线性代数习题及解答
线性代数习题一
说明:本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩,||||表示向量的长度,T表示向量的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设行列式=2,则=( )
A.-6 B.-3
C.3 D.6
2.设矩阵A,X为同阶方阵,且A可逆,若A(X-E)=E,则矩阵X=( )
A.E+A-1 B.E-A
C.E+A D.E-A-1
3.设矩阵A,B均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )
A.可逆,且其逆为 B.不可逆
C.可逆,且其逆为 D.可逆,且其逆为
4.设1,2,…,k是n维列向量,则1,2,…,k线性无关的充分必要条件是
( )
A.向量组1,2,…,k中任意两个向量线性无关
B.存在一组不全为0的数l1,l2,…,lk,使得l11+l22+…+lkk≠0
C.向量组1,2,…,k中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D.向量组1,2,…,k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5.已知向量则=( )
A.(0,-2,-1,1)T B.(-2,0,-1,1)T
C.(1,-1,-2,0)T D.(2,-6,-5,-1)T
6.实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.设是非齐次线性方程组Ax=b的解,是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是
( )
A.+是Ax=0的解 B.+是Ax=b的解
C.-是Ax=b的解 D.-是Ax=0的解
8.设三阶方阵A的特征值分别为,则A-1的特征值为( )
A. B.
C. D.2,4,3
9.设矩阵A=,则与矩阵A相似的矩阵是( )
A. B.
C. D.
10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( )
A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B.正定矩阵的行列式一定小于零
C.正定矩阵的行列式一定大于零 D.正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
11.设det (A)=-1,det (B)=2,且A,B为同阶方阵,则det ((AB)3)=__________.
12.设3阶矩阵A=,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=__________.
13.设方阵A满足Ak=E,这里k为正整数,则矩阵A的逆A-1=__________.
14.实向量空间Rn的维数是__________.
15.设A是m×n矩阵,r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________.
16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________.
17.设是齐次线性方程组Ax=0的解,而是非齐次线性方程组Ax=b的解,则=__________.
18.设方阵A有一个特征值为8,则det(-8E+A)=__________.
19.设P为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则||Px||=__________.
20.二次型的正惯性指数是__________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式.
22.设矩阵A=,且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1,求矩阵B.
23.设向量组求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.
24.设三阶矩阵A=,求矩阵A的特征值和特征向量.
25.求下列齐次线性方程组的通解.
26.求矩阵A=的秩.
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.设三阶矩阵A=的行列式不等于0,证明:
线性无关.
线性代数习题二
说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2,则( )
B.
C.
2.设则方程的根的个数为( )
3.设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若则必有( )
A. B.
C. D.
4.设A,B是任意的n阶方阵,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.设其中则矩阵A的秩为( )
6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为( )
7.设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( )
8.已知线性方程组无解,则数a=( )
A.
C.
9.设3阶方阵A的特征多项式为则( )
10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵,则A的3个特征值可能为( )
,-2,-3 ,-2,3
,2,3 ,2,3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
12.设则__________.
13.设A是4×3矩阵且则__________.
14.向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1,α2,…,αr可由向量组β1,β2,…,βs线性表示,则r与s的关系为__________.
16.设方程组有非零解,且数则__________.
17.设4元线性方程组的三个解α1,α2,α3,已知则方程组的通解是__________.
18.设3阶方阵A的秩为2,且则A的全部特征值为__________.
19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________.
20.设实二次型已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为__________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.设矩阵其中均为3维列向量,且求
22.解矩阵方程
23.设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(3,2,-1,p+2)T问p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组,
(1)确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解?
(2)当方程组有无穷多解时,求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵
(1)求B的特征值;
(2)求B的行列式.
26.用配方法化二次型为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
四、证明题(本题6分)
27.设A是3阶反对称矩阵,证明
习题一答案
习题二答案
线性代数习题三
说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( )
2.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=( )
B.(1,-1) C. D.
3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )
+BA
4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1= ( )
A. B. C. D.
5.下列矩阵中不是初等矩阵的是( )
A. B. C. D.
6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )
+B可逆 可逆 可逆 +BA可逆
7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )
A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )
9.设齐次线性方程组有非零解,则为( )
10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( )
A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 的标准形的系数都大于或等于零
的特征值都大于零 的所有子式都大于零
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式的值为_________.
12.已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
13.设矩阵A=,P=,则AP3=_________.
14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.
16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_________.
17.已知P是3阶正交矩,向量_________.
18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.
19.与矩阵A=相似的对角矩阵为_________.
20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.求行列式D=
22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
23.若向量组的秩为2,求k的值.
24.设矩阵
(1)求A-1;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.
25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求
(1)矩阵A的行列式及A的秩.
(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.
四、证明题(本题6分)
27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.
线性代数习题三答案
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