2017-2018学年高中数学苏教版必修4学案：1.3.1 三角函数的周期性 Word版含解析高品质版

1.3　三角函数的图象和性质

1.3.1　三角函数的周期性

1．理解周期函数的定义．(难点)

2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)

3．会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)

[基础·初探]

教材整理1　周期函数的定义

阅读教材P24～P25例1以上的部分内容，完成下列问题．

1．周期函数的定义：

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

2．最小正周期：

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．正弦函数、余弦函数的周期：

正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)周期函数都一定有最小正周期．(　　)

(2)周期函数的周期只有唯一一个．(　　)

(3)周期函数的周期可以有无数多个．(　　)

【答案】　(1)×　(2)×　(3)√

教材整理2　正、余弦函数的周期

阅读教材P25例2及其后面的部分内容，完成下列问题．

函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期：

一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.

1．函数y＝sin的周期是________．

【解析】　T＝＝2.

【答案】　2

2．函数f(x)＝－2cos(4x＋30°)的周期是________．

【解析】　T＝＝.

【答案】　

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：　

解惑：　

疑问2：　

解惑：　

疑问3：　

解惑：　

[小组合作型]

　求下列函数的最小正周期．

(1)f(x)＝2sin；

(2)f(x)＝2cos；

(3)f(x)＝sin；

(4)f(x)＝－2cos (a≠0)．

【精彩点拨】　直接利用周期公式求解．

【自主解答】　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π.

(2)T＝＝π，∴最小正周期为.

(3)T＝＝4π，∴最小正周期为4π.

(4)T＝＝，∴最小正周期为.

利用公式求y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝.

[再练一题]

1．已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝________.

【解析】　由题意可知＝，ω＝±10.

【答案】　±10

[探究共研型]

探究1　若函数f(x)满足f(x＋a)＝(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其周期．

【提示】　∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，

∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a.

探究2　若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

【提示】　∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴f(x)的周期为2a.

　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值. 【导学号：06460018】

【精彩点拨】　

【自主解答】　∵f(x)的最小正周期是π，

∴f＝f＝f.

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f＝f＝sin＝，

∴f＝.

函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.

[再练一题]

2．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.

【解析】　∵f(x＋2)＝，

∴f(x＋4)＝＝f(x)，

∴周期T＝4，

∴f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝－5，

∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1－4)＝f(－1)＝f(－1＋4)

＝f(3)＝f(2＋1)＝＝－.

【答案】　－

[构建·体系]

1．函数y＝3sin的最小正周期为________．

【解析】　T＝＝π.

【答案】　π

2．若函数y＝cos (ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________.

【导学号：06460019】

【解析】　T＝＝π，ω＝±2.∵ω＞0，∴ω＝2.

【答案】　2

3．今天是星期三，从明天算起，第167天是________．

【解析】　T＝7，又167＝23×7＋6，

故第167天是星期三的前一天，星期二．

【答案】　星期二

4．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________.

【解析】　f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.

【答案】　2

5．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，求k的最小正整数值．

【解】　f(x)＝sin，k＞0的最小正周期T＝＝，

又T≤1，

∴≤1，

即k≥20π≈20×3.14＝62.8，

∴k的最小正整数值为63.

我还有这些不足：

(1)　

(2)　

我的课下提升方案：

(1)　

(2)　

学业分层测评(七)　三角函数的周期性

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．下列函数中，周期为的是________．(填序号)

①y＝sin；②y＝sin 2x；③y＝cos；

④y＝cos(－4x)．

【解析】　①T＝＝4π；

②T＝＝π；

③T＝＝8π；

④T＝＝.

【答案】　④

2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是________．(填序号)

图1­3­1

【解析】　根据周期函数图象特征可知①②③都是周期函数；④不是周期函数．

【答案】　①②③

3．函数y＝2cos (ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.

【解析】　由周期公式可知4π＝⇒|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.

【答案】　－

4．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.

【解析】　∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，

∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，

∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

∴f(4)－f(4)＝－2＋1＝－1.

【答案】　－1

5．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为________．

【解析】　由T＝得T＝＝.

∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，

∴正整数k的最小值为4.

【答案】　4

6．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝________. 【导学号：06460020】

【解析】　∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x，

∴f＝f＝f＝cos

＝cos＝－cos＝－.

【答案】　－

7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．

【解析】　T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，若ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.

【答案】　6

8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 014)＝________.

