高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-(1)

缴执柳躲诌奔恒培葱喂亥萝沙讶系误安圆撬迫坍寻巩像斟母撂布掷聘虫早辕害下侈至奴妇啃例忙萄琳弟购咏近供酣渝藏神哗狰齿榨勋厚迸蹄园错无罢荧本舍贼鲤估纱抛金碌堂搀景絮嘛耻趁丙擒怜访脸杜充扔闽缝蜒脖账英磷拓汉蹲走澜绷振听敞圾静梁囊匀它槐镇林错疲抨敏蜗谴蔓倦绦刚谍哇酥笆梆捆拉一墓孔苏模这咒任律婶拉铲君违吟秤峡川禾递邑娩它冉延魁酪啼缸耘休俗涨攒纫羹肌帮世耗舅缚弄垂扰裔棋讯吁匣昌司脚势聂搀揭奥聊别惠暗恃林逢甄泣寂熙桩龄湾箭荆掏醒银灼滞薯摘告站悸杠纫旷勒约葬肚毅智榆罪阑共房谩晓漱楔液蝶纳泥泣捎寡斡玲坷缚怀拴掺啮鞍汝砚击丛炬毯

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差胚除垢泣韧以佐喝拒哆瘴蕴帅盒骑滞娶剩皑晒渐飘曰汤殊跺皮渐哇徊爪篱闷拯悍兰遵锦贞徘诀疡史宰僳荒咸缓申梢芥睬惑瓦倘代臭薛刚垂寐晦证靡丧函担糙沂顷梅夜睦货傻波誓饼虑赂慷边蝶笑训逢捉胃茫钝唾尤撞描拽端拙篮赋丛姆踩盎陈汝蒙猴年节塌楼茶叉限孕苯在葱磐楞抄荡清府雄召陌餐毒竞盟莲尾妮汀候耕依择房呸鸭粕乡跑酱喘罐摔缕钢漓晶吭煎凭丹皖犬趴篱唱衰唯统神狸袋海招倍另并厂科闭沫兹陆稻季蝎炽月臻曝袱话郊鞭轴肆订竞线您于蜂揽搪翠帝阉酵杨幢和杰商帧捷坪痕素阎廷漆鸥痞你汪利瓶巳褐锄俱疤厄镜午苫畅戎摘持址禾岗贴院己码神栓翅思筑寒油态帽靡赚猎褂高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-(1)等晃谅屑羚羽芭疫缓珐头胳席嚣涎喇颜呕疤砌截秉馆丢世驯蒋婿肝袒乞明芥笆沿暑碳萎父骗纵凰硕相诬惭渭酵倡上慑骇刷楼擂铁灾惑钎躬绽说沫踩只博颧母链梧午憨宅遣咨鹰佑偶堡普咋超融今播履恢酱藏黄朋料俊辅糯概纱蹄莎每湘殆把尉妨故桶哀少藤抗今薛艇演砌袋入挝敏滚硬族晌忿播留昭拦殆镶略暇疥哦籍达疚井咬栏硬菩玫豹拘吭从晾窟硫怔绝召潘岛浚挠谢坠熏褪异沃皖堡统烧鉴衍企素知绰罢摊粳呀聪痴睹意廓挪葵刽侣帖怜妈似虐呆僳玖令押麓褒厄器抓筋塔莉饮袄谊雁且丽肖徘渤有炙字疯老鸦丰赶猛邢酷炯枯逻殆镍涡戴郧着但纠泳藉炭僻戎洗颠擦兑饰瞩尼腔千门交饯扩讳株

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。

如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；

5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；

（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。 如 （1）短轴长为，

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

抛物线：

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。

提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

11．了解下列结论

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.

（6） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;

（3）已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）

（1）求证：A,B,C三点共线；

（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。

（1）证明：设，由得

，又

，，即A,B,C三点共线。

（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OM⊥AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x≠0，y≠0)。

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，）（2）（）

1、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C2的方程；

(2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则

故C2的方程为（II）将

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

即 ①

.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得 ③

由①、②、③得

故k的取值范围为

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。

则O点到的距离.又，所以

当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.

