eaafb075ecb2a4.png，得C=13。故答案 A

例61 求方程3c1caf7fe7c040bfee647fcce926faef.png的通解。

知识点：一阶线性微分方程。

4fbd6fe9383287376207c59eb641314f.png的通解为2e7e7a95b8678ab52a4c3b87ade217a9.png

解：2a545897b9997b39a3a51a6a3a5eb80d.png

1741b43a5f14a104fb8828a4d0fd247e.png

b0f29ab947343422699c283db6453d18.png

a08012ae0c3ea3643eb6e1cc496191e8.png

ffb3a6fe64150ca9c8e6cd0bbf62e4a4.png

注： 应会鉴别这两种类型的微分方程．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7a819f0d48649b6648d7c1c708a1284ac85005b0.html