【解析】　∵f(x＋3)＝，

∴f(x＋6)＝＝f(x)，

∴f(x)的周期T＝6，

∴f(2 014)＝f(335×6＋4)＝f(4)．

又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，

∴f(2 014)＝2.

【答案】　2

二、解答题

9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．

(1)求f(4)的值；

(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．

【解】　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，

∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.

(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，

∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，

∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.

10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图1­3­2所示，请回答下列问题：

(1)单摆运动的周期是多少？

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？

(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？

图1­3­2

【解】　(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.

(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．

(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.

[能力提升]

1．已知函数f(x)＝sin，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________.

【解析】　f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin＋sin＋sin π＋sin＋sin＋sin 2π＝0.

原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝0.

【答案】　0

2．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上f(x)＝求

f－的值．

【解】　∵f(x)的周期为，

∴f＝f＝f.

∵0＜＜π，∴f＝sin

＝sin＝，

即f＝.

随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时 后来，一个不小心进错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕业后一起到广州闯天下。

甲很快做成一单大生意，升为部门经理；乙业绩很差，还是一个业务员，并且是甲的手下。乙心理不平衡，就去庙里找和尚，求神明相助。和尚说：“你过三年再看。”三年后，他找到和尚，很沮丧地说甲现在已经是总经理了。和尚说：再过三年再看。三年 又过去了，他又去见和尚，气急败坏地说：甲已经自己当老板了。和尚说：我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己，你是谁？我们都为自己活着，监管着自己的责任，你在干什么？你痛苦地为甲活着，监管着他，你丢的不是职位、金钱和面子，你丢掉了自己。一年后，乙又来了，幸灾乐祸地说：和尚你不对，甲公司破产，他坐牢了。和尚无语，心里悲悯：坐牢了，破产了，甲还是他自己。可是你这个可怜的人啊，还不是你自己呀。十年后，甲在监狱里服刑时，思索人生，写了一本书，很轰动，成了畅销书。签名售书，成了名人，无限风光。甲还在电视上与和尚一起，作为名人谈经论道、感化众生。乙在出租屋里看电视，手里翻着甲的书，内心极度痛苦。他给和尚发短信：我相信命运了，甲坐牢都能坐出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时，心中是否会愤愤不平？看到别人失意落魄时，又是否会幸灾乐祸，沾沾自喜？其实别人的好与坏，与你又有什么关系呢？你需要要做的其实只是自己。真正智慧的人，在人生追求的路上，只有不断的自我升级，对照别人的一切，不断的鞭策自己，一路坚持，才能不断的升华，实现人生的梦想。　　一位少年家境贫寒，为了生计，他到一个庄园主家里当工人。他很勤奋，也很卖力，生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士，对待工人很友善。一天，他突然接到一个电话，那边传来一个中年人的声音：“先生，您需不需要工人？”庄园主摇了摇头，轻声地说： “对不起，我有工人了，不需要。”我绝对可以起早贪黑干活，我的工钱可以减半！”对方急忙说。不，我的工人非常勤快，真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着，包括所有角落的灰尘都擦到。”对方又说。我家的工人也是这么做的，像你一样细致。”庄园主回答说。对方无奈，只好挂断了电话。庄园主不知道，安排打这个电话的，正是在庄园里干活的那位少年。那一天，他拿着发的第一个月的薪水，跑到镇上，找来自己的叔叔，用全部的薪水支付电话费用，然后让叔叔给庄园主打电话。叔叔搞不清楚他在做什么，便问他说：“孩子，你就在那里做工，怎么还问人家需不需要工人？”少年听后笑了，对叔叔说：“叔叔，我在那里做工，就要对他们负责，我只想知道，在他们心中，我做得怎么样，被不被认可。”叔叔顿时对这个侄子刮目相看，认为他将来必有出息，蹲下来告诉他：“孩子，将来无论你做什么，你都要记住你的那句话，经常问客户你做得怎么样……”少年后来就跟在叔叔身边做生意，生意做得越来越好，最后离开了叔叔独自创业，跳槽到纽约一家公司，从零开始自己的职业生涯，逐渐出人头地。他叫范德利普，后来作为总裁，领导花旗银行十年。这十年的时光中，他的战略就是发展国内中小企业客户，而他每年都有大半的时间在各地跑，做调研，只为征求客户对银行的意见，再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展，在他任职的第二年，便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行，为它的辉煌发展打下了坚实基础，这就是一个企业家最大的智慧

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