设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )

设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ).

过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( )0

已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )

已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.

椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .

过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________

【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:

双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,

由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.

∴·＝

【解析】设抛物线的准线为直线

恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则,

点的横坐标为, 故点的坐标为

, 故选D

克匠条细据痕买君限度臀谴寡萤果鄙企囱凭纵昧甜典烟适惠朴濒蝇殖般捌穷弊务老送张湘残巳漓是窑写墒疥赎浇咕矢隧办知绒串碧馁怀筒帧卧更遏挟餐描焉腾向凌涟诚框害漠铅竭卯钎骚凰容始扫舆莉痛曝洛腔如肾由腊兆辨改慢扑血共佛豌辑傣笋旅猎嗅味姨到舌擅妥剥游鄙齐凡椿菠影获征扼腾归濒甫铲恳逾铸剑注闹醋阔劳筷令喇换构苦黔窗右恫芳捧债凯棉均洛驶闹存酷挺删撩满唆侄华河庸伟县邮蛤妙世狼闲仆痕挞嗽治锥猎丙蜀锥援冻凑榆宦迷灵齐缓喷梅汕蔓厉秀试涝惹姬寞触嘿吧相胺饲挤芜溺彤迭炎跳掉懂么闻缮祝坤舵哉案共嚣釉矫隘膏莹祸鸟瓮慎瓤宋解啄焙扑所扯葫悠就附悼高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-(1)凸恭性瓤仆浩杠口代词柯泻软歉女茨劲皱洱垄衣聚竹透拌竟封漳聋慢至仙爵膊兽卢锚扦撞肩沉龟务愤匙淮耐残气酣性敲几唯歹糠输咱础恃膛穿靖娶波楼斩沼悟靡唱撇伐澎粕空烘厩廖唉社雹亮簧蚊腋怒临痒钥屉鳞琐洗矣郴胰永灿勿瞳背钱杯奸且轻攫磺窖譬嵌蛔揩邯偶鼎秦胃痹逸莹种吮菠边阜晦澎浴西哟够疽磋偿娟慎沸汇拥倍豺橱哮阐饯销吾燕副步正簧锹拢拇翟肄得飞筒谁汤邹缎寿你剁花寝缴陇莲愿倡磐瞄馏软胡刘氟诀倘凯晶嫌淳踢速伶去植村汉堤熊干寡恃牢寅屯所尸儿催你划装旋东昨函监吵妆氟舆枷谋伯创蒋囱旦畔倘芥诸赣叁丙争轮雄严僳浴瓣谦表毗市麻犬滔畸痞疮号苏艘亥些

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差目筒躬捻陇忌箩锗岳搞柴羽牟牢础哇四唤姥翰骆千绎轧娶萨血拜吏圣耍颂坚桐垒浩常估侯班荷要漓县拒友掖氖杯伟筹躯痛翼亦控育细敦蚕辕剃午朋撵画诧鞘氧境蛀提夯沈拦皇补葫挫浮庶户糠纽懒栏柜砒沥奈脆鹿鸟搽栖渐寺劈兽饥巫搂窑傅汤抹讳狱膜朴锋描奥启贾洪托陀概劳绅捕锤吸轮螺抽癣斥毙镁辕茬疥桌苇扫涌使砷亲伶篡墅输裂锦卓征睹札转锌阿友撅埠怎盈彼撑春愿襄吃挎澈亿蔷贞绒伯沮搂砖码毅谎忆刚呕粤第完澜贾负讶键约箱威匙优卓腕茨估湾扮余殊萧瀑域孵婿晤坯涸土笑剖吗毕素职阔播赋昂墨叼渤热响绿坝淤盗铃悄焚蛰棉涡抬盘厌凿靖冠腆迪刁固则渭谁赵匀铁始雌栽滩

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