电磁学四大公式

第三节 磁场高斯定理与安培环路定理

一、磁场的"高斯定理"

1.磁通量：仿照第一章中引入电通量的办法，规定通过一个曲面S的磁感应通量（简称磁通量）为:

，θ为磁感应强度B与面元dS的法线矢量n之间的夹角，dS=ndS为面元矢量。

根据上式，在MKSA单位制中磁感应通量 的单位是特斯拉·米2，也称作韦伯。磁感应通量也可理解为磁感应线的数目。磁感应强度B就是通过单位垂直面积磁感应线数目，即磁感应线的数密度。



由于磁感应线是无始无终的闭合线，所以通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于0，即：，这个结论叫做磁场的"高斯定理"。与电场的高斯定律相比较，可知自然界中没有与电荷相对应的“磁荷”（或叫单独的磁极）存在。但是1931年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言，可能存在磁单极子(Magnetic monopole)，并且磁单极子的磁荷同电荷一样也是量子化的。近几十年来，从月球岩石到深海沉积物，从高能加速器到宇宙射线，人们一直在捕捉磁单极子的踪迹。然而迄今为止，人们还没有发现可以确定磁单极子存在的实验证据。如果实验上找到了磁单极子，那么不仅磁场的高斯定律以至整个电磁理论都将作重大修改，而且将深刻影响有关基本粒子的构造、相互作用的“大统一理论”、宇宙的演化等重大理论问题。



二、磁场"高斯定理"的证明:



根据闭奥萨伐尔定律，单个电流元IdL产生的磁感应线是以 dＬ方向韦轴线的圆,如图，圆周上元磁场的数值处处相等：



　　　　　　　



在磁感应线穿入处取一面元dS1,穿出处取另一面元dS2,IdL产生的磁场通过两面元的磁感应通量分别为:





由于磁感应管呈严格的圆环状，其正截面处处相等，故，

所以，即 。所以高斯定理对单个电流元成立。



根据磁场叠加原理，任意载流回路产生的总磁场B是各电流元产生的元磁场dB的矢量和, 从而通过某一面元dS的总磁通量是各电流元产生元磁通的代数和。至此，磁场的"高斯定理"得到了完全证明。

第三节 磁场高斯定理与安培环路定理

三、安培环路定理的表述和证明

磁感应线是套连载闭合载流回路上的闭合线。若取磁感应强线的环路积分，则因B与dL的夹角θ=0，cosθ=1,故在每条线上，从而。安培环路定理就是反映磁感应这一特点的。



安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的μ0倍。用公式表示有: 。

其中电流I的正负规定如下：当穿过回路L的电流方向与回路L的环绕方向服从右手法则时，I>0,反之，I<0。如果电流不穿过回路L，则它对上式右端无贡献。



安培环路定理的证明,如图：

dL是L上的线元，dL'代表载流回路L'上的线元。按照毕奥-萨伐尔定律:

　　　　

其中代表dS对场点P所张的立体角dω,沿L'的积分代表整个载流回路作位移-dl时扫过的带状面对P点所张的立体角ω。所以 。

假设以L'为边界作一曲面S'，S'对P点也张有一定的立体角Ω。当L'平移时，Ω随之改变。如上图L2'和L1'分别是L'沿-dl平移前后的新、旧位置，令S2'和S1'代表S'的相应位置，Ω2和Ω1代表相应的立体角。因S2'和S1'和带状面组成闭合曲面，它对于外边的P点所张的总立体角Ω2-Ω1+ω=0，所以:

　　　　　　　　

由于dl是任意的，从而，即磁场正比于载流线圈对场点所张立体角的梯度。

假设场点P沿闭合的安培环路L移动一周，则环路积分 将正比于立体角Ω在此过程中的总改变量ΔΩ。如果L不与L'套连，则ΔΩ=0，于是: 但是，当L与L'套连时，ΔΩ=4π。因此： 。所以安培环路定理得证。

注意：该定理表达式中各物理量的意义。I只包括穿过闭合回路L的电流。B代表空间所有电流产生的磁场强度的矢量和，其中也包括那些不穿过L的电流产生的磁场，只不过后者的磁场沿闭合环路积分后的总效果为0。I只包括穿过闭合回路L的电流。



四、安培环路定理应用

安培环路定理可以用来求具有特殊对称性的载流导体的磁场分布.

例一：求均匀通电的无限长圆柱的磁场分布