2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

2018年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1

2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（　　）

A．0.55×106 B．5.5×105 C．5.5×104 D．55×104

3．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a3=2a3 B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5

4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图

C．俯视图 D．主视图和左视图

7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°

8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（　　）

A．7 B．5 C．4 D．3

9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π

10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4

11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）

A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．（4分）计算：|﹣2018|=　 　．

14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足　 　．

15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为　 　．

16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　 　米（结果保留根号）．

17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．

18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结

MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共78分）

19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．

20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；

（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．

21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；

（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．

22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．

26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，

①求证：△OCE∽△OEA；

②求点E的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．

2018年浙江省宁波市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1

【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．

【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得

﹣3＜﹣1＜0＜1，

最小的数是﹣3，

故选：A．

【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．

2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（　　）

A．0.55×106 B．5.5×105 C．5.5×104 D．55×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：550000=5.5×105，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a3=2a3 B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5

【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．

【解答】解：∵a3+a3=2a3，

∴选项A符合题意；

∵a3•a2=a5，

∴选项B不符合题意；

∵a6÷a2=a4，

∴选项C不符合题意；

∵（a3）2=a6，

∴选项D不符合题意．

故选：A．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．

【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，

∴正面的数字是偶数的概率为，

故选：C．

【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．

【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，

则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．

故选：D．

【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．

6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图

C．俯视图 D．主视图和左视图

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上边看是一个田字，

“田”字是中心对称图形，

故选：C．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．

7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．

【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，

∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，

∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，

∴EO是△DBC的中位线，

∴EO∥BC，

∴∠1=∠ACB=40°．

故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．

8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（　　）

A．7 B．5 C．4 D．3

【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．

【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，

∴=4，

解得：x=3，

则将数据重新排列为1、3、4、5、7，

所以这组数据的中位数为4，

故选：C．

【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π

【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．

【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，

∴∠B=60°，BC=2

∴的长为=，

故选：C．

【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．

10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4

【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．

【解答】解：∵AB∥x轴，

∴A，B两点纵坐标相同．

设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．

∵S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，

∴k1﹣k2=8．

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．

11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．

【解答】解：由二次函数的图象可知，

a＜0，b＜0，

当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，

∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，

故选：D．

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．

12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）

A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b

【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．

【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），

S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），

∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．

故选：B．

【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．（4分）计算：|﹣2018|=　2018　．

【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．

【解答】解：|﹣2018|=2018．

故答案为：2018．

【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．

14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足　x≠1　．

【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．

【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．

解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．

故答案为：x≠1．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．

15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为　﹣8　．

【分析】根据平方差公式即可求出答案．

【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）

=﹣3×5

=﹣15

故答案为：﹣15

【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．

16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　1200（﹣1）　米（结果保留根号）．

【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．

【解答】解：由于CD∥HB，

∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°

在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°

∴AH=CH=1200米，

在Rt△HCB，∵tan∠B=

∴HB==

==1200（米）．

∴AB=HB﹣HA

=1200﹣1200

=1200（﹣1）米

故答案为：1200（﹣1）

【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．

17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；

【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8﹣x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，PB==4．

综上所述，BP的长为3或4．

【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结

MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　　．

【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．

【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，

∴∠ADM=∠H，

∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，

∴△ADM≌△BHM，

∴AD=HB=2，

∵EM⊥DH，

∴EH=ED，设BE=x，

∵AE⊥BC，

∴AE⊥AD，

∴∠AEB=∠EAD=90°

∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，

∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，

∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），

∴cosB==，

故答案为．

【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题有8小题，共78分）

19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．

【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．

【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，

当x=﹣时，原式=﹣+1=．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．

20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；

（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．

【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；

（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．

【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；

（2）如图所示，线段BE即为所求．

【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．

21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；

（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．

【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；

（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．

（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．

【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，

由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%

所以：20÷10%=20×=200（人）

即本次调查的学生人数为200人；

（2）由条形图知：C级的人数为60人

所以C级所占的百分比为：×100%=30%，

B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，

B级的人数为200×15%=30（人）

D级的人数为：200×45%=90（人）

B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．

（3）因为C级所占的百分比为30%，

所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）

答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．

【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．

22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；

（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．

【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，

解得：，

则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；

（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，

将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．

【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）

（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．

【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，

∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，

∵AD=BF，

∴BE=BF，

∴∠BEF=67.5°

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．

24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；

（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．

【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．

根据题意，得，=，

解得 x=40．

经检验，x=40是原方程的解．

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为=50．

设甲种商品按原销售单价销售a件，则

（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，

解得 a≥20．

答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．

【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．

25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．

【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；

（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；

（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．

【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，

①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；

②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；

③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；

所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠CAD，

又∵∠BAC=∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴=，即CA2=BC•AD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴CA2=BC•AB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB=AD，

∴BH=BD，

∵AD∥BC，∠ADC=90°，

∴∠BCD=90°，

∴∠BHA=∠BCD=90°，

又∵∠ABH=∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴=，即AB•BC=BH•DB，

∴AB•BC=BD2，

又∵AB•BC=AC2，

∴BD2=AC2，

∴=．

【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．

26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，

①求证：△OCE∽△OEA；

②求点E的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．

【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；

（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；

②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；

（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．

【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），

∴﹣×4+b=0，

∴b=3，

∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，

∴B（0，3），

∴OA=4，OB=3，

在Rt△AOB中，tan∠BAO==；

（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，

∴∠CDE=∠FDE，

∴∠CDF=2∠CDE，

∵∠OAE=2∠CDE，

∴∠OAE=∠ODF，

∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，

∴∠OEC=∠ODF，

∴∠OEC=∠OAE，

∵∠COE=∠EOA，

∴△COE∽△EOA，

②过点E⊥OA于M，

由①知，tan∠OAB=，

设EM=3m，则AM=4m，

∴OM=4﹣4m，AE=5m，

∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴

OC=4﹣5m，

由①知，△COE∽△EOA，

∴，

∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，

∵E（4﹣4m，3m），

∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，

∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，

∴m=0（舍）或m=，

∴4﹣4m=，3m=，

∴（，），

（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，

∵A（4，0），B（0，3），

∴OA=4，OB=3，

∴AB=5，

∴AB×OG=OA×OB，

∴OG=，

∴AG==×=，

∴EG=AG﹣AE=﹣r，

连接FH，

∵EH是⊙O直径，

∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，

∵∠OEG=∠HEF，

∴△OEG∽△HEF，

∴，

∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，

∴r=时，OE•EF最大值为．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7374879faf51f01dc281e53a580216fc700a5309.html